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专题11.8 与三角形有关的线段（中线、高线和角平分线）（直通中
考）
一、单选题
1．（2022·湖南永州·统考中考真题）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广西玉林·统考中考真题）请你量一量如图 中 边上的高的长度，下列最接近的是
( )
A． B． C． D．
3．（2022·河北·统考中考真题）如图，将 ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l
是 ABC的（ ） △
△
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
4．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是 ABC的AC边上的高线 B．线段CD是 ABC的AB边上的高线C．线段AD是 ABC的BC边上的高线 D．线段AD是 ABC的AC边上的高线
5．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）如图， 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以
下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东梅州·统考一模）如图， 的面积为30， ，E为 的中点，则 的
面积等于（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
7．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图， 是 中线， ， ．若
的周长为10，则 的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在四边形 中， ，对角线 相交于点
E，若 ， ，则四边形 的面积为（ ）A． B． C． D．
9．（2023·重庆·模拟预测）如图， ， ， 分别是 的中线，角平分线，高，下列各式中
错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河北石家庄·统考三模）在 中， 是 的中线．看到图形，甲、乙、丙、丁四
名同学给出四个不同的结论，其中正确的是（ ）
甲：
乙：
丙：
丁：
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
11．（2023·全国·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是
__________．12．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点
E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为
____________．
13．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，在 中， 是中线 的中点．若 的面积是
1，则 的面积是______．
14．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图， 是 的中线，若 ， ，则 与
的周长之差为____________．
15．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均
在格点上，则 __________ (填“＞”，“＜”或“＝”)．16．（2022·北京西城·统考二模）如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC
上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°．
17．（2022·广东东莞·校考一模）如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若
AB＝6cm，AC＝2.5cm，则 的值为__.
18．（2023·湖南衡阳·校考二模）如图，在 中，已知点D，E，F分别为边 的中点，
且 ，则阴影部分面积 _______．
三、解答题
19．（2019·湖北武汉·统考模拟预测）如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，EG平分 ，FG平分 ，且 .求证： ．
20．（2023·陕西西安·校考三模）如图， ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数． △
21．（2018·北京·校联考一模）如图，在 ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC
△于点E．
求证：AE=DE．
22．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在 和 中， 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用 ， 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1) 如图②，D是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2) 如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点．若 ， ，，则 __________， _________；
(3) 如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点，若 ， ，
，则 __________．
23．（2022·山西·一模）如图， 中， ， ， ， ．若动点P从
点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
(1) 当t=___________时， 把 的周长分成相等的两部分？
(2) 当t=___________时， 把 的面积分成相等的两部分？
(3) 当t为何值时， 的面积为12？24．（2020·山西运城·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式﹣﹣﹣
﹣海伦公式S＝ （其中a，b，c是三角形的三边长， ，S为三角形的面
积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴ ＝6
∴S＝ ＝ ＝6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦
九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝7，AC＝8，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）如图，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．参考答案
1．D
【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．
解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，
故选D．
【点拨】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．
2．D
【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．
解：如图所示，过点A作AO⊥BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，
故选：D．
【点拨】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．
3．D
【分析】根据折叠的性质可得 ，作出选择即可．
解：如图，
∵由折叠的性质可知 ，
∴AD是 的角平分线，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据高线的定义注意判断即可．
解：∵ 线段CD是 ABC的AB边上的高线，
∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是 ABC的AB边上的高线，
∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是 ACD的CD边上的高线，
∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是 ACD的CD边上的高线，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．
5．D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点拨】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
6．C
【分析】根据三角形的中线的性质与面积公式即可得到结论．
解：∵ 的面积为30， ，
∴ ，
又E为 的中点，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
7．D
【分析】根据中线的定义可得 ，结合 的周长可得 ，进而得出 ，
即可求解．
解：∵ 是 中线，
∴ ，
∵ 的周长为10， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一个顶点到对边中点的连线是中线．
8．A【分析】由四边形 中， ，可得 ，再利用 ， ，然后
可求出 ，根据 可得 ，从而可得答案．
解：∵四边形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，熟练的掌握同高的两个三角形
的面积之间的关系是解本题的关键．
9．D
【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；
解：A．∵ 是 的中线
∴ ，
故选项正确，不符合题意；
B．∵ 是 的角平分线
∴
故选项正确，不符合题意；
C．∵ 分别是 的高，
∴
故选项正确，不符合题意；D． 不一定成立，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定
义进行判断即可．
10．D
【分析】根据三角形中线的定义可直接得出答案．
解： 是 的中线，
点D为 边的中点，
，
因此丁同学的结论正确，
故选：D．
【点拨】本题考查三角形中线的定义，解题的关键是熟记定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边
的中点的线段叫做三角形的中线．
11．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点拨】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
12．
【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得 ，进而即可
得到答案．
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴ ，
∴ ，
∴CE：AD：BF= ，
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．13．2
【分析】根据 的面积 的面积， 的面积 的面积计算出各部分三角形的面积．
解： 是 边上的中线， 为 的中点，
根据等底同高可知， 的面积 的面积 ，
的面积 的面积 的面积 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
14．1
【分析】利用三角形的中线的定义可知 ，所以两个三角形的周长差即为 ．
解：∵ ， ，
∴ ．
又∵ 是 中线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【点拨】本题考查三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段．
15．＜
【分析】分别求出 的面积和 的面积，即可求解．
解：由题意，
，
，
∴ ；
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
16．50
【分析】根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解．
解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°，
∴∠B=180°-90°-40°=50°，
故答案为：50．
【点拨】本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角
形内角和定理求解即可．
17．
【分析】由题意， ABC中，AD为中线，可知 ABD和 ADC的面积相等；利用面积相等，问题可
求． △ △ △
解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC．
∴S ABD=S ADC．
△ △
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5．
∴ •AB•ED= •AC•DF，
∴ ×6×ED= ×2.5×DF，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知
识解答．属于基础题．
18．4
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分可得图中各个三角形面积之间的关系，
解：∵点D为 中点，
∴ ，
∵点E为 中点，
∴ ， ，
∴ ，∵点F为 中点，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平
均分成两部分．
19．证明见分析
【分析】根据角平分线定义求出∠BEF=2∠GEF，∠DFE=2∠GFE，求出∠BEF+∠DFE=180°，根据平
行线的判定推出即可．
解：因为EG平分 ，FG平分 （已知），
所以 ， （角平分线的定义），
所以 （等式的性质）．
又因为 （已知），
所以 ，
所以 （同旁内角互补，两直线平行）．
【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的判定．掌握同旁内角互补，两直线平行是解题关键．
20．60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=85°-50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°.
21．见分析
分析：先利用角平分线得到∠BAD=∠EAD，再有DE∥AB，得到∠BAD=∠ADE，利用等量代换得到
∠EAD=∠ADE，根据“等角对等边”即可得到AE=DE．
解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD=∠EAD，∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
点睛：本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定，由AD平分∠BAC和DE∥AB
得到∠EAD=∠ADE是解答本题的关键.
22．(1) ；(2) ； ；(3)
【分析】（1）由图可知 和 是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据 ， 和等高三角形的性质可求得 ，然后根据 和等高三
角形的性质可求得 ；
（3）根据 ， 和等高三角形的性质可求得 ，然后根据 ，
和等高三角形的性质可求得 ．
（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，
则 ，
∵AE=AE，
∴ ．
（2）解：∵ 和 是等高三角形，
∴ ，
∴ ；∵ 和 是等高三角形，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ 和 是等高三角形，
∴ ，
∴ ；
∵ 和 是等高三角形，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并
能灵活运用是解题的关键．
23．(1)6；(2)6.5；(3)2或6.5秒
【分析】（1）先求出 的周长为24cm，所以当 把 的周长分成相等的两部分时，点P在
上，此时 ，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在 中点时， 把 的面积分成相等的两部分，进而求解即
可；
（3）分两种情况：①P在 上；②P在 上．
解：（1） 中，∵ ， ， ，
∴ 的周长 ，
∴当 把 的周长分成相等的两部分时，点P在 上，此时 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：6；
（2）当点P在 中点时， 把 的面积分成相等的两部分，此时 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：6.5；（3）分两种情况：
①当P在 上时，
∵ 的面积=12，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
②当P在 上时，
∵ 的面积=12= 面积的一半，
∴P为 中点，
∴ ， ．
故t为2或6.5秒时， 的面积为12．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分
类讨论的思想是解（3）题的关键．
24．（1） ；（2） .
【分析】（1）按照材料给出的公式，将数值代入即可求出面积；
（2）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，利用角平分线的性质可知IF＝IH
＝IG，利用第（1）问中求出的面积求出IF，最后利用三角形面积公式求△ABI的面积即可.
解：（1）∵BC＝7，AC＝8，AB＝9，
∴
答：△ABC面积是 ；
（2）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S ABC＝S ABI+S ACI+S BCI，
△ △ △ △
∴ （9•IF+8•IF+7•IF）＝
解得IF＝
故S ABI＝ AB•FI＝ ×9× ＝ ．
△
【点拨】本题主要考查三角形面积的求法和角平分线的性质，读懂题意，理解海伦公式的意义是解题
的关键.
