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第三篇 思想方法篇
思想01 函数与方程思想（练）
一、单选题
1．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知随机变量 （i＝1，2）的分布列如表所示：
0
p
其中 ，若 ，且 ，则（ ）A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】A
【分析】求出期望 ，得出 ；根据方差公式求出方差 ，结合 ，比较
的大小关系.
【详解】因为 ，所以 ；
，因为 ，所以 ，
.
故选：A.2．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）设 、 为单位向量，非零向量 ， ，
若 、 的夹角为 ，则 的最大值等于（ ）
A．1 B． C． D．1
【答案】B
【分析】由已知可得 .则当 时，有 ，根据二次函数的性质，即可
得出答案.
【详解】 .
当 时， 的值为0，
当 时，有
，
当 时， 有最小值 ，此时 有最大值为 .
故选：B.
3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图， 中， ， 为 的中点，将 沿
折叠成三棱锥 ，则该棱锥体积最大值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意易得 平面 ，进而得三棱锥 的体积为 即可得答案.
【详解】解：因为在 中， ， 为 的中点，
所以 ， ，
所以，在折叠成的三棱锥 中， ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
所以，三棱锥 的体积为 ，当且仅当
时等号成立，
所以，该棱锥体积最大值为
故选：B
4．（2023·贵州毕节·统考一模）给出下列命题：
①函数 恰有两个零点；
②若函数 在 上的最小值为4，则 ；
③若函数 满足 ，则 ；④若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】①利用图象，转化为函数交点问题，即可判断；
②利用基本不等式，即可求解；
③结合条件，找到规律，即可求解；
④参变分离后，转化为求函数的值域，即可求解.
【详解】①当 时， 有2个零点，2和4，
根据 和 可知，当 时，函数 有1个零点，
所以函数 有3个零点，
故①错误；
② ，即 ，得 ，故②正确；
③ ①， ，②
且因为 ，则
， ，… ,
所以①+② ，所以 ，故③正确；
④若关于 的方程 有解，则 ，因为 ，则 ，故④错误.
故选：D
5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一 ：由题意可得， ， ，设 .表示出 ，然后根据椭
圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得， ， ，设 ，取线段AF的中点
，可推得 ，然后根据椭圆的范围即可求出范围.
【详解】解法一：
由题意知 ， ，设 .
则 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
解法二：由题意知 ， ．
设 ，取线段AF的中点N，则 ，连接MN.
则
.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：D．
6．（2022·北京·统考模拟预测）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的正弦值的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，则 ，设 ， ， ，根据均值不等式计算
最值，再利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】如图所示：设 ， ，则 ，设 ， ， ，，
当 ，即 时等号成立，故 ，
当 最小时， 最大，
故 与 夹角的正弦值的最大值为 .
故选：B
7.（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知直线 与圆
相切，若函数 ，满足 ，对于任意的 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由直线与圆相切可得 ，从而可得 为奇函数且在 上为单调递增函数，再将不等式
化简，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】由圆 可得圆心 ，半径为 ，
直线与圆相切，则 ， ，因为 ，所以 为奇函数.
且 在 上为单调递增函数，
对于任意的 ，有 ，即
所以 ，
，
令 （当且仅当 时取等号），可得 ，
所以 .
故选:B
8．（2023·陕西西安·统考一模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
.则下列结论正确的个数是（ ）
① ；
②若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是 ；
③若方程 恰有3个实数根，则 的取值范围是 ；
④函数 在区间 上的最大值为 ，若 ，使得 成立，则 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题意推出函数的解析式，作出函数图象，利用解析式可判断①；解方程，结合函数图象可判断②；举反例取特殊值 ，可判断③；根据函数解析式求得最值，可得 表达式，分离参数，将 ，使得
成立转化为数列的单调性问题，可判断④.
【详解】函数 的定义域为 ，满足 ，即 ，
且当 时， ,
当 时， ，故 ,
当 时， ，故 ，
依次类推，
当 时，
，
由此可作出函数 的图象如图：
对于①， ，此时 ，故
，①正确；
对于②，当 时， ；结合①可知当 时， ；
故当 时，令 ，
即 ，解得 ，又 ，故对任意 ，都有 ，则 的取值范围是 ，正确；
对于③，取 ，则直线 ，过点 ，
结合图象可知 恰有3个交点，
即 恰有3个实数根，即说明 符合题意，则③错误；
对于④，当 时， ，
其最大值为 ，
若 ，使得 成立，即 ，即需 ；
记 ，则 ，
故 ，当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减，又 ，
则 ，故 的最大值为 ，
则 ，即 ，故④错误，
综合可知，结论正确的个数是2个，
故选：B
【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的性质以及数列的单调性等，综合性较强，解答的难点在于要明确函
数的性质，明确函数的解析式，从而作出函数图象，数形结合，解决问题.二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在C上，P为C上的一个动
点，则（ ）
A．C的准线方程为 B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的周长的最小值为11 D．在x轴上存在点E，使得 为钝角
【答案】BC
【分析】根据题意求出 ，即可求出准线，即可判断A；设点 ， ，则 ，根据两点的
距离公式结合二次函数的性质即可判断B；过点P作 垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，再结合图象，
即可求得 的周长的最小值，即可判断C；设 ，再判断 是否有解即可判断D.
【详解】A选项：因为点 在抛物线 上，所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ，所以C的准线方程为 ，故A错误；
B选项：设点 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，故B正确；
C选项：过点P作 垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，则 ，
易知 ， ，所以 ，
所以 的周长为
，
当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，
所以 的周长的最小值为11，故C正确；D选项：设 ，则 ， ，
所以 ，
因为点 在C上，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，故 不可能为钝角，故D错误.
故选：BC.
10．（2023·湖南·模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】由 可得 ，进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基本性质
对选项逐一进行分析.
【详解】 可得 ，
时， 为递减函数，故 ，故A正确；
取 ，则 ，故B错误；
令 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，
时，有 ，故 ，故C正确；
， ，则 ，
则 ，又
则 ，故 ，故D正确；
故选：ACD.
11．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N
两点，P为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最大值为4
C．当 时， D．当 时，
【答案】AD
【分析】考虑直线的斜率不存在时，可得 ，当直线的斜率存在时，假设直线的方程为
，代入抛物线可得 ，利用抛物线的定义可得，然后结合每个选项进行求解判断即可
【详解】由抛物线 可得焦点 ，准线为 ，
对于A，当直线l的斜率不存在时，方程为 ，代入抛物线可得
所以此时 ；
当直线l的斜率存在时，假设直线的方程为 ，设
将直线方程代入抛物线可得
，则 ，
所以 ，
综上所述， 的最小值为4，故A正确；
对于B，当直线l的斜率存在时， ，故B错误；
对于C，因为P为 的中点， ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
将 代入可得 ，解得 或 ，
当 时， 易得不满足题意；
当 时， ，所以 ，故C错误；
对于D，由 易得斜率存在，
由P为 的中点可得 即 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故D正确；
故选：AD
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
12．（2023·吉林·统考二模）如图，正四棱柱 中， ，动点P满足
，且 .则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点P的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是
【答案】ABC【分析】当 时，由平面向量线性运算法则可知点 在线段 上，根据正四棱柱特征利用线面垂直判定
定理即可证明直线 平面 ；当 时，由共线定理可得点 在线段 上，根据对称性将
的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线 与 所成角为 ，可知点 的轨迹是以 为圆心，
半径为 的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当 时，取 的中点为 ，由共线定理可知
三点共线，几何法找出球心位置写出半径的表达式，利用函数单调性求其取值范围即可得出结果.
【详解】对于A，取 相交于点 ， 的中点为 ，如下图所示：
当 时，即 ， ，由平面向量线性运算法则可知，
点 在线段 上，由正四棱柱 可得 ，且 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
又 ，且 平面 ，所以 平面 ；
又因为平面 与平面 是同一平面，所以 平面 ，即A正确；
对于B，当 时，由 利用共线定理可得， 三点共线，即点 在线段 上;由对称性可知，线段 上的点到 两点之间的距离相等，所以 ；
取平面 进行平面距离分析，如下图所示：
所以 ，当且仅当 三点共线时，等号成立，
此时点 为线段 的中点，即 的最小值为 ，故B正确；
对于C，由图可知， 与 所成角都为 ，由 可知，点 在平面 内，
若直线 与 所成角为 ，在线段 上取点 ，使 ，则直线 与 所成角为 ；
则点 的轨迹是以 为圆心，半径为 ，且在平面 内的半圆弧 ，如下图中细虚线所示：
所以动点P的轨迹长为 ，故C正确；对于D，当 时，取 的中点为 ，即 ；
由 可知， 三点共线，即点 在线段 上，如下图所示：
易知三棱锥 外接球球心在直线 上，设球心为 ， ；
作 于点 ，设 ，易知 ，
由相似比可得 ，
设外接球半径为 ，则 ，解得 ；
所以 ，
易知当 时，半径最小为 ；当 时，半径最大为 ；
又 ，所以半径的取值范围是 ，即D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据向量线性运算法则和共线定理的应用，确定点 的位置，再根据几何
体特征利用对称性即可求得距离之和得最小值，利用几何法即可求得外接球球心和半径的取值范围.三、填空题
13．（2023·全国·校联考模拟预测）已知实数a，b，m，n满足 ， ，则
的最小值为________．
【答案】 ##
【分析】根据实数满足的表达式，将表达式转化成直线和抛物线形式，求出解抛物线上到直线距离最近的点，
即可求得 的最小值.
【详解】由题意知， 是直线l： 上的点，
是抛物线 上的点，
的几何意义是抛物线C上的点到直线l上的点的距离的平方．
设 与抛物线相切，切点为
则 ，即 ，所以直线与C切于点 ，
所以 的最小值为 ．
故答案为：
14．（2023·吉林·统考一模）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值为
________．
【答案】 ##
【分析】设点 ，圆心 ， 的最小值即为 的最小值减去圆的半径，求出 的最小值即
可得解．
【详解】依题可设 ，圆心 ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为 的最小值减去半径．因为 ， ，
设 ，
，由于 恒成立，
所以函数 在 上递减，在 上递增，即 ，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线 的右焦点，A，B分别为双曲线E
的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时
总有B，P，Q三点共线，则 的最大值为____________.
【答案】 ##1.25
【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q 共 线 ，
求得Q点坐标的横坐标表示出t ,然后运用设参数m法化简 ,最后根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
设 ， ，联立 整理得: ;
所以 ，得到 ，所以 ；过F作直线PA的垂线 与直线 交于Q，
因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线 与BP的交点，
Q是 与 的交点
所以得 ，所以
设 则
所以当 时，即m=2即时， 取得最大值 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，
表示出所求变量；
（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；
本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.
16．（2023·全国·模拟预测）已知数列 中， ， ，设 ，且数列 的前
n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】首先利用累乘法或是构造数列 求出 ，则 ， ，
对原不等式转化为 对任意的 恒成立，结合函数单调性即可求出 的最小值.【详解】由 ，得 ，则 ，
当 时， ，
又 满足上式，故 .
另解：由 ，得 ，
又 ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，故 ）
所以 ，
所以 .
因为 对任意的 恒成立，
所以 对任意的 恒成立.
令 ，因为 ，所以t随着 的增大而增大.
当n为奇数时， 递减，所以 ，则 ；
当n为偶数时， 递增，所以 ， ，所以 ， ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的关键在于首先利用累乘法或是构造新数列从而求出 ，然后就是
在对原不等式的处理上，将其等价转化为 对任意的 恒成立，再设 ， ，
同时注意函数与数列的联系与区别，需要分奇偶讨论得到 的范围.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，问是否存在正整数 ，使得
对一切 恒成立？若存在，请求出 的最大值；若不存在，请说明理
由．
【答案】存在，
【分析】假设题中不等式恒成立，再分离参数，得到 与 的不等式关系，再判断出新数列的单调性，即可求
出新数列的取值范围，最后得出 的取值范围．
【详解】假设存在正整数 ，使得 对一切 恒成立，则
对一切 恒成立，
令 ， ，易知 ，则 ，
∴ 是递增数列，即 ，∴ ．故 ．
18.（2023·山东菏泽·统考一模）如图，椭圆 的焦点分别为 为椭
圆 上一点， 的面积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 分别为椭圆 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 交椭圆 于 （ 在上方， 在下方，且均不
与 点重合）两点，直线 的斜率分别为 ，且 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到关于 的方程，即可得到结果；
（2）根据题意设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由 列出方程，
代入计算，即可得到结果.
【详解】（1） ， ， ，故椭圆的方程为 ；（2）依题意设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 ，消元得： ，
， ，
由 得： ，两边同除 ， ，
即 ；将 代入上式得：
整理得： 所以 或 （舍），
当 时等号成立，满足条件，所以 面积的最大值为 .
19.（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投
资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况
发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为 ， ， ．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问
大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据 ， ）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2023年年底总资产可以翻一番
【分析】（1）分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；（2）依题意列出等式，对
数运算即可求解 .
【详解】（1）若投资项目一，设获利为 万元，
则 的分布列为
30 -15
P
．
若投资项目二，设获利为 万元，
则 的分布列为
50 0 -30
P
．
．
，
，
，
这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意， ，即 ，
两边取对数，得 ，
，
大约在2023年年底总资产可以翻一番．
20．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封
装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发
展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪
光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募
人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为
，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所
选的题全部答完后再判断是否被录用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为 ，请判断是否存在唯一的 值 ，使得 ？并说明理由．
【答案】(1)甲被录用的概率为 ，乙被录用的概率为
(2)不存在；理由见解析
【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.
(2)先分析 的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构造函
数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可.
【详解】（1）由题意，设甲答对题目的个数为 ，得 ，
则甲被录用的概率为 ，
乙被录用的概率为 ．
（2） 的可能取值为0，1，2，则 ，
，
，
∴
，
，
设 ，
则 ．
∴当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又 ， ， ，
所以不存在 的值 ，使得 .
21．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知抛物线 ，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，
分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．
(1)求点P的轨迹方程；(2)若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令 的面积为 ，四边形PRFQ面积为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用导数的几何意义分别表示出 和 ，设 ，分别代入，由直线系方程得到
，又由直线AB过焦点F，即可判断出 ；
（2）利用“设而不求法”分别求出 ，证明出四边形PRFQ为矩形，求出其面积 ，进而
求出 的最小值.
【详解】（1）抛物线 的焦点 .由 得 ，∴ .
设 ， ， ，由导数的几何意义可得： ， ，
∴ ，即 ，同理 ．
又P在PA，PB上，则 ，所以 ．
∵直线AB过焦点F，∴ ．所以点P的轨迹方程是 ．
（2）由（1）知 ， ，代入 得 ，
则 ，
则 ，
P到AB的距离 ，所以 ，∵ ，当 时，得 ，
∴ ，∴ ，同理 ， ．
由 得 ，∴四边形PRFQ为矩形，
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号．∴ 的最小值为2．
22．（2023·安徽宿州·统考一模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为
，M为椭圆上异于左右顶点的动点， 的周长为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求 的面积
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得 ，即可得出椭圆C的标准方程；
（2）易知 的轨迹是以OM为直径的圆与圆 的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆方程
联立根据弦长公式求得 的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，的周长为 ，离心率
联立 ，解得 ， ，
所以 ，
即椭圆C的标准方程 .
（2）设点 ，又 为切点，可知 ，
所以 四点共圆，即 在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为 ，
又 在圆 上，
两式相减得直线AB的方程为 ，如下图所示：
设 ， ，由 ，
消去y整理后得 ，
， ，所以
，
又点O到直线PQ的距离 ，
设 的面积为S，则
，
其中 ，令 ，则 ，
设 ， ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，从而得 ，
于是可得 ，
即 的面积的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据过点M的两条切线求出切点 所在的直线方程，并与椭圆联立利
用韦达定理和弦长公式求出 面积的表达式，再通过构造函数利用导数研究单调性求面积取值范围即可.
