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专题 14 不等式
1．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件¿则z=2x−y的最大值是
（ ）
A．−2 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，
上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，
所以z =2×4−0=8.
max
故选：C.
2．【2021年乙卷文科】若 满足约束条件 则 的最小值为
（ ）A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意作出可行域，变换目标函数为 ，数形结合即可得解.
【详解】
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，
上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 .
故选：C.
3．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，
即可得出 不符合题意， 符合题意．
【详解】
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A
不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等
号取不到，所以其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当
，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ，
，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有
关函数的性质即可解出．
4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
【答案】D【解析】
【分析】
根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】
可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】
本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．【2019年新课标2卷理科】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知A错，因
为 是增函数，所以 ，故B错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，
知C正确；取 ，满足 ， ，知D错．
【详解】
取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，
排除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数
是增函数， ，所以 ，故选C．【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理
和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
6．【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ）
A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】
(a+b) 2 a2+b2
因为ab≤ ≤ （a,b∈R），由x2+ y2−xy=1可变形为，
2 2
(x+ y) 2−1=3xy≤3
(x+ y) 2
，解得−2≤x+ y≤2，当且仅当x= y=−1时，x+ y=−2，
2
当且仅当x= y=1时，x+ y=2，所以A错误，B正确；
x2+ y2
由x2+ y2−xy=1可变形为(x2+ y2)−1=xy≤ ，解得x2+ y2≤2，当且仅当x= y=±1
2
时取等号，所以C正确；
因为x2+ y2−xy=1变形可得 ( x− y) 2 + 3 y2=1，设x− y =cosθ, √3 y=sinθ，所以
2 4 2 2
1 2
x=cosθ+ sinθ,y= sinθ，因此
√3 √3
5 2 1 1 1
x2+ y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ− cos2θ+
3 √3 √3 3 3
= 4 + 2 sin ( 2θ− π ) ∈ [2 ,2 ] ，所以当x= √3 ,y=− √3 时满足等式，但是x2+ y2≥1不
3 3 6 3 3 3
成立，所以D错误．
故选：BC．7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考
查数学运算的核心素养.
8．【2020年新课标1卷理科】若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为______________.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，
z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，
z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.9．【2020年新课标2卷文科】若x，y满足约束条件 则 的最大值是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 ，在平面区域
内找到一点使得直线 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即
可.
【详解】
不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线 ，当直线经过点 时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.10．【2020年新课标3卷理科】若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值
为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】
作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】
不等式组所表示的可行域如图
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
【点晴】
本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合
的思想，是一道容易题.
11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f（x）= 有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对
称性的定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于
中等题.
12．【2019年新课标2卷文科】若变量x，y满足约束条件 则z=3x–y的最大
值是___________.
【答案】9.
【解析】
【分析】
作出可行域，平移 找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数
可得.
【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线 中的 表示纵截距的相反数，当
直线 过点 时， 取最大值为9．
【点睛】
本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解
法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．
13．【2018年新课标1卷理科】若 ， 满足约束条件 ，则 的最
大值为_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式
，之后在图中画出直线 ，在上下移动的过程中，结合 的几何意义，
可以发现直线 过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标
函数解析式，求得最大值.
【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由 ，可得 ，画出直线 ，将其上下移动，
结合 的几何意义，可知当直线 在y轴截距最大时，z取得最大值，
由 ，解得 ，
此时 ，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件
对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下
平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目
标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方
法求解.
14．【2018年新课标2卷理科】若 满足约束条件 则 的最大值为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当 时， .
【详解】
不等式组表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标
函数 的最大值必在顶点处取得，易知当 时， .【点睛】
线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条
件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
15．【2018年新课标3卷文科】若变量 满足约束条件 则 的
最大值是________．
【答案】3
【解析】
【详解】
作出可行域
平移直线 ，
由图可知目标函数在直线 与 的交点 处取得最大值3故答案为3.
点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
