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专题06 直角三角形中的分类讨论模型
模型1、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性
质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角
是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成 Rt△ABC
即：
方法：两线一圆
具体图解：①当 ∠BAC=90° 时，过点A作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（A除外）
②当 ∠ABC=90° 时，过点B作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（B除外）。
③当 ∠ACB=90° 时，以 AB 为直径作圆，点 C 在该圆上（A，B除外）。
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在 中， ， ，当 时， 是
直角三角形．
【答案】5或 / 或5
【分析】分 为三角形的最长边和 为三角形的最长边，两种情况进行求解即可．
【详解】解：① 为 的最长边时：当满足 时， 是直角三角形，即：
，
∴ （负值已舍去）；
② 为三角形的最长边时：当满足 时， 是直角三角形，即： ，
∴ （负值已舍去）；综上： 或 ；故答案为：5或 ．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握当三角形的三边满足两短边的平方和等于第三边的平方时，
三角形为直角三角形是解题的关键．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高，
， ，点F为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】分情况讨论：①当 时，②当 时，根据角平分线和三角形高线的定义分别
求解即可．
【详解】解：如图所示，当 时，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，∴ 中， ；
如图，当 时，
同理可得 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
综上所述： 的度数为 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在
网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC
其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， 都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形
结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】（0，0），（ ，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt PAC和Tt PBC两种情况
进行分析即可． △ △【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，
，解得，m＝ ，∴点P的坐标为（ ，0）；
当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（ ，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗
漏的进行分类．
例5．（2022秋·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以
AC为一边在Rt ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段△BD的长为 ．
△
【答案】7或 或
【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．
【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD ；
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD ．故答案为7或 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
例6.（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形 中， ，点E为边 上的一
个动点， 与 关于直线 对称．当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】9或18
【分析】分两种情况，分别求解，（1）当 时，如图（1），根据轴对称的性质得
，得 ；（2）当 时，如图（2），根据轴对称的性质得
，得A、 、C在同一直线上，根据勾股定理得 ，设 ，则，根据勾股定理，计算即可．
【详解】解：（1）当 时，如图（1），
∵ ，根据轴对称的性质得 ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ；
（2）当 时，如图（2），
根据轴对称的性质得 ， 为直角三角形，
即 ，∴ ，∴A、 、C在同一直线上，
根据勾股定理得 ，∴ ，
设 ，则 ，在 中， ，
即 ，解得 ，即 ；
综上所述： 的长为9或18；故答案为：9或18．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的
性质的综合应用，分情况讨论，画出图形是解题关键．
例7.（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边
上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ ．【答案】1或
【分析】根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，
③反证法证明 的情形不成立．
【详解】解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝ ＝ ＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝ ，∴PB＝ ．
②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），∴PB＝1，
③若 ，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接
由题意可得
若 ，
根据对称性可得
, 根据平行线之间的距离相等，若 ，则 到 的距离等于4而 不平行
假设不成立 综上所述，PB的值为：1或 ．
【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
例8．（2023秋·广东八年级课时练习）如图所示，已知 ，P是射线 上一动点， ．
(1)当 是等边三角形时，求 的长；(2)当 是直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)10；(2)5或20．
【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况讨论：①若 ，则 ，根据 角所对的直角边等于斜边的一半即可
求 ；②若 ，则 ，从而可求 。
【详解】（1）当 为等边三角形时， ．
（2）当 是直角三角形时，分两种情况讨论：
①若 ，则 ，∴ ，∴ ；
②若 ，则 ， ∴ ．
综上所述， 的长为5或20．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相关
知识是解题的关键．
例9．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在 中， ， 是边 上的动点，过点 作
交 于点 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．(1)如图1，若点 恰好落在边 上，判断 的形状，并证明；
(2)如图2，若点 落在 内，且 的延长线恰好经过点 ， ，求 的度数；
(3)若 ，当 是直角三角形时，直接写出 的长．
【答案】(1) 是等边三角形；见解析(2) ；(3) 的长是 或
【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到 的长度．
【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，∴ ，由折叠可得 ，∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形；
（2）解：由折叠可得 ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，∴ ；
（3）解： 的长是 或 ，理由如下：当 时，点 在 内（如图所示）
∵ ，∴ ，∴
由折叠得 ，∴ ，∴ ，∴ ；
当 时，点 在 外，同理可得 ，∴ ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，平行线的性质，根
据题意画出图形是解题的关键．
例10．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ．(1)求直线 的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求出满足条件的
所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作 ，射线 交x轴的正半轴于点C，射线
交y轴的负半轴于点D，当 绕点A旋转时，求 的值．
【答案】(1) (2)M点的坐标为 或 或 (3)8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意进行分类讨论：①当 时，过A作
的垂线，交y轴于点 ，交x轴于点 ，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；
②当 时，过点B作 的垂线交y轴于点 ，用相同的方法即可求解；（3）过点A分别作x
轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明 ，得出 ，即可得出
．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为： ，
∵ ， 在直线 上，
∴ ，解得： ，∴直线 的解析式为： ；
（2）解：∵ 是以 为直角边的直角三角形，∴有 或 ，
①当 时，如图：设点 ， ，∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，∴ ，
②当 时，如图：
过点B作 的垂线交y轴于点 ，设 ，∵ ， ，
∴ ， ， ，在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，∴ ．
综上：M点的坐标为： 或 或 ．
（3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：
则 ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定
和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
例11．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线 交 轴、 轴分别于点 、 ，直线
与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．已知 ， 点的横坐标为 ．(1)求直线 的解析表达式．(2)若 在线段 上，四边形 的面积为14，求 点坐标．
(3)若点 、 分别为直线 、 上的动点，连结 、 、 ，当 是以 为直角边的等腰直
角三角形时，请直接写出所有点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标过程写出来．
【答案】(1) (2) (3) 或
【分析】（1）先求出点D的坐标，再把 ， 代入 ，解方程组即可解答．
（2）求出 ， ，设 ，则 ， ，再由四边形 的面积，可得 ，
即可解答．（3）设 ， ，可得
，分情况讨论：当 为斜边时，当 为直角边
时，即可解答．
【详解】（1）在 中，令 得 ，∴ ，
把 ， 代入 得： ，解得 ，∴直线 的解析表达式为 ．
（2）如图，在 中，令 得 ，令 得 ，
∴ ， ，设 ，∴ ， ，∵ ，四边形 的面积为14，∴ ，解得 ，∴ ．
（3）设 ， ，
∴ ， ， ，
当 为斜边时，如图：
，解得 ，∴ ，
当 为直角边时，如图：
，解得 ，∴ ，
∴M的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法求一次函数的解析式，四边形的面积，等腰直角三角
形的性质，熟练运用分类讨论是解题的关键．课后专项训练
1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 ，在坐标轴上确
定点 ，使得 为直角三角形，则符合条件的点 的个数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】分两种情况：①当 为斜边时，过 分别作 轴和 轴的垂线，垂足即为点 ，符合条件的点
有2个；②当 为斜边时，过 作 的垂线，与 轴和 轴的交点即为点 ，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
①当 为斜边时，过 分别作 轴和 轴的垂线，垂足即为点 ，符合条件的点 有2个；
②当 为斜边时，过 作 的垂线，与 轴和 轴的交点即为点 ，符合条件的点 有2个；
符合条件的点 的个数共有4个，故选： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、直角三角形的判定；作出图形，分情况讨论是解题的关键．
2．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点 ，以点A和点 为两个顶点作等腰直角三角形，一共
可以作出 个．
【答案】6
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分点 是直角边和斜边两种情况作出图形即可得解．
【详解】解：如图，以点 和点 为两个顶点作等腰直角三角形，一共可作出6个．故答案为：6
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．3．（2023秋·广东·八年级专题练习）平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为
直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，7）或（7，3）
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分AC为直角边和斜边两种情况进行讨论即可.
【详解】解：如图，观察图象可知，满足条件的点C的坐标为（4，7）或（7，3）．
故答案为：（4，7）或（7，3）．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，点的坐标，解题的关键在于能够分类讨论AC是直角边还是斜
边.
4．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
分别是 高和角平分线，点E为边 上一个点，当 为直角三角形时，则 度．
【答案】42或21
【分析】直接根据三角形内角和定理得 ，由角平分线的定义得 ，当 为直角
三角形时，存在两种情况：分别根据三角形内和定理和外角的性质，即可得出结论．
【详解】解： ， ， ，
平分 ， 当 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，如图1，， ；
②当 时，如图2，
， ，
综上， 的度数为 或 ．故答案为：42或21．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形内和定理与外角的性质，熟知三
角形的外角的性质是解答此题的关键．
5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长
到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ．
【答案】4，6或
【分析】由题意分AD=BD、AB=BD、AB=AD这三种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：如图，当AD=BD时，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴ ,设 ，
由 ，可得 ，解得： ，即 ；
如图，当AB=BD时，∵AB=BD，∴ ;
如图，当AB=AD时，∵AB=BD，∠C=90°，∴ ；
综上可得CD的长为4，6或 .故答案为：4，6或 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解
以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键.
6．（2023春·江苏·八年级期末）在 中， ， ， 的角平分线BD交AC于D，E为
线段AB上的动点，当 是直角三角形时， 的度数是 ．（写出所有的正确结果）
【答案】69°或11°
【分析】分情况讨论，当∠AED=90°时，利用直角三角形两锐角互余即可求出 的度数；当
∠ADE=90°时，通过三角形内角和求出∠ADB的度数，然后减去∠ADE即可求出答案．
【详解】∵ ， ，∴∠A=180°-80°-42°=58°，
当 是直角三角形时，如图，当∠AED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE= ∠ABC= ，∴∠BDE=90°-21°=69°；
如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC= ∠ABC= ，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案为：69°或11°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画
出图形注意分情况讨论．
7．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜边AB上一个
动点，E是直线BC上的一个动点，将△ABC沿DE折叠，使点B的对应点F落在直线AB上，连接CF，当
△CEF是直角三角形时，线段BD的长为 ．
【答案】 或5
【分析】分两种情况讨论：当∠CFE＝90°时，过点C作CM⊥AB于点M，由翻折可知，BD＝DF，
∠EFB=∠B，由直角三角形两锐角互余易得FC=AC=6，则M为AF的中点，由面积相等可求得CM的长，
再由勾股定理可求得MF的长，则可求得BF的长，从而可得BD的长；当∠ECF＝90°时，此时点F落在点
A，则BD＝ AB＝5．
【详解】解：①当∠CFE＝90°时，过点F作CM⊥AB于点M，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ ，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，
∵∠A+∠B=90°，∠EFB+∠CFA=90°，∴∠A=∠CFA，∴FC=AC=6，
∵CM⊥AB，∴ ；
∵ ，∴ ，
在Rt△CFM中，由勾股定理得： ，
∴ ，∴ ，∴ ；
②当∠ECF＝90°时，点F落在点A，则BD＝ AB＝5；
综上，线段BD的长为 或5．故答案为： 或5．
【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性质和直角三角
形锐角互余得到FC=AC，是解答本题的关键．注意等积思想的应用．
8．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）在 中，高 和 所在直线相交于点O，若 不是直
角三角形，且 ，则 ．
【答案】 或
【分析】由题意△ABC不为直角三角形，所以需要对三角形进行分情况讨论，若为钝角三角形或锐角三角
形时，根据题意画出图形，利用三角形的角度关系进行计算即可．
【详解】（1）当 为锐角三角形时（如图①），
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ；（2）当 为钝角三角形时（如图②），
∵ ， ，∴ ；
综上分析可知， 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查三角形外角性质，本题关键在于能够对三角形进行分情况讨论．
9．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在等边三角形 中， ， 于点 ，点 ，
分别是 ， 上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点 落在 上的点 处，当 是直角
三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】由等边三角形的性质可得 ，分 两种情况讨论，由直角三角
形的性质可求 的长．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ，∴ ，
∵沿 所在直线折叠成 ，∴ ，
若 ，且 ∴ ，且
∴ ，∴ ，∴ ，
若 ，∴ ，
且 ∴ ∴ 故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是解本题的关键．
10．（2022·广东汕头·八年级期末）如图， 是边长为 的正三角形，动点 从 向 以 匀
速运动，同时动点 从 向 以 匀速运动，当点 到达点 时， 两点停止运动，设点 的运动
时间为 秒，则当 __________时， 为直角三角形．
【答案】3或4.8
【分析】分两种情况：①当 时， ；②当 时，根据 列方程求出t的值
即可．
【详解】①当 时，∵ 是正三角形∴ ∴
∴在 中， ，即 ，解得
②当 时，∵ 是正三角形∴ ∴
∴在 中， ，即 ，解得
即当 或 时， 为直角三角形故答案为：3或4.8．
【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握正三角形的性质、特殊三角函数值、解一元一次方程的方法
是解题的关键．
11.（2022秋·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形 中， ， ，点E为射线 上一动点(不与D重合)，将 沿AE折叠得到 ，连接 ，若 为直角三角形，则
【答案】 或 / 或
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时， 三点共线，根据
可求得 ，再由勾股定理可得 ，进而可计算
，在 中，由勾股定理计算 的值；②当点E在射线CD上时，设 ，则
， ，由勾股定理可解得 ，进而可计算 ，在 中，由勾股定理
计算 的值即可．
【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形， ， ，将 沿AE折叠得到 ，则
， ， ，
①如图1，当点E在线段CD上时，
∵ ，∴ 三点共线，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
∴在 中， ；
②如图2，当点E在射线CD上时，∵ ， ， ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
∵ ，即 ，解得 ，∴ ，
∴在 中， ．
综上所述，AE的值为 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
12．（2023·河南·郑州市三模）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把
△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点△A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得
到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把 ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，
△
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC= AC=4，如图2，当∠ACA′=90°时，∵在Rt ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，
∵以直线BP为轴把 ABP折叠，使△得点A落在图中点A′处，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，
设PC=x，∴AP=8-x，△∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，
综上所述：当 AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，故答案为：4或3．
【点睛】本题△考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
13．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，
∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
【答案】2或2 或2
【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，结合三角函数，等边三角形的性质即可解题.
【详解】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，∴ ；
当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴ ，
在直角三角形ABP中， ，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为 或 或2．
【点睛】考点：勾股定理．
14．（2023秋·成都市八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，点F在直线
上，连接 ．若 为直角三角形，求 的度数．
【答案】 的度数为 或
【分析】在 中，利用三角形内角和定理可求出 的度数，结合“两直线平行，同位角相等”可得
出 分度数，分 及 两种情况考虑，当 时，利用三角形内角和定理可
求出 的度数，将其代入 中即可求出 的度数；当 时，由
即可求出 的度数．
【详解】解：在 中， ， ，
． ， ，
分两种情况考虑：当 时， ，
；当 时， ，
综上， 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，分 及 两种情况，求出
的度数是解题的关键．
15．（2023春·广东·八年级专题练习）在 中， ， ，点D是 边上一动点，将
沿直线 翻折，使点A落在点E处，连接 ，交 于点F．当 是直角三角形时，求
度数．
【答案】 或
【分析】根据折叠的性质可得 ， ，再由直角三角形两锐角的关系可得
，然后分两种情况讨论：当 时，当 时，结合三角形内角和定理，即可求
解．
【详解】解：由折叠的性质得： ， ，
∵ ， ，∴ ，
当 时，则 ，∴ ，
∴ ，∴ ；
当 时，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
综上所述， 度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
16．（2023秋·江西新余·八年级统考阶段练习）在 中， ， ， ，点 从点
出发以 的速度沿 向点 运动，同时点 从点 出发以 的速度沿 向点 运动，运动的
时间为 ．连接 ．(1)当 为何值时， ？(2)当 为何值时， 为等边三角形？(3)当 为何值
时， 为直角三角形？【答案】(1) (2) (3) 或
【分析】(1)根据勾股定理求得 ，列出方程 ，求解即可．(2)根据题意 ，
，列出方程 ，求解即可．(3)根据题意 ， ，当
时，列出方程 ；当 时，列出方程 ，分别求解即可．
【详解】（1）解：设运动 ， ，
∵ ， ， ，∴ ，根据题意，得 ，
解得 ．故当 时， ．
（2）根据题意 ， ，
∵ 为等边三角形，∴ ，解得 ．故当 时， 为等边三角形．
（3）根据题意 ， ，
当 时， ，∴ ，解得 ；
当 时， ，∴ ，解得 ；
故当 或 时， 为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解一元一次方程，分类思想，熟练掌
握直角三角形的性质，灵活解方程式解题的关键．17．（2023秋·广东·八年级课堂例题）某同学在学习过程中得出两个结论，结论1：在直角三角形中，夹
内角的两边长是2倍的关系．结论2：在一个三角形中，如果夹 内角的两边长是2倍的关系，那么
这个三角形是直角三角形．(1)上述结论1_________．（填写“正确”或“不正确”）
(2)上述结论2正确吗？如果你认为正确，请你给出证明；如果你认为不正确，请你给出反例．
(3)等边三角形 的边长为4，点 分别从点 同时出发，分别沿边 运动，速度均为1个单
位长度/秒，当点 到达点 时两点均停止运动，则当运动时间是多少秒时， 是直角三角形？请你给
出解题过程．
【答案】(1)正确(2)正确，理由见解析(3)当运动时间是 秒或 秒时， 是直角三角形
【分析】 如图 ，根据三角形的内角和得到 ， 根据直角三角形的性质得到 ，于
是得到结论； 正确, 如图 , 取 的中点 , 连接 ,由线段中点的定义得到 等量
代换得到 , 推出 , 根据等腰三角形和外角的性质得
到 , 即可得到结论; 分两种情况考虑: 与 时， 由三角形
为等边三角形， 得到 ， 在直角三角形 中，利用 中结论列出关于 的方程，求出方
程的解即可得到 的值，综上，得到所有满足题意的 的值.
【详解】（1）上述结论 正确，
如图 , ∵ ，∴ ， ，
∴ 内角的两夹边长是 倍的关系；故答案为：正确；（2）正确．证明：如图①，在 中， ， ，取 的中点 ，连接 ，
则 ． ．
又 ， 是等边三角形． ．
． ． ． 结论2正确．
（3）设当运动时间是 秒时， 是直角三角形．
由题意可得 ，则 ． 为等边三角形， ．
分两种情况考虑：（ⅰ）当 时，如图②所示，
则 ． ，解得 ；
（ⅱ）当 时，如图③所示，则 ． ，解得 ．
综上所述，当运动时间是 秒或 秒时， 是直角三角形．
【点睛】此题考查了含 角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三
角函数值，利用了分类讨论及方程的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.
18．（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）定义：如图，点 把线段 分割成 ，若
以 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 是线段 的勾股分割点．
(1)已知 把线段 分割成 ，若 ， ， ，则点 是线段 的勾
股分割点吗？请说明理由．(2)已知点 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ，
，求 的长．【答案】(1)是，理由见解析(2) 或
【分析】（1） 是线段 的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到 ， ，
，从而根据 ，即可得证；（2）点 是线段 的勾股分割点，且 为直角
边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 是线段 的勾股分割点，
理由如下：∵ ， ， ，
， ， ，∴ ，
∴以 为边的三角形是一个直角三角形，
∴根据勾股分割点定义， 是线段 的勾股分割点；
（2）解：∵点 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，有两种情况：
① 为斜边时，有 ，
设 ，则 ，∴ ；
② 为斜边时，有 ，设 ，则 ，∴ ；
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键．
19．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边 ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿
AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．
设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当 时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时， PBQ是直角三角形？
【答案】（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由见解析；（2）当t的值为 或4时， PBQ为直角三角形．【分析】（1）当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，结合已知条件可得点Q为BC的中点，再根据等腰三角
形的三线合一即可证得AQ⊥BC；（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，然后分两种情况讨论即可：
当∠PQB＝90°时，当∠BPQ＝90°时．
【详解】解：（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由如下：
由题意可得：当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，
∵等边 ABC的边长为8，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∴CQ＝BC－BQ＝4＝BQ，∴点Q为BC的中点，
又∵AB＝AC，∴AQ⊥BC，∴当t＝2时，AQ⊥BC；
（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，
当∠PQB＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BPQ＝90°－∠ABC＝30°，∴PB＝2BQ，
∴8﹣t＝2×2t，解得：t＝ ；
当∠BPQ＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BQP＝90°－∠ABC＝30°，∴BQ＝2BP，
∴2t＝2（8﹣t），解得：t＝4；
∴当t的值为 或4时， PBQ为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本
题的关键．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且 面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足 ，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角 ，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
【答案】(1) (2) (3) ，
【分析】（1）先求出 ， ，即有 ， ，再根据 ，可得
，即可得 ，即有 ，再利用待定系数法即可求解；（2）设M点坐标为： ，
由 ， ，即可得 ，问题随之得解；
（3）利用中点坐标公式求出 ，设 ，第一种情况：当 时，如图，点Q落在BC上时，
过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明 ，即有
， ，结合 ，可表示出 ，代入直线BC的解析式即可求解；第二种情
况：当 时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分
别为T，N，同理作答即可．
【详解】（1）令 ，则有： ，解得 ，
令 ，则有： ，∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
设BC的解析式为： ，∴ ， ，
∴ ，解得： ，∴ 的解析式为： ；（2）根据题意设M点坐标为： ，∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ， ，∴ ，
解得： ， ，∴M点的坐标为： ；
（3）∵ ， ，点F为线段AB中点，∴ ，设 ，
第一种情况：当 时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，
垂足分别为T，N，即： 轴， ， ，
即： ，
∵ 等腰直角三角形， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ 轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ 落在直线BC上，BC的解析式为： ，∴ ，解得： ，∴ ，
第二种情况：当 时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，
垂足分别为T，N，即： 轴， ， ，
即： ，
根据第一种情况中的方法，同理可证： ，∴ ， ，
∵ 轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ 落在直线BC上，BC的解析式为： ，
∴ ，解得： ，∴ ，综上：G点坐标为： ， ．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三
角形解决问题，属于中考压轴题．
21．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）已知 中，如果过顶点 的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点 的二分割
线．例如：如图1， 中， ， ，若过顶点 的一条直线 交 于点 ，若，显然直线 是 的关于点 的二分割线．（1）在图2的 中， ，
．请在图2中画出 关于点 的二分割线，且 角度是 ；
（2）已知 ，在图3中画出不同于图1，图2的 ，所画 同时满足:① 为最小角；②
存在关于点 的二分割线． 的度数是 ；
（3）已知 ， 同时满足：① 为最小角；②存在关于点 的二分割线．请求出 的度
数（用 表示）．
【答案】（1）作图见解析， ；（2）作图见解析， ；（3）∠A=45°或90°或90°－
2α或 ，或α＝45°时45°＜∠BAC＜90°．
【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD为 ABC的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：
BDC是等腰三角形， ABD是直角三角形；第二△种情况： BDC是直角三角形， ABD是等腰三角形分
△别利用直角三角形的性质△、等腰三角形的性质和三角形的内角△和定理解答即可． △
【详解】解：（1） 关于点 的二分割线BD如图4所示， ；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；（3）设BD为△ABC的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，
∴∠DBC＝∠C＝ ．
当∠A＝90°时，△ABC存在二分分割线；
当∠ABD＝90°时，△ABC存在二分分割线，此时∠A＝90°－2α；
当∠ADB＝90°时，△ABC存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A＜90°；
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时 ；
当∠BDC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时∠A＝45°，
综上，∠A=45°或90°或90°－2α或 ，或α＝45°时，45°＜∠BAC＜90°．
【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三
角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形
的性质是解答的关键．
22．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过
的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点 ，直线 交x轴负半轴于点D，若 的面积为
(1)求直线 的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段 上（不与点 重合），过点P作
x轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)
(3)存在，点F的坐标为 或 或
【分析】（1）根据直线 交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 ， ，设直线 解析式为
，把 的坐标代入求得 的值，从而求得 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出 的值，
求出 的值，从而求出 点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出 的解析式，先根据 的坐标
求出直线 的解析式，将 点的横坐标代入直线 的解析式，求出 的纵坐标，将 的纵坐标代入直线
的解析式就可以求出 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使 为等腰直角
三角形，分三种情况分别以点 为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中 的值，就
可以求出 点的坐标．
【详解】（1）解： ，∴设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 ， ， ，
∴直线 的解析式为 ， ， ，
的面积为 ， ，
， ， ， 直线 的解析式为
（2）解：设直线 的解析式为 ，
， ∴ ，解得 ．∴直线 的解析式为 ；
∵点P在 上，且横坐标为m， ， 轴，∴E的纵坐标为 ，
代入 得， ，解得 ， ，
的长 ；即 ， ；
（3）解：在x轴上存在点F，使 为等腰直角三角形，①当 时，如图①，有 ， ， ，
，解得 ，此时 ；
②当 时，如图②，有 ， 的长等于点E的纵坐标，
， ，解得： ，
∴点E的横坐标为 ，∴ ；
③当 时，如图③，有 ， ．
， ．作 ，点R为垂足，
， ， ．同理 ， ．
∵点R与点E的纵坐标相同， ，∴ ，解得： ，
，∴点F的横坐标为 ， ．
综上，在x轴上存在点F使 为等腰直角三角形，点F的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
