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专题06 直角三角形中的分类讨论模型
模型1、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性
质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角
是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成 Rt△ABC
即：
方法：两线一圆
具体图解：①当 ∠BAC=90° 时，过点A作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（A除外）
②当 ∠ABC=90° 时，过点B作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（B除外）。
③当 ∠ACB=90° 时，以 AB 为直径作圆，点 C 在该圆上（A，B除外）。
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在 中， ， ，当 时， 是
直角三角形．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高，
， ，点F为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
例5．（2022秋·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以
AC为一边在Rt ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段△BD的长为 ．
△
例6.（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形 中， ，点E为边 上的一
个动点， 与 关于直线 对称．当 为直角三角形时， 的长为 ．
例7.（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边
上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ ．例8．（2023秋·广东八年级课时练习）如图所示，已知 ，P是射线 上一动点， ．
(1)当 是等边三角形时，求 的长；(2)当 是直角三角形时，求 的长．
例9．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在 中， ， 是边 上的动点，过点 作
交 于点 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．
(1)如图1，若点 恰好落在边 上，判断 的形状，并证明；
(2)如图2，若点 落在 内，且 的延长线恰好经过点 ， ，求 的度数；
(3)若 ，当 是直角三角形时，直接写出 的长．例10．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ．
(1)求直线 的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求出满足条件的
所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作 ，射线 交x轴的正半轴于点C，射线
交y轴的负半轴于点D，当 绕点A旋转时，求 的值．
例11．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线 交 轴、 轴分别于点 、 ，直线
与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．已知 ， 点的横坐标为 ．
(1)求直线 的解析表达式．(2)若 在线段 上，四边形 的面积为14，求 点坐标．
(3)若点 、 分别为直线 、 上的动点，连结 、 、 ，当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标过程写出来．
课后专项训练
1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 ，在坐标轴上确
定点 ，使得 为直角三角形，则符合条件的点 的个数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点 ，以点A和点 为两个顶点作等腰直角三角形，一共
可以作出 个．
3．（2023秋·广东·八年级专题练习）平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为
直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
4．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
分别是 高和角平分线，点E为边 上一个点，当 为直角三角形时，则 度．
5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长
到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ．
6．（2023春·江苏·八年级期末）在 中， ， ， 的角平分线BD交AC于D，E为
线段AB上的动点，当 是直角三角形时， 的度数是 ．（写出所有的正确结果）
7．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜边AB上一个动点，E是直线BC上的一个动点，将△ABC沿DE折叠，使点B的对应点F落在直线AB上，连接CF，当
△CEF是直角三角形时，线段BD的长为 ．
8．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）在 中，高 和 所在直线相交于点O，若 不是直
角三角形，且 ，则 ．
9．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在等边三角形 中， ， 于点 ，点 ，
分别是 ， 上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点 落在 上的点 处，当 是直角
三角形时， 的长为 ．
10．（2022·广东汕头·八年级期末）如图， 是边长为 的正三角形，动点 从 向 以 匀
速运动，同时动点 从 向 以 匀速运动，当点 到达点 时， 两点停止运动，设点 的运动
时间为 秒，则当 __________时， 为直角三角形．
11.（2022秋·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形 中， ， ，点E为射线 上一
动点(不与D重合)，将 沿AE折叠得到 ，连接 ，若 为直角三角形，则12．（2023·河南·郑州市三模）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把
△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点△A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
13．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，
∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
14．（2023秋·成都市八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，点F在直线
上，连接 ．若 为直角三角形，求 的度数．
15．（2023春·广东·八年级专题练习）在 中， ， ，点D是 边上一动点，将
沿直线 翻折，使点A落在点E处，连接 ，交 于点F．当 是直角三角形时，求
度数．16．（2023秋·江西新余·八年级统考阶段练习）在 中， ， ， ，点 从点
出发以 的速度沿 向点 运动，同时点 从点 出发以 的速度沿 向点 运动，运动的
时间为 ．连接 ．(1)当 为何值时， ？(2)当 为何值时， 为等边三角形？(3)当 为何值
时， 为直角三角形？
17．（2023秋·广东·八年级课堂例题）某同学在学习过程中得出两个结论，结论1：在直角三角形中，夹
内角的两边长是2倍的关系．结论2：在一个三角形中，如果夹 内角的两边长是2倍的关系，那么
这个三角形是直角三角形．(1)上述结论1_________．（填写“正确”或“不正确”）
(2)上述结论2正确吗？如果你认为正确，请你给出证明；如果你认为不正确，请你给出反例．
(3)等边三角形 的边长为4，点 分别从点 同时出发，分别沿边 运动，速度均为1个单
位长度/秒，当点 到达点 时两点均停止运动，则当运动时间是多少秒时， 是直角三角形？请你给
出解题过程．18．（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）定义：如图，点 把线段 分割成 ，若
以 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 是线段 的勾股分割点．
(1)已知 把线段 分割成 ，若 ， ， ，则点 是线段 的勾
股分割点吗？请说明理由．(2)已知点 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ，
，求 的长．
19．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边 ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿
AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．
设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当 时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时， PBQ是直角三角形？
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且 面积为10．(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足 ，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右
侧作等腰直角 ，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
21．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）已知 中，如果过顶点 的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点 的二分割
线．例如：如图1， 中， ， ，若过顶点 的一条直线 交 于点 ，若
，显然直线 是 的关于点 的二分割线．（1）在图2的 中， ，
．请在图2中画出 关于点 的二分割线，且 角度是 ；
（2）已知 ，在图3中画出不同于图1，图2的 ，所画 同时满足:① 为最小角；②
存在关于点 的二分割线． 的度数是 ；（3）已知 ， 同时满足：① 为最小角；②存在关于点 的二分割线．请求出 的度
数（用 表示）．
22．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过
的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点 ，直线 交x轴负半轴于点D，若 的面积为
(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线
交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，
在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
