专题10几何图形旋转压轴题的三种考法（教师版）（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_压轴题攻略-V9_2024版

专题 10 几何图形旋转压轴题的三种考法 类型一、旋转最值问题 例．如图，点E是边长为4的正方形 内部一点， ，将 按逆时针方 向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 得到 ，则点E在以 为直径的圆上，取 中点 G，当 过点G时， 有最小值，由旋转的性质得到 ，则此时 也取最小 值，即可解答． 【详解】解：在正方形 中， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点E在以 为直径的圆上， 取 中点G，连接 ，当 过点G时， 有最小值， 又∵ 按逆时针方向旋转 得到 ， ∴ ， ∴此时 也取最小值， ∵ ， 为 的半径，即 ，∴此时 ， ∴ ， 即 的最小值为 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题 给条件，从而得到点的轨迹． 【变式训练1】．如图，在矩形 中， ，连接 ， 将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ，则线段 的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】连接 ，过点A作 ，截取 ，连接 ，通过 证明 ，得 ，再求出 的长．最后在 中，利用三边关系即可得 出答案． 【详解】如图，连接 ，过点A作 ，截取 ，连接 ， ∵将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴在 中， ． ∵ ， ∴ ． ∵ ，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴ 的最小值为 ． 故答案为： ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知 识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【变式训练2】．如图， 是边长为6的等边三角形，点E为高 上的动点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值 是 ． 【答案】 【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，进而求得 ，即可求解． 【详解】解：∵ 为高 上的动点． ∴ ， ∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ．且 是边长为 的等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点在射线 上运动， 如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ， 则 ，在 中， ，则 ， 则当 三点共线时， 取得最小值，即 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， , ∴ 周长的最小值为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质 与判定，勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称的性质是解题的关键． 【变式训练3】．如图，平行四边形 中， ，E是边 上 一点，且 是边 上的一个动点，将线段 绕点E逆时针旋转 ，得到 ， 连接 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】取 的中点N，连接 作 交 的延长线于H，根据三角形 全等的判定与性质可以得到 ，由三角形三边关系可得 ，利用勾股定 理求出 的值即可得到解答． 【详解】解：如图，取 的中点N，连接 ，作 交CD的延长线于 H， 由题意可得： ∵点N是 的中点，∴ ∴ ∵ ∴ 是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴∴ ∴ ∴点G的运动轨迹是射线 ， ∵ ∴ ∴ ∴ 在 中， ∴ ， ∴在 中， = = ， ∴ ≥ ，∴ 的最小值为 ；故答案为 ． 【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三 角形全等的判定与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键． 类型二、三角形中的旋转问题 例．如图，在 中， ，将 绕点C旋转一定的角度得到 ，点D恰好落在边 上． (1)求证： 平分 ； (2)连接 ，若 ， ，求 的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，再由“等边对等角”可得 ，因此可得 ，即可得出 平分 ． （2）连接 ，根据全等三角形的性质可得 ，由此可得 ．再根据 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”可得 ，又由 即可证 是等边三角形，可得 ，再证 ，由此可得 ，根 据SAS证明 ，则可知 ，在 中，根据勾股定理求出 的长，再在 中根据勾股定理即可求出 的长． 【详解】（1）∵ 绕点C旋转一定的角度得到 ， ∴ ， ，， ∴ 平分 ． （2） 如图，连接 ， ， ． 又 ， ， ． 又 ， ， 是等边三角形， ， ． 又 ， ， ， ． 在 和 中， ， ， , ， ， ， ． ∴ 的长为 ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性 质，以及勾股定理，综合性较强．正确的作出辅助线，且证明出 是解题的关键． 【变式训练1】（1）如图1，过等边 的顶点A作 的垂线l，点P为l上点（不与 点A重合），连接 ，将线段 绕点C逆时针方向旋转60°得到线段 ，连接 ．①求证： ； ②连接 并延长交直线 于点D．若 ， ，求 的长； （2）如图2，在 中， ，将边 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连 接 ，若 ， ，求 长． 【答案】（1）①见解析；② ；（2） 【分析】（1）①证明 ，即可得出 ； ②连接 ，由旋转可得 是等边三角形，根据 ，可知 是 的垂直平分 线， ，再由 ，得出 ，然后由勾股 定理求出 和 的长，根据 求出结果； （2）将 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，构建等腰直角三角形 ，求出 的长，再证明 ，即可得出答案． 【详解】（1）①证明：在等边 中， ， ， 由旋转可得 ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ； ②连接 ，如图： 由旋转，得 ， ， ∴ 是等边三角形，∵ ， ∴ ， ∴ 是 的垂直平分线， ∴ ， 在等边 中， ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）将 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，如图： 则 是等腰直角三角形， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查几何变换的综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定 与性质，直角三角形的判断与性质等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解 决问题． 【变式训练2】．如图1，有等边 和等边 ，将 绕点 顺时针旋转，得到 图2所示的图形． (1)求证： ； (2)如图3，若 ， ，且旋转角为 时，求 的度数； (3)如图4，连接 ，并延长 交 于点 ，若 旋转至某一位置时，恰有 ， ，求 的值． 【答案】(1)见详解；(2) ；(3) 【分析】（1）由旋转可得 ，可证 ， ，即可求证； （2）过点 作 于点 ，取 的中点，连接 ， 可求 ， 从而可求 ，可证 是等边三角形，即可求解； （3）可求 ， ， ，从而可求 ，可证 ， ，即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转得： ，、 是等边三角形， ， ， 在 与 中， ， （ ）． （2）解：如图，过点 作 于点 ，取 的中点，连接 ， 旋转角为 ， ， 由（1）得： ， ， 在 中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：同理可证 ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形行的性质，三角形 全等的性质与判定、直角三角形的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【变式训练3】．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识 相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究： 如图， 和 均为等腰直角三角形， ，点D为 中点， 绕点D旋转，连接 、 ． 观察猜想：（1）在 旋转过程中， 与 的数量关系为______； 实践发现：（2）当点M、N在 内且C、M、N三点共线时，如图，求证： ； 解决问题：（3）若 中， ，在 旋转过程中，当 且C、M、N 三点共线时，直接写出 的长．【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或 【分析】（1）如图所示，连接 ，根据等腰三角形的性质可证 ， 由此即可求解； （2）由（1）中 ，再根据 为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点C、M、N三点共线，分类讨论，根据（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解： ，理由如下， 如图所示，连接 ， ∵ 为等腰直角三角形， ， ∴ ， ∵点D为 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， 故答案为： ； （2）证明：如图所示，连接 ， 由（1）可知， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解： ， ，C、M、N三点共线， ①由（2）可知， ， 由（1）可知， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ；②如图所示，由（1）可知， ， ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∴ ， ∴ （不符合题意舍去）； ③如图， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 同法可证 ， ∴ ， ∴ ，即 是直角三角形， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ； 综上所述， 的长为 或 ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合， 掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．类型三、四边形中的旋转问题 例．如图，在矩形 中， ， ，将矩形 绕点A逆时针旋转至矩形 ，旋转角为 ，当点C， 和 三点共线时， 的长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点C， 和 三点共线， ，先根据勾股定理求出 ，再根据勾 股定理求出 ，通过证明 ，得出 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C， 和 三点共线，∴ ， ∵矩形 绕点A逆时针旋转至矩形 ， ∴ ， ， 在 中，根据勾股定理可得： ， 在 中，根据勾股定理可得： ， 在 和 中， ，∴ ， 设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理可得： ，即 ，解得： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理， 解题的关键是正确画出图形，根据勾股定理列出方程求解．【变式训练1】．在平面内，旋转变换指某一个图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一 定的角度而得到新位置图形的一种变换． 活动一，如图①，在直角三角形 中， 为斜边 上的一点， ， ，且四 边形 是正方形，在求阴影部分面积时，小明运用图形旋转的方法，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 （如图②所示），小明立刻就得到了答案，请你写出阴影部 分的面积． 活动二：如图③，在四边形 中， ， ， ， ， 过点 作 于点 ，小明仍运用图形旋转的方法，将 绕点 逆时针旋转 ， 得到 （如图④所示），则： （1）四边形 是怎样的特殊四边形？答：______； （2） 的长是______． 活动三：如图⑤，在四边形 中， ， ， 为 中点，连接 、 ．若 ， ，求 的长． 【答案】活动一：3；活动二：（1）正方形；（2）4；活动三：5． 【分析】活动一：由旋转的性质可得 ， ，从而得到 ，即可求解； 活动二：（1）利用旋转的性质可得 ， ，从而得到 ， 再根据正方形的判定方法即可求解；（2）根据正方形的性质可得 ，求得 的长度，即可求解； 活动三：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，通过证明 为等边三角形， 即可求解． 【详解】活动一：由旋转的性质可得 ， ， ∵四边形 是正方形， ∴ ，即 ∴ ，即 为直角三角形 ∴ ； 活动二：（1）由旋转的性质可得 ， ， ∵ ∴ ，又∵ ， ∴ ， 又∵ ∴四边形 为矩形， 又∵ ∴矩形 为正方形； （2）由（1）可得 由题意可得： 又∵ ∴ ，解得 ∴ ； 故答案为：正方形，4； 活动三：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，如下图： ∵ ∴ 由旋转的性质可得： ， ， ∴ ，即 ∵ 为 中点， ∴ ∴ ∴ 为等边三角形， ∴ 【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题 的关键是熟练掌握相关基本性质，利用旋转的性质进行求解． 【变式训练2】．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的， 下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形 的边 上， ，连接 ，试猜想 之间的数量关系图1 图2 图3 (1)思路梳理： 把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得， ，即点F、D、G共线，易证 _________，故 之间的数 量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形 的边 的延长线上， ．连接 ， 试猜想 之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在 中， ，点D、E均在边 上，且 ．若 ，直接写出 和 的长． 【答案】(1) ， (2) ，证明见解析 (3) ， 【分析】（1）先根据旋转得： ，计算 ，即点 、 、 共线，再根据 证明 ，得 ，可得结论 ； （2）作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ，得 ，所以 ； （3）同理作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ，得 ，先由勾股定理求 的长，证明 ，求出 ， ，继而得 到 ，过A作 ，垂足为 ，根据等腰直角三角形的性质求出 ，可得 ，利用勾股定理可得 ． 【详解】（1）解：如图1，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重 合，即 ， 由旋转得： ， ， ， ， ，即点 、 、 共线， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ； 故答案为： ， ； （2）如图2， ，理由是： 把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，则 在 上， 由旋转得： ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ；（3）如图3，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，连接 ， ， 由旋转得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 过A作 ，垂足为 ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一 三角形全等，得出结论，从而解决问题． 【变式训练3】．综合与实践： 问题情景：如图1、正方形 与正方形 的边 ， 在一条直线上， 正方形 以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只 有点A重合，其它顶点均不重合，连接 ， ． (1)操作发现：当正方形 旋转至如图2所示的位置时，求证： ； (2)操作发现：如图3，当点E在 延长线上时，连接 ，求 的度数； (3)问题解决：如图4， 如果 ， ， ，请直接写出点G到 的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ， ， ，从而证明 ，即可得出结论； （2）过F作 ，垂足为H，证明 ，可得 ， ，从而可得 ，再由 ，即可求解； （3）连接 ， ，过点B作 于点H，根据正方形的性质可得 ，从而 可得 ，再利用勾股定理求得 ，再由 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， 又∵四边形 是正方形， ∴ ， ，∴ ． 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）解；过F作 ，垂足为H， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵四边形AEFG是正方形， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， （3）解：如图，连接 ， ，过点B作 于点H， ∵ 是正方形 的对角线， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 设点G到 的距离为h， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴点G到 的距离为 ． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟 练掌握正方形的性质是解题的关键． 课后训练 1．如图，在 中，点 在 上，连接 ， ，点 在 上，连接 ， ，若 ， 的面积为 ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】先进行把 绕点 逆时针旋转 ，， 绕点 逆时针旋转 ，根据性质可以得出 ，继而利用勾股定理可得 ，利用面积 即可求解． 【详解】如图， 绕点 逆时针旋转 ，点 与 对应，点 与 对应， 绕 点 逆时针旋转 ，点 与 对应，点 与 对应 ∵ ， ， ， ∴ 旋转后与 重合， 与 重合， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴点 ， ， 三点共线， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ∴ ， ， 在 ，由勾股定理得： ， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理得应 用．2．如图，等腰直角 中， ， ，点 是边 上一点，将 绕点 顺时针旋转 到点 ，则 长的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则此时 、 、 在同一直线 上，得出点 的运动轨迹为线段 ，当 时， 的长度最小，由直角三角形的 性质及三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则此时 、 、 在同一 直线上，即有 ， ∴ ， ， ， ， ， 随着点 的运动，总有 ， ， ， ∴ ， 同理可证明： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 、 、 三点在同一直线上，点 的运动轨迹为线段 ， 当 时， 的长度最小，如图， 在等腰 中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂 线段最短，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 3．如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为 中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动 轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆， 再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点 之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共线时， 的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ， 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆， 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆， 如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小， 四边形 是正方形， ， ， 是 的中点， ， ， 由旋转得： ， ， ， 的值最小为 ． 故答案： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题， 掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 4．如图，在四边形 中， ， ，将边 绕点 顺时针旋转 后， 点 恰好落在边 上的点 处，已知 ，则 的长度为 ． 【答案】 【分析】题提示：过 点作 交 延长线于点 ，连接 ，先证明 ， 再证明 ，即可得 ， ，即有 为等腰直角三角形， 即可得 ，问题随之得解．【详解】过 点作 交 延长线于点 ，连接 ，如图， 根据旋转有： ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 又 ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性 质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键． 5．在 中， ， ，点D，E是边 ， 的中点，连接 ， ，点M，N分别是 和 的中点，连接 ．(1)如图1， 与 的数量关系是_________； (2)如图2，将 绕点A顺时针旋转，连接 ，请写出 和 的数量关系，并就图 2的情形说明理由； (3)在 的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段 的长． 【答案】(1) (2) ，见解析 (3) 或 【分析】（1）可证 ， ，即可求解； （2）连接 ，可证 ，可得 ，即可求解； （3）①当点E在线段 上时，过点 作 于点 ，可求 ， ，即可求解；②当点D在线段 上时，过点 作 于点 Q，可求 ， ，即可求解． 【详解】（1）解： 点D，E是边 ， 的中点， ， ， ， ， 点M，N分别是 和 的中点， 是 的中位线， ， ， 故答案： ．（2）解： ，理由如下： 如图，连接 ， 由（1）同理可得： ， 由旋转得： ， ， ， 在 和 中 ， （ ）， ， 点M，N分别是 和 的中点， ， ． （3）解：①如图，当点E在线段 上时，过点 作 于点 ， ， ， ， 在（1）中： 点D，E是边 ， 的中点，， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ； ②如图，当点D在线段 上时，过点 作 于点Q， 在 中， ， ， ， 由①同理可求 ， 在 中， ， ， ， ； ． 综上所述， 或 ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等判定及 性质，三角形中位线定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．