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专题 1.4 圆全章知识典例详解
【人教版】知识点1 圆的定义
1．圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
圆O
A
O
圆心 半径
由圆的定义可知：
（1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同
一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
（2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确
定圆的位置，半径长确定圆的大小．
【典例1】（2023•潮安区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径
的圆恰好经过AB的中点D，则 C的半径为（ ）
⊙
A．5❑√3 B．8 C．6 D．5
【典例2】（2023•西区校级一模）如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过
点B作OA的垂线交 O于点C．以OB、BC⊙为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB
的长为（ ） ⊙
A．6 B．5 C．4 D．2
知识点2 垂直于弦的直径
1．圆的对称性
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心．2．垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣
弧”，构成知二推三.
【典例1】（2024•凉州区三模）如图，AB是 O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．
则DC的长为（ ） ⊙
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
【典例2】（2024•高邮市一模）如图，已知 O的半径为10， O的一条弦AB＝16，若 O内的一点P恰
好在AB上，则线段OP的长度为整数的值⊙有（ ） ⊙ ⊙
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【典例3】（2024•武威三模）如图， O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交 O于点
D，则CD的取值范围是（ ） ⊙ ⊙
A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10
【典例4】（2024•丛台区校级三模）如图，在 O中，满足^AB=2C^D，则下列对弦AB与弦CD大小关系
表述正确的是（ ） ⊙A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
【典例5】（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是 O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO
的度数为（ ） ⊙
A．42° B．44° C．46° D．48°
知识点3 弧、弦、圆心角
1．弧、弦、圆心角相关概念
①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等
于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距.
②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A、B为端点的弧记作 ，读作弧AB．
优弧 m C
弦
O
B
A
劣弧
表示：劣弧
优弧 或
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
⑤顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数.
2．弧、弦、圆心角之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各
组量也都分别相等.
【典例1】（2024•甘谷县三模）如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，若BC＝CD＝DA＝
4，则 O的周长为（ ） ⊙ ⊙
⊙
A．4π B．6π C．8π D．9π
【典例2】（2024•丛台区校级三模）如图，在 O中，满足^AB=2C^D，则下列对弦AB与弦CD大小关系
表述正确的是（ ） ⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
【典例3】（2024•南京三模）如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，^AmB、C^nD的度数分别为α、β，
∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为 ．
【典例4】（2023秋•泗阳县月考）如图，OA，OB，OC是 O的半径，^AC=^BC，点M，N分别是OA，
OB的中点，CM与CN相等吗？为什么？ ⊙
【典例5】（2023秋•拱墅区校级月考）如图，在 O中，^AC=C^B，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E．
⊙（1）求证：AD＝BE．
（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．
知识点4 圆周角
1．圆心角和圆周角
D
O
B
C
A 圆心角
圆周角
顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半．
C
D
O
A B
如图， ．
3．圆周角定理推论
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）．
C
A O B
如图， 是半圆（AB是直径），则
推论2：圆内接四边形的对角互补．A
D
O
B C E
如图，四边形ABCD是 的内接四边形，则 ，由推论2，我们可以得到圆内接四边形
的外角等于内对角，如图，即
4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量分别相等．
总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系．
1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，
圆周角相等．
2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等．
3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，
而弦对应的弧有两条．
【典例1】（2024春•青山区校级月考）如图，点A、B、C为 O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC
＝40°，则∠ACB的度数为（ ） ⊙
A．20° B．30° C．35° D．40°
【典例2】（2024•陆丰市模拟）如图，AB是 O的直径，点C，D，E在 O上，若∠ACE＝20°，则
∠BDE的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
【典例3】（2023秋•南乐县期末）如图，BD是 O的直径，点A，C在 O上，^AB=^AD，AC交BD于
点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（⊙ ） ⊙A．99° B．108° C．110° D．117°
【典例4】（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且^AB=^BC=C^D，点P在C^D
上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（ ）
A．105° B．100° C．90° D．70°
【典例5】（2024•恩施市一模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，
BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【典例6】（2024•山阳县三模）如图，四边形ABCD内接于 O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD
为 O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC⊙的度数为（ ）
⊙
A．30° B．50° C．70° D．80°
【典例7】（2024•驿城区模拟）如图，∠DAE是圆O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DAE＝58°，那
么∠BOD的度数是（ ）A．58° B．96° C．106° D．116°
知识点5 直线与圆的位置关系
1．点和圆的三种位置关系
点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设
的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
则有：点在圆外⇔d > r；
点在圆上⇔d = r；
点在圆内⇔ d < r；
2．确定圆的条件
①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
3．直线和圆的关系有三种
位置关系 定义 图形 性质及判定
直线与圆有两个交点，直线叫
直线l与 相交
做圆的割线．
直线与圆有唯一交点，直线叫
直线l与 相切 做圆的切线，交点叫做圆的切
点．
直线l与 相离 直线与圆没有交点．
4．切线的性质和判定
①切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直.
②切线的判定：定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线．
距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直.
5．切线长定理
①切线长定理：
切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
②三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平
分线的交点．
注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部．
（2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径．
A
F
D
g
O
B E C
（ 3 ） 常 见 结 论 ： 如 图 ， ， ， ，
， ．
【典例1】（2023秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，
过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ，半径为 ．
【典例2】（2023秋•宁河区期末）已知 O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与 O的位
置关系是（ ） ⊙ ⊙
A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
【典例3】（2⊙024•二道区校级三模）⊙如图，在△ABC中，∠⊙ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，
r为半径作圆，当点C在 A内且点B在 A外时，r的值可能是（ ）
⊙ ⊙A．6 B．8 C．10 D．12
【典例4】（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为
半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
60
A．5≤r≤12或r= B．5＜r＜12
13
60 60
C． ＜r＜12 D． ≤r≤12
13 13
【典例5】（2024•城阳区一模）已知平面内有 O和点A，B，若 O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB
＝3cm，则直线AB与 O的位置关系为（ ⊙ ） ⊙
A．相离 ⊙ B．相交
C．相切 D．相交或相切
【典例6】（2023秋•斗门区期末）如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于
点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，⊙则△PCD的周长为（ ）⊙ ⊙
A．8 B．12 C．16 D．20
1
【典例7】（2024春•秦都区校级月考）如图，AB为 O的直径，延长AB至点M，使得BM= AB，过
2
⊙
点M作 O的切线MC，C为切点，连接AC，若 O的半径为2，则AC的长度为（ ）
⊙ ⊙
A．2❑√5 B．❑√3 C．4 D．2❑√3
【典例8】（2024•赣州二模）如图，△ABC的顶点A，B在 O上，AC交 O于点D，连接BD，已知∠A
⊙ ⊙＝45°．（1）若 O的半径为3，求弦BD的长；
（2）当∠ABC+⊙∠ADB＝180°，求证：BC是 O的切线．
⊙
【典例9】（2024•府谷县三模）如图，AB为 O的直径，DE切 O于点E，BD⊥DE于点D，交 O于点
C，连接OE，BE． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
知识点6 正多边形与圆
1．正多边形的有关概念：
（1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
（2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
（4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距.
2．正多边形的性质：
(n−2)·180°
（1）正多边形的一个内角等于
n360°
（2）中心角：
n
（3）正多边形的中心角等于外角的度数.
【典例1】（2024•石狮市模拟）如图， O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P
是优弧MN上的一点，则∠MPN的度⊙数为（ ）
A．55° B．60° C．72° D．80°
【典例2】（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若
∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例3】（2024•凤台县三模）如图，正三角形 ABC和正六边形ADBECF都内接于 O，连接OC，则
∠ACO+∠ABE＝（ ） ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
知识点7 弧长和扇形面积
1．弧长和扇形面积：
n nπR
①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则l= ·2πR=
360 180对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量.
②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
n
③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S= ·πR2=
360
nπR2
360
1
用弧长和半径R表示扇形面积：S= lR
2
注意：
①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位.
②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长.
③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.
2．圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；
圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高；
①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线 l，扇
形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S =πrl. S = πrl+πr 2 .
侧 全
②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式： r 2 +h 2 =l 2
③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为 r，其侧面展开扇形的
nR
半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r=
360
【典例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的 O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则^AC的长为
（ ） ⊙A．8π B．5π C．4π D．6π
【典例2】（2024•惠州模拟）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若 O
的半径为5，则^DC的长为（ ） ⊙ ⊙
13 10 1
A． π B． π C．π D． π
3 9 2
【典例3】（2023秋•海安市期末）如图，AB是 O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D； ⊙
（2）若CD=4❑√3，∠D＝30°，求阴影部分的面积．
【典例4】（2024•沿河县一模）如图，已知AB是 O的直径，点C，D在 O上，∠D＝60°且AB＝6，过
点O作OE⊥AC交 O于点F，垂足为E． ⊙ ⊙
（1）∠CAB的度数⊙为 ；
（2）求OE的长；
（3）求阴影部分的面积．【典例5】（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角
是（ ）
A．180° B．216° C．240° D．270°
【典例6】（2023秋•清河区校级期末）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面
积为8π的圆锥体，则该扇形的母线的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例7】（2024春•阳明区校级月考）若一个圆锥的底面半径为 1cm，圆锥的高为❑√15cm，则该圆锥的
侧面积为（ ）
A．❑√15cm2 B．4πcm2 C．16πcm2 D．14πcm2
【典例8】（2024•河口区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC
于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若AB=BE=2❑√2，则该圆锥底面半径为（ ）
A． B． C．1 D．2
