文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
难点 03 全等三角形的应用常考题型
（5 大热考题型）
题型一：全等三角形的性质
题型二：添加条件证明三角形全等
题型三：全等三角的综合问题
题型四：角平分线性质定理
题型五：线段垂直平分线的性质与判定
题型一：全等三角形的性质
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 ，则 的度数
为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在 中， ， ，点 ， 分
别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， ，当 的值最小时， 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式1-2】（2024·河北秦皇岛·二模）如图， ，有以下结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）如图， ， ，且 ，则 的
度数为 ．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 __________°．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（
）
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．圆锥
2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在四边形 中，对角线 平分 ， ，点
在 上， ．若 ， ， ，则 的长为 ．
3．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线
同侧， ， ， ，连接DE，设 ， ， ，下列结
论正确的数量为（ ）
（1） （2） （3）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024·广东汕头·一模）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)直接写出 和 的位置关系．
5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
片，表示为 和 ，其中 ， ，将 和 按图2所示方式
摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当 时，延长 交 于点G，试判断四边形
的形状，并说明理由．
【数学思考】
（1）请你解答以上老师提出的问题；
【深入探究】
（2）老师将图2中的 绕点B逆时针方向旋转，使点E落在 内部，让同学们提出新的问题并请
你解答此问题．
“善思小组”提出问题：如图3，当 时，过点A作 交 的延长线于点M， 与
交于点N．证明： ．
【拓展提升】
（3）如图4，当 时，过点A作 于点H，若 ， ，求 的长．
题型二：添加条件证明三角形全等
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，C是 的中点， ，请添加一个条件 ，使
．
【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图， 中，D是 上一点， ，D、E、F三点
共线，请添加一个条件 ，使得 ．（只添一种情况即可）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式2-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形 中， ，点 ， 分别在
边 ， 上，连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知 与 相交于点O， ．只添加一个条件，
能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上， ， ，
______．
求证： ．
在① ；② 这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【中考模拟即学即练】
1．（2024·北京西城·二模）如图，点 为线段 的中点， ，点 分别在射线
上， 与 均为锐角，若添加一个条件一定可以证明 ，则这个条件不能是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知 ， ，请你添加一个条件（一个即可）：
，使 ．
3．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图， ，点D，E分别在 与 上， 与 相交于点
F．只填一个条件使得 ，添加的条件是： ．
4．（2024·北京·模拟预测）如图， ， 是 的两条高线，只需添加一个条件即可证明
（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是
．（写出一个即可）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在 和 中， 与 相交于点 ， ，添加一
个条件可以证明 ．
(1)① ；② ；③ ；④ ，上面四个条件可以添加的是______（填序
号）．
(2)请你选择一个条件给出证明．
6．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， ， ．
若________，则 ．
请从① ；② ；③ 这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，
并说明理由．
7（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知 ，点 ， 在线段 上，且 ．
请从① ；② ；③ 中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得
．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明 ．
题型三：全等三角的综合问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点 和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点 ．测量 ， 两点间的距离以及
和 ，测量三次取平均值，得到数据： 米， ， ．画出示意图，
如图
【问题解决】（1）计算 ， 两点间的距离．
（参考数据： ， ， ， ， ）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点 ， ， ，使得 ， ， 在同一条直线上，且 ， ，当
， ， 在同一条直线上时，只需测量 即可．
（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【典例2】（2024·重庆·中考真题）在 中， ，点 是 边上一点（点 不与端点重合）．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ．在直线 上取一点 ，使 ，直线
与直线 交于点 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）；
(2)如图1，若 ，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明；
(3)如图2，若 ，点 从点 移动到点 的过程中，连接 ，当 为等腰三角形时，请直
接写出此时 的值．
【变式3-1】（2023·湖南岳阳·一模）如图，在 中， ， 、 是 边上的点．请从以下三
个条件：① ；② ；③ 中，选择一个合适的作为已知条件，使得 ．
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明 ．
【变式3-2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在 和 中，点A、E、B、D在同一条直线
上， ， ，只添加一个条件，不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式3-2】（2024·四川南充·模拟预测）如图，在 中， ， ，将 沿
边所在直线翻折得 ，连接 交 于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·四川成都·二模）如图， 是 内的一条射线，D、E、F分别是射线 、射线
、射线 上的点，D、E、F都不与O点重合，连接 ，添加下列条件，能判定
的是（ ）
A． ， B． ， ，
C． ， D． ，
【变式3-4】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在 中， 的平分线交 于点
D，过点D作 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【变式3-5】（2024·浙江宁波·三模）如图，在 的方格纸中，有 ，仅用无刻度的直尺，分别按要
求作图：
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)在图1中，找到一格点 ，使 与 全等；
(2)在图2中，在 上找一点 ，使得 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如
下，其中射线 为 的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形 中，线段 绕点C逆时针旋转到 处，旋转角为 ，
点F在直线 上，且 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，求证： ．
(2)如图2，取线段 的中点G，连接 ，已知 ，请直接写出在线段 旋转过程中（
） 面积的最大值．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2024·湖北·一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第
一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为 的中点， ．
(1)求 的值；
(2)当 ， 时，求x的取值范围．
4．（2023·北京门头沟·二模）如图，在 中， ，点 在 延长线上，且 ，将
延 方向平移，使点 移动到点 ，点 移动到点 ，点 移动到点 ，得到 ，连接 ，
过点 作 于 ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证： ；
(3)连接 ，用等式表示线段 ， 的数量关系，并证明．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形 外侧作直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，连
接 ，交 于点 ，连接 ．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)依题意补全如图；
(2)若 ，求 ；
(3)若 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
6．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在 中， ， ，点 在 边上，
连接 ，点 在射线 上，连接 ．
(1)如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．求证： ；
(2)若点 是 的中点，连接 ，求 的最小值；
(3)如图②，若 于点 ，求 的值．
7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在 中， ，作 的中点 ，过 作 ，
分别交AB、 于 、 ，我们称 为等腰 的“内接直角三角形”．设 ， ．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图①，当 时，若a=2， 时，求内接直角三角形 的斜边 的长．
(2)如图②，当 时，求证：内接直角三角形 的斜边满足： ；
(3)拓展延伸：如图③，当 时，若 、 分别在 、 的延长线上， 与 ， 还满足（2）
的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索 与 ， 满足的数量关系式，并证明你的结论．
题型四：角平分线性质定理
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图 中， ， ，垂足为D， 平分
，分别交 ， 于点F，E．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形 ，E为 边上一点．
求作：四边形内一点P，使 ，且点P到 的距离相等．
【变式4-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在 中， 的平分线 交 于
点 于点 ，若 的周长为12，则 的周长为4，则 为（ ）
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式4-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在 中， ，E是边 上一点，连接 ，在
右侧作 ，且 ，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为 ．
【变式4-3】如图， 的外角的平分线 与 相交于点P，若点P到 的距离为3，则点P到
的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式4-4】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角 ， ，请用尺规作图法，在 内部
求作一点P．使 ．且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
44．（2024·四川乐山·一模）如图，在 中， ，BD是 的一条角平分线，点 、
、 分别在BD、 、 上，且四边形 是正方形．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式4-5】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形 中， 的平分线交 于点 ，
于点 ， 于点 ， 与 交于点 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
【中考模拟即学即练】
1．如图，在 中， ，用尺规作图法作出射线 ， 交 于点 ， ， 为
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·广东中山·模拟预测）如图， ， ， ，若 ，
则 ．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·北京·模拟预测）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，
分别交 于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P；③作
射线 交 于点D．若 ， 的面积为4，则 的面积为 ．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：①以点
为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 ， 于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于 的长为
半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交 于点F，若 ，则 的长为 ．
5．（2024·青海·一模）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，过点 作
于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，已知矩形 的平分线交 的延长线于点E．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)尺规作图：过点B作 的垂线交 于点G（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）所作的图形中，连接 ，若 平分 ，求证： ．
7．（2024·江苏南京·三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重
心）、…
（1）如图1， 的中线 相交于点 ，连接 ，易证 ，可得 ．如
图2． 的中线 相交于点 ，同理易证① ．于是，点 与点 重合，三角形的三条中线交
于一点．这样证明两个点（ 与 ）是同一点的方法也称为“同一法”．
（2）如图3， 是 的角平分线，求证： ．
由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
（3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明： 的三条角平分线交于一点．
（4）在 中， ， ， 是 的角平分线，且 ，则 ．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2023·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，点 在 轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上，点
与点 关于 轴对称．
(1)如图1， ， 平分 交 于 ， 交 于 ，请直接写出 与 的数量关
系为________；
(2)如图2， 平分 交 于 ，若 ，求 的度数；
(3)如图3， ，点 在 的垂直平分线上，作 交 的延长线于 ，连接 ，试探
究 与 的数量和位置关系．
10．【思维启迪】
（1）如图1， 是 的中线，延长 到点 ．使 ，连接 ，则 与 的数量关系为
________，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在 中， ，点 为 内一点，连接 ， ，延长 到点 ，使
，连接 ，若 ，请用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在 中， ， ，点 为 中点，点 在射线 上（点 不与点 ，
点 重合），连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ．若 ， ，请直接写出
的长．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型五：线段垂直平分线的性质与判定
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形 中，分别以点A和 为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，作直线 ，再以点A为圆心，以 的长为半径作弧交直线
于点 （点 在正方形 内部），连接 并延长交 于点 ．若 ，则正方形 的边长
为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 的边 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．若
， ，则 ．
【典例3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线分别交边
于点E、F．若 ， ，则 ．
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式5-1】（2024·陕西渭南·二模）如图，点A为 和 的公共顶点，已知 ，
，请你添加一个条件，使得 ．（不再添加其他线条和字母）
(1)你添加的条件是______；
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
【变式5-2】（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在 中， 边的垂直平分线交 于 ，交 于 ，
若 平分 ， ，则 度．
【变式5-3】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形 边DE的中点，连接 并延长与CD延
长线交于点G，则 的度数为 ．
【变式5-4】（2024·四川南充·中考真题）如图，在 中，点D为 边的中点，过点B作 交
的延长线于点E．
(1)求证： ．
(2)若 ，求证：
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【中考模拟即学即练】
1．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在 中， ， ，求作 的三等分线．
阅读以下作图步骤：
（1）分别以点A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线 交 于点
F，交 于点H，画射线 ；
（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交 于点M，交 于点N；
（3）分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点G，画射线 ，
则射线 即为所求．
下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D． 为等边三角形
2．（2025·贵州·模拟预测）如图， 的周长为20， ，分别以点B和点C为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线 ，交边 于点D，连接 ，则 的周长为
．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形 中， ， ， ， ， 为AD
的中点，若 ，则 的长度为 ．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于 为半径作弧，两弧相交于A、M
两点；作直线 ；连接 ；
(1) 是什么三角形？说明理由；
(2)在 中， 是 平分线， 是 平分线．求证： ．
5．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知 ．
(1)尺规作图：作 的边AB的垂直平分线，交AB于点D，交 于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若 ，求DE的长．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， 是 的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在 上找到一点E使得 为以 为底边的等腰三角形；(保留作图
痕迹，不写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作 交 于点F，求证：
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2024·湖南·二模）已知直角三角板 中， ，将该三角板绕点C旋转
，得到 ，连接 ， ．
(1)如图1，将直角三角板 逆时针旋转， ，写出 的度数（不需要说明理由）；
(2)若将直角三角板 顺时针旋转 ，请在图2中补全图形，并求出 的度数；
(3)若 的平分线 交 于点G，交直线 于点F，连接 ，试证明： ．
24
