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专题 03 平行四边形全章复习攻略（1 个定理 1 个性质 4 个图
形的性质与判定 4 个技巧 2 种思想专练）一个定理
【考查题型一】三角形的中位线定理
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周
1 1
长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
【例1】．（2023春•柳州期末）如图，在四边形 中， ， ， ， 、
、 分别是 、 、 的中点，若 ．则 的周长是
A．10 B．12 C．16 D．18
【变式1-1】．（2023春•白碱滩区期末）如图，在 中，已知 ， ，点 ， ， 分别
是 ， ， 的中点，则四边形 的周长是 ．
【变式1-2】（2023春•船营区校级期末）如图，为估计池塘两岸边 ， 两点间的距离，在池塘的一侧选
取点 ，分别取 ， 的中点 ， ，测得 ，则 ， 两点间的距离是 ．
【变式1-3】．（2023春•遂川县期末）（1）课本再现已知：如图， 是 的中位线．求证： ，且 ．
定理证明
证明：如图1，延长 至点 ，使得 ，连接 ．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证
明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， ， 分别是 ，
， 的中点，求 的长．
一个性质
【考查题型二】三角形斜边上的中线性质直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【例2】．（2023秋•太康县期末）如图，在 中， ，且 ， 分别是 ， 上的高，
， 分别是 ， 的中点，若 ，则 的长为
A．10 B．12 C．13 D．14
【变式2-1】．（2023秋•焦作期末）如图，在 中， ， 为 中点，若 ，则
的长是
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式2-2】．（2023秋•宿迁期末）如图，在 和 中， ， ， 是
的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 ．【变式2-3】．（2023春•定南县期末）如图，在 中， ， 是边 上一动点（不与
， 重合）， 于点 ，点 是线段 的中点，连接 ， ．
（1）试猜想线段 与 的大小关系，并加以证明．
（2）若 ，连接 ，在 点运动过程中，探求 与 的数量关系．
4个图形的性质与判定
【考查题型四】性质与判定1：平行四边形的性质与判定
1.平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行
四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四
边形．
3．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、
角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分
别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定
义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和
判定去解决问题．
【例4】．（2023秋•泰山区期末）在四边形 中，对角线 与 交于点 ，下列各组条件，其中
不能判定四边形 是平行四边形的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式4-1】．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形 中， ， ，垂足分
别为点 ， ．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 为平行四边形，你添加的条件是 ．
【变式4-2】．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形 中，点 ， 分别是 ， 的
中点，点 、 在对角线 上，且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
【变式4-3】．（2023秋•河口区期末）如图1，在 中， 、 分别为 、 的中点，延长 至
点 ，使 ，连接 和 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）如图2，当 是等边三角形且边长是8，求四边形 的面积．【考查题型五】性质与判定2：矩形的性质与判定
1.矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相
等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步
研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB
＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
【例5】（2023春•凤阳县期末）如图，四边形 是平行四边形， 、 相交于点 ，点 是
的中点，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若四边形 是菱形， ， ，求 的长．
【变式5-1】．（2023春•增城区期末）如图，在 中， ， ， ， 为斜边
上一动点，过 分别作 于点 ，作 于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形．
（2）求线段 的最小值．
【变式5-2】．（2023春•永善县校级期末）如图，已知四边形 是平行四边形，并且 ．（1）求证：四边形 为矩形；
（2）点 是 边的中点， 为 边上一点， ，若 ， ，求 的长．
【变式5-3】．（2023春•鹤山市期末）如图，在平行四边形 中，过点 作 交 边于点 ，
点 在边 上，且 ．
（1）求证：四边形 是矩形．
（2）若 平分 ，且 ， ，求线段 的长．
【考查题型六】性质与判定3：菱形的性质与判定
1.菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
2．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
3．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边
形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形
的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它
是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四
边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
【例6】．（2023秋•禅城区期末）如图，点 、 分别在菱形 的边 、 上，且 ．求
证： ．
【变式6-1】．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在四边形 中， ， 是 的中点，
， ， 于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．【变式6-2】．（2023春•丰泽区校级期末）如图，将矩形 折叠，使 、 重合，折痕分别与 、
相交于 、 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若矩形 的边 ， ，求线段 的长度．
【变式6-3】．（2023春•潮南区期末）如图，已知 ，直线 垂直平分 ，与边 交于点 ，
连接 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是菱形．
（3）若 ， ，则菱形 的面积是多少？【考查题型七】性质与判定4：正方形的性质与判定
1.正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称
轴．
2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
3．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【例7】．（2023秋•绥棱县期末）如图，在正方形 中， ， 为对角线 上任意一点（不与 、 重合），连接 ，过点 作 ，交线段 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
【变式7-1】．（2023秋•定边县期末）如图，正方形 边长为4，点 在边 上（点 与点 、
不重合），过点 作 ，垂足为 ， 与边 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的面积为 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，取 ， 的中点 ， ，连接 ，求 的长．
【变式7-2】．（2023秋•白银区期末）如图，在 中， 是 边上的一点， 是 的中点，过点作 的平行线交 的延长线于 ，且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的中点；
（2）如果 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【变式7-3】．（2023春•柘城县期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，过点
作 ，交射线 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）如图1，求证：矩形 是正方形；
（2）若 ， ，求 的长度；
（3）当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数．4个技巧
【考查题型八】技巧1：解与四边形有关折叠问题的技巧
【例8】．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸 ，将点 翻折到对角线 上的点 处，折痕 交
于点 ．将点 翻折到对角线 上的点 处，折痕 交 于点 ，折叠出四边形 ．
（1）求证： ；
（2）当 度时，四边形 是菱形？说明理由．
【考查题型九】技巧2：解与四边形有关旋转问题的技巧
【例9】．（2023秋•淄川区期末）已知矩形 （如图 的一边 和对角线 分别与矩形 的
对角线 及边 重合．连接 ，取 的中点为 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，若将（1）中的矩形 绕着点 旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论
是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【变式9-1】．（2023秋•邻水县期末）如图1， 为正方形 内一点，且 ，求
的度数．
小明同学的想法是：不妨设 ， ， ，设法把 、 、 相对集中，于是他将
绕点 顺时针旋转 得到 （如图 ，然后连接 ，问题得以解决．请你回答图 2 中
度．
请你参考小明同学的方法，解答下列问题．
如图3， 是等边 内一点， ，那么 度．请写出推理过程．
【考查题型十】技巧3：解与四边形有关动点问题的技巧
【例10】．（2023秋•莱西市期末）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发向
点 运动，运动到点 即停止；同时点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止．点 、 的速度
的速度都是 ，连接 ， ， ，设点 、 运动的时间为 ．
（1）当 为何值时，四边形 是矩形？
（2）当 为何值时，四边形 是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形 的周长和面积．【考查题型十一】技巧4：解中点四边形的技巧
【例11】（2023春•福山区期末）如图，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ， ，
边上的中点，则下列结论一定正确的是
A．四边形 是矩形
B．四边形 的面积等于四边形 面积的
C．四边形 的内角和小于四边形 的内角和
D．四边形 的周长等于四边形 的对角线长度之和
【变式11-1】．（2023春•达州期末）如图， 是 内一点， ， ， ， ，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，则四边形 的周长是A．7 B．9 C．11 D．13
【变式11-2】．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形 中，点 、 、 、 分别为 、
、 、 的中点，
（1）求证：中点四边形 是平行四边形；
（2）如图2，点 是四边形 内一点，且满足 ， ， ，点 、 、
、 分别为 、 、 、 的中点，猜想中点四边形 的形状，并证明你的猜想．
【变式11-3】．（2022春•仙居县期末）如图，在四边形 中，点 ， ， ， 分别为边 ，
， ， 的中点．
（1）求证：四边形 是平行四边形．（2）若四边形 的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形 的面积．
2种思想【考查题型十二】思想1：转化思想
【例12】．（2022春•青秀区期末）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生
增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转
化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因
式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
【直接应用】
方程 的解是 ， ， ．
【类比迁移】
解方程： ．
【问题解决】
如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，若 ，求 的长．
【考查题型十三】思想2：数形结合思想【例13】．（2024春•泰兴市月考）请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
题 ．如图1，在矩形 中， 、 分别是 、 的中点，请作出以 为边的菱形 ，且
、 分别在 、 边上，并证明你所作的四边形 是菱形．
题 ．如图2，在正方形 中， 是对角线 上一点 ，请作出以 为边的菱形 ，
且点 在 上，并证明你所作的四边形 是菱形．
