专题12.19添加条件证明三角形全等（分层练习）-（人教版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题12.19 添加条件证明三角形全等（分层练习）
从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元
素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边
角,有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路。
。
1．如图，在 和 中， ， ， ， 在同一直线上，且 ， ．
(1) 请你添加一个条件：_________，使 ；（只添一个即可）
(2) 根据（1）中你所添加的条件，试说明 的理由．
．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、
BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．
你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．3．如图，四边形 中， ，点E在对角线 上，且 ，如果___________，那么
．请填上能使结论成立的一个条件，并证明你的结论．
4．如图，点D，E分别在线段 上， ．现给出下列条件：① ；② ；
，请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得 ，并证明．
5．在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成
问题的解答．
问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上， ， ，若______，
求证： ．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）6．如图，点C，E，F，B在同一直线上， ，下列3个条件：① ；② ；
③ ，选出能推出 的一个条件．已知：如图， ，___________（写出一
种情况即可）；求证： ．
7．如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AC = CD，AB = CE，请你添加一个条件，使△ABC
≌ △CED，你添加的条件是 ，并写出证明过程．
8．课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图， ，请你再添加一个条件，使得
(1) 同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明
(2) 若添加的条件是 ，证明：9．如图，在五边形 中， ， ．
(1) 请你添加一个条件，使得 ，并说明理由；
(2) 在(1)的条件下，若 ， ，求 的度数．
10．如图，点D在 上， ．
(1)添加条件：____________（只需写出一个），使 ；
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
11．如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
(1)若要使 ，应添上条件： ；
(2)证明上题；
(3)在△ABC中，若AB＝5， ，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是 ．12．如图，在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问
题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在 中，D是BC边上一点，DE，DF分别是 和 高，EF交AD于O，若
______，
(1) 求证： ；
(2) 若 ， ，求 的面积．
13．如图 ，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是 ；
（2）证明：14．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向
点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC＝ cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这
样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知 ， ．
（1）若添加条件 ，则 吗？请说明理由；
（2）若运用“ ”判定 与 全等，则需添加条件：_________；
（3）若运用“ ”判定 与 全等，则需添加条件：___________．16．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠1＝∠2，AE＝AC．
（1）在不添加任何字母的情况下，请再补充一个条件，使得△ABC≌△ADE，你补充的条件是 （至少写出
两个可行的条件）；
（2）请你从所给条件中选一个，使△ABC≌△ADE，并证明．
17．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是 ．
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形 ．（只要求写出一对全等三角形，不再添加
其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
18．已知：点O到 ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
△(1)如图①，若点O在BC上，求证：∠B＝∠C；
(2)如图②，若点O在 ABC的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.
△
19．如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AC、BD相交于点O．
①已知AB＝CD，利用 可以判定△ABO≌△DCO；
②已知AB＝CD，∠BAD＝∠CDA，利用 可以判定△ABD≌△DCA；
③已知AC＝BD，利用 可以判定△ABC≌△DBC；
④已知AO＝DO，利用 可以判定△ABO≌△DCO；
⑤已知AB＝CD，BD＝AC，利用 可以判定△ABD≌△DCA；
20．如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得 ABC≌△DEC；
（1）若以“SAS”为依据，还缺条件____________△__；（2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________；
（3）若以“AAS”为依据，还缺条件_____________________；
21．如图，在长方形 中， =6 ， 10，点 从点 出发，以2 /秒的速度沿 向点
运动，设点 的运动时间为 秒：
（1） _______ ；（用 的代数式表示）
（2）如图①当 为何值时， ？
（3）如图②当点 从点 开始运动，同时，点 以 /秒从 出发沿 向点 运动，一点到达终点时两
点都停止运动．当 为何值时， 与 全等？
22．根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形
ABCD 中，AB = AB，BC = BC，B =B，C =C，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD ≌四边
形ABCD．下列四个条件：① A =A；②D =D；③ AD=AD；④CD=CD；
（1）其中，符合要求的条件是 ．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形ABCD．
23．在直角三角形 中， ，直线 过点 ．
(1) 当 时，
①如图1，分别过点 和 作 直线 于点 ， 直线 于点 ．求证： ；
②如图2，过点 作 直线 于点 ，点 与点 关于直线 对称，连接 交直线 于 ，连接 ．求证： ．
(3) 当 cm， cm时，如图3，点 与点 关于直线 对称，连接 、 ．点 从 点出发，
以每秒1cm的速度沿 路径运动，终点为 ，点 以每秒3cm的速度沿 路径运
动，终点为 ，分别过点 、 作 直线 于点 ， 直线 于点 ，点 、 同时开始运动，
各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为 秒．当 与 全等时，求 的值．
24．如图①、②、③中，点E、D分别是正 ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相
邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点△．
（1）求图①中，∠APD的度数为_______；
（2）图②中，∠APD的度数为_________，
（3）图③中，∠APD的度数为_______；参考答案
1．(1) (2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求解．
（2）结合（1）的条件，利用ASA即可求证．
【详解】（1）解：添加 使 ，故答案为： ．
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．
2．DE=DF(答案不唯一)，理由见详解
【详解】解：添加的条件是：DE=DF．
理由如下：
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
∵
∴△BDF≌△CDE．
故答案为：DE=DF．
3． ，证明见解析
【分析】添加条件： ，根据平行线的性质得 ，结合已知利用 证明全等即可．
【详解】添加条件： ，
证明如下：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．见解析
【分析】添加 ，由 证明 即可．
【详解】解：添加 ，使得 ，
证明：在 和 中，
，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．∠A=∠E（答案不唯一）
【分析】由“ASA”可证△ABC≌△EDF，可得EF=AC．
【详解】解：若∠A=∠E，
∵AD=BE，
∴AB=DE，
∵∠ADF=∠CBE，
∴∠FDE=∠CBA，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
∴EF=AC．
故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．①或③；见解析
【分析】若选 ，由 可得 ，由 定理可得 ，利用三角形的性质定理
可得结果；若选 ，由 可得 ，可证得 ，利用全等三角形的性质
定理可得结果．【详解】.法一：若选①，证明如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
法二：若选③，证明如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题只要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
7．BC=ED（答案不唯一），证明见解析
【分析】可添加：BC=ED，利用SSS即可证明结论．
【详解】解：可添加：BC=ED，证明如下
在 ABC和 CED中
∴ ABC≌ CED（SSS）
故答案为：BC=ED（答案不唯一）．
【点拨】此题考查的是添加条件，使两个三角形全等，掌握全等三角形的各个判定定理是解题关键．
8．(1)答案不唯一， ，证明见解析 (2)见解析
【分析】（1）添加条件 ，直接证明 ，即可得证；
（2）连接 ，证明 ，得出 ，进而证明 ，即可得
证．
【详解】（1）答案不唯一，添加条件 ，证明：在 与 中，
∴ ，
故答案为： ；
（2）连接 ，如图，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．(1)见解析； (2) ．
【分析】（1） 或 ．根据 或 ，证明 即可求解；
（2）根据 得出 ，继而根据三角形内角和定理得出 ，根据 即可求解．
【详解】（1）证明：添加： 或 ．
∵在 和 中，
∴ 或 ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题
的关键．
10．(1) (2)见解析
【分析】（1）根据已知条件可得 ， ，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；
（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．
【详解】（1）添加的条件是： ,
故答案为 ；
（2）∵∴ ，
∵
∴ ，即 ，
又
∴
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．
11．(1) 或AD=DE（答案不唯一） (2)见解析 (3)0.5＜AD＜4.5
【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件： 或AD=DE（答案不唯一）；
（2）由AC与BE平行，得到两内错角相等，再由D为BC的中点，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形
ACD与EBD全等；
（3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到AE的取值范围，由D为AE
的中点，得到AD的取值范围．
【详解】（1）解：可添加： 或AD=DE（答案不唯一）．
（2）证明：∵ ，
∴∠CAD=∠E，∠ACD=∠EBD，
又∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
若添加AD=DE．
又∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ACD和△EBD中，，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（3）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AD=DE= AE，BE＝ ，
在△ABE中，AE＞AB-BE=5-4=1，AE< AB+BE=5+4=9，
∴1<AE<9．
∴0.5<AD<4.5．
故答案为：0.5<AD<4.5．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，属于基础题，解答本题的关键是熟练
掌握三角形全等的判定定理．
12．(1)证明过程见解析 (2)16
【分析】（1）若①，利用 证明 ；若②，利用 证明 ；若③，利用
证明 ；
（2）根据 ，可得 ，根据 即可求解．
【详解】（1）证明：若①
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在 和 中
∵
∴
若②
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在 和 中∵
∴
若③
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在 和 中
∵
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质
是解答本题的关键．
13．（1）BC=BA（答案不唯一）；（2）见解析．
【分析】(1)根据三角形全等的判定方法添加条件即可；
(2)根据已知条件，用（ASA）判定△BEA≌△BDC即可；
【详解】解：(1)添加条件为：BC=BA；
(2)证明：由题意可知：BD=BE，BC=BA，
在△BEA和△BDC中，
∴△BEA≌△BDC（SAS）．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
14．（1）(10﹣2t)；（2）t＝2.5；（3）存在；v的值为2.4或2
【分析】（1）根据题意求出BP，计算即可；
（2）根据全等三角形的判定定理解答；
（3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答.
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC−BP=(10−2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)
（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP，
∵当t=2.5时，BP=CP=5，
在△ABP和△DCP中，
∴△ABP≌△DCP；
（3）∵∠B=∠C=90°，
∴当AB=PC,BP=CQ时,△ABP≌△PCQ，
∴10−2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当AB=QC,BP=CP时, △ABP≌△QCP，
此时，点P为BC的中点，点Q与点D重合，
∴2t=5, vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP≌△PCQ全等．
【点拨】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握矩形的对边相等、四个角都是直角以
及全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
15．（1） ，见解析；（2） ；（3）
【分析】(1)添加条件 ，只要再推导出AF=BE，便可利用“AAS”证明出 ，即可得
；
(2)要利用“ ”判定 与 全等，已经有了 ， 。可以得到AF=BE，只要再找到图形中以AF、BE为边另外一组角相等即可；
(3)要运用“ ”判定 与 全等，已知条件中已经有了 ， ，即一边一
角的条件，由“ ”的特点，再找到 ， 的另外一边相等即可．
【详解】解：（1） .
理由如下：因为 ，所以 ，即 .
在 和 中，因为 ， ， .
所以 ，
所以 .（全等三角形的对应边相等）.
（2） ；
（3） .
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，熟记各判定定理的内容并理解它们的要点是解决此类题型的关
键．
16．（1）∠B=∠ADE；BC=DE；（2）见解析．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进一步得出答案即可；
（2）从（1）中选取一个条件，根据全等三角形判定定理进一步证明即可.
【详解】（1）∵∠1＝∠2，
∴∠E+∠AOE=∠C+COD，
∵∠AOE=∠COD，
∴∠E=∠C，
又∵AE=AC，
∴当∠B=∠ADE时，△ABC≌△ADE（AAS）；
当BC=DE时，△ABC≌△ADE（SAS）；
故答案为：∠B=∠ADE；BC=DE；
（2）证明当∠B=∠ADE时，△ABC≌△ADE，理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠E+∠AOE=∠C+COD，∵∠AOE=∠COD，
∴∠E=∠C，
在△BAC和△DAE中
∵ ．．
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键.
17．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．
【详解】（1）添加条件例举：BA=BC；∠AEB=∠CDB；∠BAE=∠BCD；
证明例举（以添加条件∠AEB=∠CDB为例）：
∵∠AEB=∠CDB，BE=BD，∠B=∠B，∴△BEA≌△BDC．
（2）另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．
故答案为∠AEB=∠CDB；△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．
【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先
根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么
条件．
18．(1)详见解析;(2)详见解析
【分析】根据HL判断直角三角形全等即可.
【详解】在Rt OEC和Rt OFB中，∵ ，
△ △
∴Rt OEC≌Rt OFB(H.L.)，∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)
△ △
(2)在Rt OEC和Rt OFB中，∵ ，
△ △
∴Rt OEC≌Rt OFB(H.L.)，∴∠ABO＝∠ACO
【点△拨】此题△主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知HL判定直角三角形的方法.
19．①AAS；②SAS；③HL；④ASA；⑤SSS.
【分析】结合已知条件和垂直条件,根据全等三角形的判定即可解题.
【详解】解：①由垂直可得∠BAO＝∠CDO，和对顶角∠AOB＝∠DOC，结合AB＝CD，可利用AAS判定△ABO≌△DCO，
故答案为AAS；
②由条件AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，结合AD＝DA，利用SAS可以判△ABD≌△DCA，
故答案为SAS；
③由垂直可得∠BAC＝∠CDB，AC＝DB，结合BC＝CB，利用HL可以判定△ABC≌△DCB，
故答案为HL；
④由垂直可得∠BAO＝∠CDO，AO＝DO，且对顶角∠AOB＝∠DOC，利用ASA可判定△ABO≌△DCO，
故答案为ASA；
⑤由条件AB＝DC，BD＝CA，结合AD＝DA，利用SSS可以判定△ABD≌△DCA，
故答案为SSS．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定,中等难度,熟悉全等三角形的判定方法是解题关键.
20． BC=EC ∠A=∠EDC ∠ACB=∠DCE (或∠ACD=∠BCE)
【详解】试题分析：根据三角形全等的判定方法，和题目中所给的条件，依次去判断添加哪一个条件；现
有的条件是，∠B＝∠DEC，AB＝DE，如以“SAS”为依据，还缺边相等，找边即可；若以“ASA”为依据，还
缺角相等，找角即可；以“AAS”为依据，也是缺角相等，找角即可．
试题解析：∵∠B=∠DEC，AB=DE
∴（1）要利用SAS，则还缺少一边即：BC=EC
（2）要利用ASA，则缺少一角即：∠A=∠EDC
（3）要利用AAS，则缺少一角即：∠ACB=∠DCE．
故填BC=EC，∠A=∠EDC，∠ACB=∠DCE．
点拨：本题属开放型的题目，解答关键是明白SAS、ASA、AAS的含义，据已知，缺什么条件，找什么条件，
直接或间接的都可以．答案不唯一是本题的特点．要根据已知条件的位置选择方法．
21．（1） ；（2） ；（3） 或2．
【分析】（1）根据 点的运动速度可得 的长，再利用 即可得到 的长；
（2）已知 ， ，根据三角形全等的条件可得当 时，可得 ；
（3）此题主要分两种情况①当 ， 时， ；当 ， 时，
，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【详解】解：（1）点 从点 出发，以 秒的速度沿 向点 运动，点 的运动时间为 秒时，
，则 ；
（2）当 时， ，
理由：∵当 时，
在 和 中，
，
；
即： 时， ，
∴ ，
解得： ，
（2）①当 ， 时， ，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
解得： ；
②当 ， 时， ，
，
，
∴ ，
解得： ，
，，
解得： ．
综上所述：当 或2时 与 全等．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．
22．（1）①②④；（2）选④，证明见解析
【分析】（1）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）符合要求的条件是①②④，
当选择①A=A时，
证明：连接AC 、AC，
在△ABC与△ ABC中，
，
∴△ABC ≌△ABC(SAS )，
∴ AC=AC，ACB=ACB，BAC=B ' A 'C '，
∵BCD=BCD，
∴BCD  ACB=BCDACB，
∴ACD=ACD，
∵BAD=BAD，
∴BAD  BAC=BAD   BAC，
∴DAC= DAC，
在△ACD和△ACD 中，，
∴△ACD ≌△ACD(ASA ) ，
∴D=D '，DC=DC，DA=DA，
∴四边形ABCD和四边形ABCD中，
AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，
B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，
∴四边形ABCD ≌四边形ABCD；
当选择②D=D时，
证明：同理得到AC=AC，ACD=ACD，
∵D=D，
在△ACD和△ACD中，
，
∴△ACD ≌△ACD(AAS ) ，
∴D=D '，DC=DC，DA=DA，
∴四边形ABCD和四边形ABCD中，
AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，
B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，
∴四边形ABCD≌四边形ABCD；
当选择③AD=AD时，
在△ACD和△ACD中，AC=AC，ACD=ACD，AD=AD，
不符合全等的条件，不能得到△ACD ≌△ACD；
（2）选④CD = CD，
证明：连接 AC、AC，
在△ABC与△ABC中，
，
∴△ABC ≌△ABC(SAS )，
∴ AC=AC， ACB=ACB ， BAC=B ' A 'C '，
∵BCD=BCD，
∴BCD  ACB=BCD  ACB，
∴ACD=ACD，
在△ACD和△ACD中，
，
∴△ACD ≌△ACD(SAS ) ，
∴D=D '， DAC=DAC， DA=DA，
∴BACDAC=B ACDAC， 即BAD=BAD，
∴四边形ABCD和四边形ABCD 中，
AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，
B=B， BCD=BCD， D=D， BAD=BAD，∴四边形ABCD ≌四边形ABCD．
【点拨】本题考查了多边形的全等，全等三角形的判定和性质，多边形的全等可以通过作辅助线转化为证
明三角形全等问题．关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
23．(1)①见解析；②见解析 (2)3.5或5或6.5
【分析】（1）①根据同角的余角相等得到 ，根据全等三角形的判定定理证明即可；②根据
对称的性质得到 ，根据全等得到 ， ，结合线段的和差可得结论；
（2）分点 沿 路径运动、点 沿 路径运动、点 沿 路径运动、点 沿 路径运
动四种情况计算即可．
【详解】（1）解：①证明： ，
，
直线 ，
，
，
在 和 中，
，
；
②证明： 点 与点 关于直线 对称，
，
，
， ，
，
；
（2）由题意得， cm，
由（1）得， ， ，
当 时， ，
当点 沿 路径运动时， ，
解得， ，不合题意，
当点 沿 路径运动时， ，
解得， ，当点 沿 路径运动时， ，
解得， ，
当点 沿 路径运动时， ，
解得， ，
综上所述，当 或5或6.5时， ．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24． 60° 90° 108°
【详解】试题分析：（1）由观察图形可以看出∠APD是△APB的一个外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得
出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．
（2）同理，∠APD=∠M，即等于多边形的内角．
（3）同理，∠APD=∠BPE，即等于多边形的内角．
试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．
∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD．
∴∠BAE=∠CBD．
∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．
（2）同理可证：△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BPE=180°-90°=90°；
（3）同理可证△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-108°=72°，
∴∠APD=∠BPE=180°-72°=108°．
点拨：此题主要考查三角形全等的判定的应用，三角形外角的性质等知识，本题有一定的难度，要注意思
考．