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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求的.
1.集合A={x|-2£ x£2}，Z为整数集，则A Z中元素的个数是
I
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2. 设i为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含x4的项为
（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4
π
3. 为了得到函数y =sin(2x- )的图象，只需把函数y =sin2x的图象上所有的点
3
π π
（A）向左平行移动 个单位长度 （B）向右平行移动 个单位长度
3 3
π π
（C）向左平行移动 个单位长度 （D）向右平行移动 个单位长度
6 6
4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24 （B）48 （C）60 （D）72
5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基
础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项
式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值
的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为
第1页 | 共5页（A）9 （B）18 （C）20 （D）35
ìy³ x-1,
ï
7. 设p：实数x，y满足(x-1)2 +(y-1)2 £2，q：实数x，y满足íy³1-x, 则p是q的
ï
y£1,
î
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
8. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y2 =2px(p>0) 上任意一点，M是线段PF上的点，且
PM =2 MF ,则直线OM的斜率的最大值为
3 2 2
（A） （B） （C） （D）1
3 3 2
ì-lnx,0< x<1,
9. 设直线l ，l 分别是函数f(x)= í 图象上点P ，P 处的切线，l 与l 垂直相交于点P，
1 2 1 2 1 2
îlnx,x>1,
且l ，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
1 2
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
10. 在平面内，定点A，B，C，D满足 DA = DB = DC ,DA × DB=DB × DC=DC × DA=-2，动点P，
uuur uuuur uuuur uuuur2
M满足 AP =1，PM =MC ，则 BM 的最大值是
43 49 37+6 3 37+2 33
（A） （B） （C） （D）
4 4 4 4
第2页 | 共5页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
π π
11. cos2 -sin2 = .
8 8
12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中
成功次数X的均值是 .
13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积
是 .
1
3 3
正视图
14. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时， f(x)=4x，则
5
f(- )+ f(1)= .
2
y -x
15． 在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P'( , )；
x2 + y2 x2 + y2
当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C'定义为
曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C'关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，
拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分
按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将
数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
第3页 | 共5页频率
组距
0.52
0.40
a
0.16
0.12
0.08
0.04
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量（吨）
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
17. （本小题满分12分）
cosA cosB sinC
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 + = .
a b c
（I）证明：sinAsinB=sinC；
6
（II）若b2 +c2 -a2 = bc，求tanB.
5
18. （本小题满分12分）
1
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ÐADC=ÐPAB=90°，BC=CD= AD，E为边AD的中点，
2
异面直线PA与CD所成的角为90°.
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，学科.网.并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
P
B C
A D
E
19. （本小题满分12分）
第4页 | 共5页已知数列{a }的首项为1，S 为数列{a }的前n项和，S =qS +1 ，其中q>0，nÎN* .
n n n n+1 n
（Ⅰ）若2a ,a ,a +2 成等差数列，求{a }的通项公式；
2 3 2 n
y2 5 4n -3n
（Ⅱ）设双曲线x2 - =1 的离心率为e ，且e = ，证明：e +e +×××+e >
a2 n 2 3 1 2 n 3n-1
.
n
20. （本小题满分13分）
x2 y2
已知椭圆 E： + =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线
a2 b2
l: y =-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：
2
存在常数l，使得 PT =lPA × PB ，并求l的值.
21. （本小题满分14分）
设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
1
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得 f(x)> -e1-x在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底
x
数).
第5页 | 共5页
