文档内容
专题02 矩形的判定与性质重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 矩形的性质理解
题型二 利用矩形的性质求角度
题型三 根据矩形的性质求线段长
题型四 根据矩形的性质求面积
题型五 利用矩形的性质证明
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
题型七 矩形与折叠问题
题型八 矩形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是矩形
题型十 证明四边形是矩形
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
【知识梳理】
知识点1：矩形的概念与性质
1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。
【经典例题一 矩形的性质理解】
【例1】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和
5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A．22cm和26cm B．22cm和24cm C．26cm D．22cm【变式训练】
1．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，在矩形 中，两条对角线相交于点 ， ，
，矩形的面积是（ ）
A． B． C．8 D．12
2．（2023下·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形
的点 和点 分别落在 轴和 轴上， ， ，直线 以每秒 个单位长度向下移动，
经过 秒该直线可将矩形 的面积平分．
3．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）如图，已知矩形 ， 是对角线．
(1)将 沿 翻折得到 ， 与 交于点F．用直尺和圆规在图中作出 （保留作图痕
迹，不要求写作法）
(2)①求证： ；
②若 ，求 的度数．
【经典例题二 利用矩形的性质求角度】
【例2】（2022下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，将含有 的直角三角尺 （ ）直角顶点A放
到矩形 的边 上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川成都·九年级成都外国语学校校考阶段练习）如图，矩形 的对角线 与 相交
于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．若 ，则 度．
3．（2023下·江西宜春·八年级统考期中）如图，在矩形 中，对角线 和 相交于O点， 平
分 交 于点E，且 ．(1)求证： 为等边三角形；
(2)求 的度数．
【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】
【例3】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在矩形 中， 是 的中点， 为 边上一
点，且有 连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，矩形 的对角线交于点 ， ， ，
为等边三角形，点 是直线 上一点，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2021下·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）如图，在矩形 中， ，对角线 、相交于点 ， 垂直平分 于点 ，则 的长为 ．
3．（2023上·广东茂名·九年级校考阶段练习）在 中，过点 作 于点 ，点 在 上，
，连接 、 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若若 平分 ， ， ．则 长为多少?．
【经典例题四 根据矩形的性质求面积】
【例4】（2020·江苏·九年级专题练习）如图，点P是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，
分别交 ， 于 ， ，连接 ， ，若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
【变式训练】
1．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点，点 ，
G分别在 ， 上， 为等腰直角三角形，且 ，则四边形 的面积为（ ）A．18 B．14 C．16 D．12
2．（2023·江苏常州·校考一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框 变形为平行四边形木框 ，
且 与 相交于 边的中点E，若 ， ，则原矩形 和平行四边形 重叠部分
的面积是 ．
3．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点P在 边上，
是不与A，过点P分别做 和 的垂线，垂足分别为E，F求 的值
【经典例题五 利用矩形的性质证明】
【例5】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形 的边长为4， 是对角线
上一点， 于点 ， 于点 ，连接 ， ．给出下列结论：① ；②四
边形 的周长为8；③ 一定是等腰三角形；④ ，其中正确结论的序号为（ ）A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③
【变式训练】
1．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）如图，点P是矩形 的对角线上一动点，过点P作 的垂
线，分别交边 于点E，F，连接 ．则下列结论不成立的是（ ）
A．四边形 的面积是定值 B． 的值不变
C． 的值不变 D．
2．（2023上·山东青岛·九年级统考阶段练习）如图，在矩形 中， 的平分线交
于点 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，下列结论：
；
；
；
．
其中正确的有 填序号
3．（2024上·山东威海·七年级统考期末）如图，在长方形 中， ， ，
，点 是边 上一点，将 沿 折叠，点 的对应点 刚好落在 上，若 ，
．(1)判断 与 是否全等，并说明理由；
(2)求 的长度．
【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】
【例6】（2023下·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，长方形 如图所示，
，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·云南红河·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为 ，D是
OB的中点，E是OC上的一点，当 的周长最小时，点E的坐标是（ ）A． B． C． D．
2．（2023下·安徽黄山·八年级统考期末）如图，四边形 是矩形，其中点 和点 分别在 轴和 轴
上，连接 ，点 的坐标为 ， 的平分线与 轴相交于点 ，则 点的坐标为 ．
3．（2021下·福建福州·七年级统考期中）如图，长方形 中，O为平而直角坐标系的原点，
，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设 ，且 ，连接 ．
(1)长方形 的周长为 ．
(2)若点D在长方形的边 上，且线段 把长方形 的周长分成 两部分，求点D坐标；
(3)若点D在长方形的边 上，将线段 向下平移3个单位长度，得到对应线段 （F为点D的对应
点），连接 ，求三角形 的面积（可用含m的式子表示）．【经典例题七 矩形与折叠问题】
【例7】（2023上·江西上饶·七年级统考期末）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对
应点 落在 内部．若 ，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，现有一张矩形纸片 ，其中 ，点
E是 的中点．将纸片沿直线 折叠，使点B落在点 ，则 ，C两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东泰安·统考一模）如图，矩形纸片 中， ， ，点 、 分别在 、
上，将 、 分别沿 、 翻折，翻折后点 与点 重合，点 与点 重合 当 、 、 、
四点在同一直线上时，线段 长为 ．
3．（2024上·江西南昌·八年级统考期末）已知直线1为长方形 的对称轴， ， ，点E为
射线DC上一个动点，把 沿直线 折叠，点D的对应点 恰好落在对称轴1上．(1)如图，当点E在边 上时，
①填空：点 到边 的距离是__________；（直接写出结果）
②求 的长．
(2)当点E在边 的延长线上时，（友情提醒：可在备用图上画图分析）
①填空：点 到边 的距离是__________；（直接写出结果）
②填空：此时 的长为__________．（直接写出结果）
【经典例题八 矩形的判定定理理解】
【例8】（2023下·四川广安·八年级校考期中）下列能够判断四边形是矩形的是（ ）
A．两组对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分且相等
【变式训练】
1．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点
M， 在对角线 上， ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则四边形 是矩形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是矩形
D．若 ，则四边形 是矩形
2．（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点
，在平面直角坐标系中找一点 ，使以点 为顶点的四边形为矩形，则 的长为
，点 的坐标为 ．
3．（2023上·安徽宿州·九年级校联考阶段练习）如图，已知平行四边形 的对角线 、 相交于
点O， ， ，两动点E、F同时分别以 的速度从点A、C出发在线段 上运动，
(1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形 一定为平行四边形；
(2)设E、F的运动时间为 ，则当t为何值时，四边形 为矩形．
【经典例题九 添一个条件使四边形是矩形】
【例9】（2023下·河南商丘·八年级统考期末）如图，在 中， 于点E，点 在 边的延
长线上，则添加下列条件不能证明四边形 是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023下·上海黄浦·八年级统考期末）在 中， 与 相交于点O，要使四边形 是矩
形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A． ； B． ； C． ； D． ．
2．（2023·山西晋城·统考一模）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E，F在 上，
且 ，连接 ， ， ， ．若添加一个条件使四边形 是矩形，则该条件可以是
．（填写一个即可）
3．（2023下·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知四边形 是平行四边形， 的平分线 交
边 于F， 的平分线 交边 于G，且 与 交于点E．
(1)求证： ；
(2)求证： 是直角三角形；
(3)在平行四边形 中，添上一个什么条件，使 是等腰直角三角形．直接写出这个条件
__________．
【经典例题十 证明四边形是矩形】
【例10】（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在 中， ， 是 上两点， ，连
接 ， ， ， 后得到四边形 ．下列条件中，不能使四边形 是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】1．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七
个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
2．（2023上·福建宁德·九年级统考期末）如图，矩形 中， 将矩形 绕点C顺
时针旋转得到矩形 ，当 的对应边 恰好经过点D时，连接 ，则 ．
3．（2024上·全国·九年级专题练习）如图， 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ．
设 交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由．
【经典例题十一 根据矩形的性质与判定求角度】【例11】（2023下·江苏·八年级期末）如图，在正方形 中， ，则 等于
（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【变式训练】
1．（2021·河北唐山·统考二模）将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形 ．当
时，下列针对 值的说法正确的是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
2（2023·江西·统考中考真题）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转角
（ ）得到 ，连接 ， ．当 为直角三角形时，旋转角 的度数为 ．
3．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O，其中， ， ，E为 上一点，连接 、 ． 平分 ，且 ，
求 的度数．
【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求线段长】
【例12】（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图，点 是菱形 对角线的交点， ，
，连接 ，设 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．20 D．10
【变式训练】
1．（2023上·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，在 中， ，且
，点D是斜边 上的一个动点，过点D分别作 于点M， 于点N，连接
，点O为 的中点，则线段 的最小值为（ ）A． B．5 C． D．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）如图，正方形 的边长为5，E为
上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则
的最小值为 ．
3．（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平分线，
是 外角 的平分线， ，垂足为点E．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ，求 的长．
【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求面积】
【例13】（2023上·四川达州·九年级统考阶段练习）如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，
， ，若 ， ，则四边形 的面积是（ ）
A．24 B．14 C．48 D．25【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形 的最长边 为边向外作矩形 ，连结
，设 ， ， 的面积分别为 ，若要求出 的值，只需知道( )
A． 的面积 B． 的面积 C． 的面积 D．矩形 的面积
2．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）如图，在矩形 中，点 为
对角线 上一点，过点 作 交 于点 ， ，作 交 于点 ，连接
，已知 ，则 的面积等于 ．
3．（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在 中，点 是 边的中点，过点 作直线
， 的平分线和外角 的平分线分别交 于点 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形：
(2)若 ， ，求四边形 的面积．【拓展培优】
1．（2024上·河南郑州·八年级统考期末）如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的长方形，点
O为坐标原点， ， ，在 边上取一点E，连接 ，将 沿着 所在直线翻折，使点
C落在 边上的点F处，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在长方形 中， ， ，动点P满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·宁夏银川·九年级银川市第三中学校考期末）如图，在矩形纸片 中， ， ，
点E是 上一点，点F是 上一点，将矩形沿 折叠，使点B的对应点G正好落在 的中点处，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山西晋中·九年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，P为边 上一动点， 于点E， 于点F，点M为 中点，则 最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形 中， 点为 的中点．
点 为对角线 上的一动点．则 的最小值等于（）
A． B．6 C． D．8
6．（青海省西宁市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，将长方形纸片 沿EF折叠，
使点 与点 重合，点 落在点 处， 为折痕， ， ，则 （重叠部分）的面积是
．
7．（2024·全国·八年级竞赛）如图，矩形 的边 厘米， 厘米，在直角梯形 中，
厘米， 厘米， 厘米，点 ， ， ， 在同一直线上，且 厘米，矩形从 点开
始以 厘米/秒的速度沿直线 向右运动，同时点 从点 出发沿 的路线，以 厘米/秒的
速度运动，到点 停止．当点 共运动 秒时，点 与点 相距 厘米．8．（2024上·江苏盐城·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E、F分别为 、
边上的点，且 的长为4，点G为 的中点，点P为 上一动点，则 的最小值为
．
9．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，对角线 与
交于点 ，点 为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则
．
10．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中，点 在 上，连接 、
， ，点 在 上， ，若 ，则 的长为 ．
11．（2023上·河南周口·九年级校联考期末）如图，在平行四边形 中，点E在 的延长线上，且
，连接 ， ， ， 交 于点O，已知 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求对角线 的长．12．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，在四边形 中，两条对角线相交于点O，
，垂足为点B， ，垂足为点D， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ， ，
， ．
(1)求证： ；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
① ，② ．
选择的条件：______（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
13．（2024上·江西吉安·八年级统考期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：．
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型
图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明 ．
【模型应用】（2）如图3，正方形 中， ， ，求 的面积．
（3）如图4，四边形 中， ， ， ， ， ，求
的面积．
14．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）如图1，在矩形 中，点E是边 上的一点，连接 ．
(1)若 平分 ，点G是 上的一点，连接 ， ，且 ．过点C作 于 ，
延长线交 于H，过点H作 于P，如图．
①填空： 的形状是______三角形；
②求证：
(2)将图1的矩形 画在纸上，若 平分 ，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在 上的点
处，点B落在点 处，得到折痕 ， 交 于点 ，如图．求证： ．(3)如图，延长 交 的延长线于点K使得 ，此时恰好 ，连接 交 于点J，连接
．
请证明： ．
15．（2023·内蒙古锡林郭勒盟·统考三模）如图，矩形 中， ，点 在边 上，且不
与点 重合，直线 与 的延长线交于点 ．
(1)如图1，当点 是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿战线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交 于点 ．
①如图1，证明 ，并求出在（1）条件下 的值；
②如图2， 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，试探究 与 的数量关系，
并说明理由．
