文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程（销售问题、图表问题、动点问题）
分层作业
基础训练
1．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增
加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售
单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（ ）kg，依题意得：
依题意得：
故选:C
2．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，
超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，
则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（ ）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
【详解】解：由题意可知，当售价每千克降低 元时，每千克的售价为 元，此时每天销量为
千克，
则可列方程为 ，
故选：A．
3．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，
每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则
每双运动鞋应降价（ ）
A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元
【详解】解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，解得x=20，x=10，
1 2
∵尽可能让利顾客， ∴x=20．
答：每双鞋应降价20元；
故选B
4．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点
P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几
秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s
【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-
2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x=2，x= ，
1 2
答：当P、Q两点从出发开始到2s或 s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
5．如图，在矩形 中， cm， cm，点 从 点出发沿 以 cm/s的速度向点 运
动，当 时，点 运动的时间为（ ）
A． s B．2s C．10s D．10s或2s【详解】解：设点P运动的时间为ts,
根据题意得： ,
∴
∵
∴ ，
∴
解得 或 （舍去），
∴点P运动的时间为2s,
故选：B．
6．如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动到点 ，设 ， 两点间的距离为 ，
，图2是点 运动时 随 变化的关系图象，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时， ，即 ，
当P点位于E点时， ，即 ，则 ，
∵ ,
∴ ,
即 ,
∵
∴ ,
∵点 为 的中点，∴ ,
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的
速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，
能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【详解】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得： ×2t•（8-t）=15，
解得：t=3，t=5，
1 2
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运
动，另一动点Q从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动 ___秒时，△PCQ的面
积是△ABC面积的 ．
【详解】解：∵SPCQ＝ t（8﹣2t），SABC＝ ×4×8＝16，
△ △∴ t（8﹣2t）＝16× ，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
即：运动2秒时△PCQ的面积为△ABC面积的 ．
故答案是：2．
9．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，
在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利8000
元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【详解】解：设每千克应涨价x元，由题意得：
，
解得 ， ，
要使顾客得到实惠，应取x=10，
答：每千克应涨价10元．
10．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果
按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10
件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，
小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．11．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进
价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平
均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为
多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+ ×20=
（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x=2，x=6，
1 2
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
12．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水
公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如
果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，
解得：a＝3或a＝4
5a（5﹣a）+10＝40
解得：a＝3或a＝2，
综上，规定用水量为3吨．
则规定用水量a的值为3．
13．某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若
按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价
每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪
念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元．
（1）填表（结果需化简）
第二
时间 第一周 清仓时
周
单价（元） 80 40
销售量
200
（件）
（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
【详解】解：（1）填表（结果需化简）
时间 第一周 第二周 清仓时
单价（元） 80 80-x 40
销售量
200 200+10x 400-10x
（件）
故答案为：80-x，200+10x，400-10x；
（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，
x2-20x+100=0，
解得：x=x=10，
1 2
当x=10时，80-x=70．
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元．
14．某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数 收费标准
不超过 人 人均收费 元超过 人 每增加一人，人均收费减少 元，但人均收费不低于 元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社 元和 元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社 元，乙公司员工多少人？
【详解】（1）解：设甲公司有 人，
，
，
（人）．
故答案为：
（2）设乙公司 人，
，
， ，
若 ，每人费用： ，不符舍去，
若 ，每人费用： ，符合，
答：乙公司 人．
能力提升
1．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当
两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45∘，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，
A′D=AD−AA′=12−x，
∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，
整理得,x −12x+32=0，
解得x =4,x =8，
即移动的距离AA′等4或8.
2． 中， ， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以1cm/s的速度移动，
与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，
当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．
故答案为：2t，5-t．
（2）（3）存在．
由题意可得： 的面积为 ，
∵ 的面积等于 ，
∴ =4，解得：t=1，t=4（不符合题意，舍去），
1 2
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速
度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止
运动，设运动时间为ts．(1)BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【详解】（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm．
故答案是：（12﹣2t）；4t．
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC，
∴AB∥DH，
又∵D是AC的中点，
∴BH= BC＝12cm，DH是△ABC的中位线，
∴DH AB＝6cm，
根据题意，得 （12﹣2t） （24﹣4t）×6 2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0，
解得：t＝2，t＝4，
1 2
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
4．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ， ，动点P，Q分别从点A，C同时出
发，点P以 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以 的速度向点D移动(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 和点Q的距离第一次是 ？
【详解】（1）解：当运动时间为t秒时， cm， cm．
依题意，得： ，
解得： ．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形 的面积为 ．
（2）（2）过点 作 于点 ，如图所示．
cm， cm，
，即 ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
拔高拓展
1．如图所示，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿AC以 的速度向点
C移动，点Q从点B出发沿BC以 的速度向点C移动．(1)如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后 的面积等于 ？
(2)如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止
运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 ？若存在，求出运动时
间；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设 后 的面积等于 ，根据题意设 ， ，
利用三角形面积公式可得 ，解出 的值即可；
（2）根据题意分类讨论：当运动时间为 时， ， ，利用三角形面
积公式可得 ，解出 的值即可；当运动时间为 时， ，
，利用三角形面积公式可得 ，解出 的值即可．
（1）
解： ， ，
设 后 的面积等于 ，则 ， ，
∴根据题意，得 ，
∴整理，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴ 后 的面积为 ．（2）
解：存在．
当运动时间为 时， ， ，
∴根据题意，得 ，
∴整理，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）；
当运动时间为 时， ， ，
∴根据题意，得 ，
∴整理，得 ，
解得 ，
∴当运动时间为 或 时， 的面积等于 ．
