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专题06 二次函数的图象与性质重难点题型专训 【九大题型】
【题型目录】
【知识梳理】
知识点二：二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随
向上 (0,0) 轴
的增大而减小； 时， 有最小值0．
时， 随 的增大而减小； 时， 随
向下 (0,0) 轴
的增大而增大； 时， 有最大值0．
的性质： 上加下减的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 轴
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 轴
增大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
向上 x=h
大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增
向下 x=h
大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质：左加右减，上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
向上 x=h 增 大 而 减 小 ； 时 ， 有 最 小 值 ．
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
向下 x=h
增大而增大； 时， 有最大值 ．
一般式：yax2 bxc（a，b，c为常数，a0）；
函数 二次函数y ax2 bxc（a、b、c为常数，a≠0）
a0 a0
图象开口方向 向上 向下
b b
对称轴 直线x 直线x
2a 2a
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
b b
在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 x 时，y
2a 2a
b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧，
增减性 增大而减小；在对称轴的右侧，即当x
b
2a 即当 x 时，y 随 x 的增大而减
时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a
小．简记：左增右减
b b
抛物线有最低点，当 x 时，y 有最小 抛物线有最高点，当x 时，y有
2a 2a
最大(小)值
4acb2 4acb2
值，y 最大值，y
最小值 4a 最大值 4a
知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同
学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二
次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可
以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋
c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数
代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我
们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为
我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是
字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），
取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标
轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出 与0的大小关系及含有 的代数式的值的大小关系.
(1) 决定开口方向:当 时抛物线开口向上;当 时抛物线开口向下.
(2) 共同决定抛物线的对称轴位置:当 同号时，对称轴在 轴左侧;当 异号时，对称轴在
轴右侧(可以简称为“左同右异”);当 时，对称轴为 轴.
(3) 决定与 轴交点的纵坐标:当 时，图象与 轴交于正半轴;当 时，图象过原点;当
时，图象与 轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与 轴交点的个数:当 时，抛物线与 轴有两个交点;当
时，抛物线与 轴有一个交点;当 时，抛物线与 轴没有交点.
(5) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 .
(6) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 .
知识点四：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线 ( )的图象是由抛物线 ( )的图象
平移得到的.在平移时， 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的 或 发生变化(图象的位置
发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿 轴平移，上、下沿 轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，
再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不
变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【经典例题一 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例1】（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数 图象的一部分，函数图象经过
点 ，直线 是对称轴，有下列结论：① ；② ；③若 是抛
物线上两点，则 ；④ ；其中正确结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考三模）抛物线 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，直线与抛物线都经过点 ．则下列四个结论：① ；②若 与 是抛物线上的两
个点，则 ；③ ；④当 时，函数 的值为 ．其中，正确结论的个数是(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标
为 ，与x轴的一个交点为 ，点A和点B均在直线 上．① ；②
；③抛物线与x轴的另一个交点为 ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤不等
式 的解集为 ．上述五个结论中，其中正确的结论是________（填写序号即可）．3．（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数 （ 为常数，且 ）．
（1）若点 ， 在函数图像上，则 ______ （填“>”、“<”或“=”）；
（2）当 时， ，则 的取值范围是_______．
【经典例题二 二次函数图象的平移与对称问题】
【例2】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线 （a、b是常数， ）向下平移2个单位长
度后，得到的新抛物线恰好和抛物线 关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”，将抛
物线 沿 轴向下平移 个单位，使其平移后的抛物线恰好只有一个“好点”，则 的值为
（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023·广西贵港·统考二模）如图，抛物线 截得坐标轴上的线段长 ，D为 的顶点，抛
物线 由 平移得到， 截得 轴上的线段长 ．若过原点的直线被抛物线 ， 所截得的线段长
相等，则这条直线的解析式为______．3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 ．
(1)求该二次函数图象与 轴的另一交点 的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与 轴交于点 ，过点 作 轴，交图象于另一点 ．将抛物线向上平移 个单位长
度后，与 轴交于点 点 为右侧的交点）．若 ，求 的值．
【经典例题三 利用二次函数的性质求自变量的范围】
【例3】（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，抛物线 （ ， 为常数）经过点 ，
点 ，点 在该抛物线上，其横坐标为 ，若该抛物线在点 左侧部分（包括点 ）的最低点的纵坐
标为 ．则 的值为（ ）A． B． C． D． 或
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx
﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
2．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻
折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴交
于点 ．
(1)求该二次函数的解析式；(2)点 在该二次函数上．
①当 时，求 的值；
②当 时， 的最小值为 ，求 的取值范围．
【经典例题四 待定系数法求二次函数的关系式】
【例4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）二次函数 的自变量 与函数 的几
组对应值如下表，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．当 时， 的值随 值的增大而减少
C． 的值为 D．方程 有两个根 、 ，且满足
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线 与 轴的公共点是 ， ，将该抛物
线向右平移 个单位长度与 轴的交点坐标为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与
轴交于点 ，过点 作平行于 轴的直线，交抛物线于点 ，连接 ，若点 关于直线 的对称
点恰好落在线段 上，则 ________．3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数 （m，n，k为常数且
）．
(1)若 的图象经过点 ，求该函数的表达式．
(2)若函数 的图象始终经过同一定点M．
①求点M的坐标和k的值．
②若 ，当 时，总有 ，求 的取值范围．
【经典例题五 根据二次函数的对称性求函数值】
【例5】（2023·四川成都·校考二模）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交
于点 和点 ，其顶点坐标为 ，下列说法正确的是（ ）．
A． B．当 时， 随 的增大而减小C．点 的坐标为 D．
【变式训练】
1．（2023·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅
系点．已知二次函数 的图象上有且只有一个雅系点 ，且当 时，函
数 的最小值为 ，最大值为 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春·浙江·九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在 的左侧），
与 轴交于点 ．点 在线段 上，点 与点 关于抛物线对称轴对称，连结 并延长交 轴于点
．若 ，则点 的横坐标为_______．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式
．其中 ．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的解析式：(2)函数 ，若 ， 为此二次函数图象上的两个不同点．
①若 ，则 ，试求 的值；
②当 ，对任意的 都有 ，试求 的取值范围．
【经典例题六 二次函数与x、y轴交点坐标问题】
【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）已如二次函数 ，当 时，自变
量 的取值范围为 ，则以下式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考二模）如图，二次函数 的图象与x轴的
交点为A、D的横坐标分别为3和 ，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个
整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点， 是半圆的直径，抛物线的解析式为 ，若 长
为4，则图中 的长为______．
3．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数 的图象与y轴的交点为 ．
(1)求a的值．
(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
(3)对于任意实数k，规定：当 时，关于x的函数 的最小值记作： ，求 的解析式．
【经典例题七 利用二次函数的性质求最值】
【例7】（2023·福建南平·统考二模）已知抛物线 （ 为常数）的顶点不在抛物线
（ 为常数）上，则 应满足（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）抛物线G： 与x轴负半轴交于点A，与y轴
交于点B，将抛物线G沿直线 平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最
大值是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数 的图象上有两点 、 ，
满足 且这两点在对称轴两侧，当 时， 的最大值和最小值的差为 ，则 的取值范围
是_______.
3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数 （b，c是常数）．
(1)当 ， 时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是 ，当该函数图象经过点 时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知 ，当 时，该函数有最大值8，求c的值．
【经典例题八 二次函数的图象与性质的新定义问题】
【例8】（2023·广东深圳·校考一模）我们定义一种新函数：形如 的函数
叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 的图像如图所示，则下列结论正确
的是（ ）A．
B．
C．当直线 与该图像恰有三个公共点时，则
D．关于 的方程 的所有实数根的和为4
【变式训练】
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）定义符号 含义为：当 时 ；当 时
．如： ， ．则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
2．（2022·浙江杭州·统考一模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右边是
通常的加法、乘法运算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1）⊕（x－1）图象与x
轴仅有一个公共点，则实数k的值为_______．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）定义：将二次函数 在 轴下方部分
沿 轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数 ，那么称函数 为原二次函数的有趣
函数．(1)二次函数 _______________（有/没有）有趣函数．
(2)已知二次函数与 轴交于点（1，0），（5，0），与 轴交于点 ，求拋物线的解析式，并在坐标
系中画出函数图像．
(3)在（2）的条件下：
①过点 作 轴的平行线与抛物线交于点 ，求线段 的长度．
②若函数 为原二次函数的有趣函数，画出函数 的图像并求解当函数 的函数值大于2时，自变量 的
取值范围（直接写出答案）．
【经典例题九 二次函数的图象与性质综合问题】
【例9】（2023·辽宁辽阳·统考三模）如图，已知抛物线 与x轴的交点A，B的横坐标
分别为 和4，设顶点为D，则下列结论：① ；② ；③ ；④若抛物线经过 ，则关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，6；⑤当 时， 是等腰直
角三角形，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
1．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）已知三个不重合的点 ， ，
均在抛物线 （ ）上，且 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，抛物线 与x轴交于
点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 ，将 向右平移得 ， 与x轴交于点B、D．若直线
与 、 共有2个不同的交点，则m的取值范围是______．3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标
为 ，且经过 ．
(1)求b和c的值；
(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段 绕点P顺时针旋转 得 ，其中A、B的对应点分别是 、
．
①当 与D点重合时，请在图中画出线段 ，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段 上，若线段 与抛物线 有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值
范围．【重难点训练】
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数 （a为常数，且 ），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当 时，y随x的增大而
减小；④当 时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．② D．③④
2．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 是实数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为
3．（2023·内蒙古包头·校考三模）在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为 和 ，若抛物
线 与线段 有且只有一个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考阶段练习）方程 有两实根， ，且满足 ，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽六安·校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线： ．
（1）该抛物线的对称轴是 ；
（2）若 ， ， 为抛物线上三点，且总有 ，结合图象，则m的取
值范围是 ；
6．（2023·湖南株洲·统考一模）把二次函数 的图像作关于x轴的对称变换，所得图
像的解析式为 ， ，若 ，则m的最大值是 ．
7．（2023·江苏无锡·统考二模）已知抛物线 （m为常数）．若该抛物线与x轴
只有一个交点，则 ；若该抛物线与直线 有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线
对称轴的同侧，则m的取值范围是 ．
8．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线 与 轴交于点 ，交 轴正半轴于 ，直
线 过 ， 是抛物线第一象限内一点，过点 作 轴交直线 于点 ，则 的最大值为 ．
9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交
于点C，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 ， ， ，P为 的中点，连接 ，则线段 的长是______．
10．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点
和点 ，且经过点 ．
(1)求抛物线的解析式；(2)结合函数图象当 时，求自变量 的取值范围；
(3)点 为抛物线上一点且到 轴距离小于 ，结合函数的图象求点 纵坐标 的取值范围．
11．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系 中有三个点： ，二次函数
的图象恰好经过这三个点之中的两个点．
(1)试推断二次函数 的图象经过点 之中的哪两个点？请简要说明理由；
(2)求常数 与 的值；
(3)将二次函数 的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移 个单位长度，如果平移
后所得新二次函数的图象顶点为 ，且经过点 ，连 、 ，请判断 的形状，并证明
你的判断12．（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）我们约定：在平面直角坐标系中，
若某函数图像上至少存在不同的两点 ，满足 ，则称此函数为关
于d的“ 函数”，这两点叫做一对关于d的“ 点”．
(1)下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“ 点”的，请在相应题目后面横线上“√”，不存在
的打“×”：① ；② ；③ ；
(2)若关于3的“ 函数” 的图象和反比例函数 第四象限的图象交于两点 ，
求 的面积；
(3)关于x的函数G： 是关于t的“ 函数”，记函数H为 （ 为常数，
），常数h 的图象经过三点 ，且 ，
若函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点 ，求线段 长的取值范围．
