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专题 01 三角形中角度计算的常见模型
模型一：A字型
模型二：飞镖型
模型三：8字型
模型一：A字型
1．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠C＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵AD＝CD，∠C＝40°，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝80°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝80°，
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD平分∠ACB，
1 1
∴∠1= ∠ACB= ×40°＝20°．
2 2
故选：B．3．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝40°，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接
BD，则∠ABD＝（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
1 1
∴∠ABC＝∠ACB= （180°﹣∠A）= （180°﹣30°）＝75°，
2 2
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
5．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（ ）
A．30° B．15° C．60° D．25°
【答案】B
【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°，
∴∠DAE＝45°，
∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°，
∴∠ABF＝15°，
故选：B．
6．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝ ，则∠A＝（ ）
α
A． ﹣90° B．180°﹣ C． ﹣180° D．360°﹣
【答案】C
α α α α
【解答】解：∵∠ADE＝180°﹣∠1，∠AED＝180°﹣∠2，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠1+180°﹣∠2＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣ ，
∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，
α
∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣ ）＝ ﹣180°，
故选：C．
α α
7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F．
若∠ABD＝ （0°＜ ＜45°），则∠BCF的大小为（ ）
α α
A．2a B．45°﹣ C．45°+ D．90°﹣
【答案】A
α α α
【解答】解：在△ABD中，∠A＝45°，∠ABD＝ （0°＜ ＜45°），
α α∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+ ，
∵BC＝BD，
α
∴∠BCD＝∠BDC＝45°+ ，
在△BCD中，∠CBD＝180°﹣（∠BCD+∠BDC）＝180°﹣（45°+ +45°+ ）＝90°﹣2 ，
α
∵CE⊥BD，
α α α
∴∠BCF+∠CBD＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2 ）＝2 ，
故选：A．
α α
8．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直
线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝
90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线，
∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°，
故①正确；
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
1 1
∴∠ABD＝∠OBC= ∠ABC，∠OCB＝∠ACO= ∠ACB，
2 2
又∵∠A＝40°，
1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）＝70°，
2
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°，
故②正确；
∵CD平分∠ACF，
1
∴∠DCF= ∠ACF，
2
1
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∠ABD+∠OBC= ∠ABC，
2∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A＝∠ACF＝2∠DCF，
∴2∠D＝∠A，
∴∠D＝20°，
故③正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
1
∴∠EBC+∠ECB＝90°+ ∠A＝110°，
2
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°，
故④正确；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
模型二：飞镖型
1．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于
（ ）
A．110° B．120° C．130° D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∴∠OBC+∠OCB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故选：B．
2．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝36°，∠D＝14°，则∠ACB的
度数为（ ）
A．50° B．65° C．68° D．70°
【答案】C
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CFD＝∠AFE＝54°，
∵∠D＝14°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝14°+54°＝68°，
故选：C．
3．如图，在△CEF中，∠F＝55°，∠E＝80°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A等于（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】A
【解答】解：如图，延长BC交AD于点G，
∵AB∥CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵AD∥CE，
∴∠BCE＝∠BGD，
即∠BCF+∠ECF＝∠BGD，∵∠BGD是△ABG的一个外角，
∴∠BGD＝∠A+∠B＝∠A+∠BCF，
∴∠A＝∠ECF，
在△ECF中，∠F＝55°，∠E＝80°，
∴∠ECF＝180°﹣55°﹣80°＝45°，
故选：A．
4．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则 ， ， 三个角的数量关系为（ ）
α β γ
A． + + ＝60° B． ﹣ + ＝60°
C． + ﹣ ＝60° D． +2 ﹣ ＝60°
α β γ α β γ
【答案】B
α β γ α β γ
【解答】解：如图所示：
∵△ABC，△DEC，△FGC都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠FCG＝60°，
∴ ＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣∠ACD，∠ ＝∠DCE﹣∠ACD﹣∠ECF＝60°﹣∠ACD﹣∠ECF， ＝
∠FCG﹣∠ECF＝60°﹣∠ECF，
α β γ
∴ ﹣ + ＝60°﹣∠ACD﹣（60°﹣∠ACD﹣∠ECF）+60°﹣∠ECF＝60°．
故选：B．
α β γ
1 1
5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，则
3 3
∠D与∠E的数量关系可表示为（ ）
A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180°
C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90°
【答案】A【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB
2 2
1 1
∵∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
3 3
3 3
∴∠DBC= ∠EBC，∠DCB= ∠ECB，
2 2
∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，
3 3
∴∠D+ ∠EBC+ ∠ECB=180°，
2 2
∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，
3
∴∠D+ (180°−∠E)=180°，
2
整理得3∠E﹣2∠D＝180°，
故选：A．
6．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，
需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（ ）
A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20°
【答案】A
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝130°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝30°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应增加10°．
故选：A．
7．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝
100°，则∠A的度数为 60 ° ．
【答案】60°．
【解答】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝100°，
∴∠GBD+∠GCD＝180°﹣∠BGC﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
1 1
∴∠GBD= ∠ABD，∠GCD= ∠ACD，
2 2
∴∠ABD+∠ACD＝2（∠GBD+∠GCD）＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ACD）﹣（∠DBC+∠DCB）＝60°，
故答案为：60°．
8．如图，点D，E分别在线段AB，BC上，连接AE，CD相交于点F，若∠A＝30°，∠C＝20°，∠B＝
55°，则∠EFD的度数为 105 ° ．
【答案】105°．
【解答】解：由条件可知∠ADF＝∠B+∠C＝55°+20°＝75°，∴∠DFE＝∠A+∠ADF＝30°+75°＝105°．
故答案为：105°．
9．如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差
倍角三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以
△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠BAC和∠ABC的角平分线
相交于点D，若△ABD是关于∠ABD的“差倍角三角形”，则∠BAC的度数为 90 ° ．
【答案】90°．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝30°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣30°＝150°，
∵∠BAC和∠ABC的角平分线相交于点D，
1 1
∴∠BAD= ∠BAC，∠ABD= ∠ABC，
2 2
1 1 1 1
∴∠BAD+∠ABD= ∠BAC+ ∠ABC= （∠BAC+∠ABC）= ×150°＝75°，
2 2 2 2
∴∠D＝180°﹣（∠BAD+∠ABD）＝180°﹣75°＝105°．
∵△ABD是关于∠ABD的“差倍角三角形”，
∴105°﹣∠BAD＝2∠ABD，
又∵∠BAD+∠ABD＝75°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×45°＝90°．
故答案为：90°．
模型三：8字型
1．如图，∠ 的度数为（ ）
α
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：如图所示，∵∠1＝∠ +10°＝30°+20°，
∴∠ ＝20°+30°﹣10°＝40°，
α
故选：B．
α
2．如图，将△ABC沿过点C的直线MN翻折得△A'B'C，若∠ACA'＝∠BCB'＝100°，∠A＝32°，则∠B的
度数为（ ）
A．68° B．64° C．58° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵∠ACA'＝∠BCB'＝100°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣32°﹣80°＝68°，
故选：A．
3．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠ +∠ 的度数为（
）
α β
A．210° B．235° C．180° D．200°
【答案】A
【解答】解：如图：∠ ＝∠1+∠D，∠ ＝∠4+∠F，
∴∠ +∠
α β
＝∠1+∠D+∠4+∠F，
α β
＝90°+30°+90°
＝210°，
∴∠ +∠ 的度数为210°．
故选：A．
α β4．某工人加工一个机器零件（数据如图），经过测量这个零件不符合标准．标准要求是：∠EFD＝120°，
且∠A、∠B、∠E保持不变．为了达到标准，工人在保持∠E不变情况下，应将图中∠D______（填
“增大”或“减小”）______度，横线处应分别填（ ）
A．减小；15 B．增大；15 C．减小；5 D．增大；5
【答案】A
【解答】解：如图，延长EF到H与CD交于H，
由条件可知∠DHE＝∠E+∠DCE＝100°，
∵∠DFE＝∠D+∠DHF，
∴∠D＝∠DFE﹣∠DHF＝120°﹣100°＝20°，
∴∠D从35°减小到20°，减小了15°，
故选：A．
5．在一个多边形的展览厅中，多边形展览厅的形状可以抽象为如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（
）A．360° B．300° C．240° D．180°
【答案】D
【解答】解：由图可知，∠B+∠C＝180°﹣∠BGC，∠D+∠E＝180°﹣∠DFE，∠BGC＝∠AGF，
∠DFE＝∠AFG，∠AGF+∠AFG+∠A＝180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E
＝180°﹣∠BGC+180°﹣∠DFE
＝360°﹣∠BGC﹣∠DFE
＝360°﹣（∠AGF+∠AFG）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A，
∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝180°，
故选：D．
6．如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（
）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【解答】解：在△ABC和△CGF中，
∵∠ACB＝∠GCF，
∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC；
在△ABC和△ANM中，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB；
在△ABC和△BDE中，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N
＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB）
＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB）
＝2×180°
＝360°．
故选：B．
7．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠ 等于 105 ° ．
α
【答案】105°．
【解答】解：∵∠CBD＝90°﹣∠D＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD＝60°，
∴∠ ＝∠A+∠ABE＝45°+60°＝105°．
故答案为：105°．
α
8．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于 50 ° ．
【答案】50°．
【解答】解：如图，连接BC．设DC与BE交于点F，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE，
∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC，
∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°，
即∠D+∠E等于50°，
故答案为：50°．
9．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠C＝80°，∠A＝40°，∠B＝90°，∠D＝ 30 ° ．
【答案】30°．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D，
∵∠C＝80°，∠A＝40°，∠B＝90°，
∴∠D＝30°．
故答案为：30°．
10．如图所示，∠1＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 260 ° ．
【答案】260°．
【解答】解：如图，
由三角形外角的性质得∠2＝∠D+∠F，∠3＝∠A+∠E，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠1+∠D+∠F+∠A+∠E＝180°，
∵∠1＝50°，∴∠D+∠F+∠A+∠E＝130°，
∵∠B+∠C+∠4＝180°，
又∵∠4＝∠1＝50°，
∴∠B+∠C+∠1＝180°，即∠B+∠C＝130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝130°+130°＝260°，
故答案为：260°．
