专题12.19添加条件证明三角形全等（分层练习）-（人教版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题12.19 添加条件证明三角形全等（分层练习） 从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元 素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边 角,有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路。 。 1．如图，在 和 中， ， ， ， 在同一直线上，且 ， ． (1) 请你添加一个条件：_________，使 ；（只添一个即可） (2) 根据（1）中你所添加的条件，试说明 的理由． ．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、 BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明． 你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．3．如图，四边形 中， ，点E在对角线 上，且 ，如果___________，那么 ．请填上能使结论成立的一个条件，并证明你的结论． 4．如图，点D，E分别在线段 上， ．现给出下列条件：① ；② ； ，请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得 ，并证明． 5．在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成 问题的解答． 问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上， ， ，若______， 求证： ．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）6．如图，点C，E，F，B在同一直线上， ，下列3个条件：① ；② ； ③ ，选出能推出 的一个条件．已知：如图， ，___________（写出一 种情况即可）；求证： ． 7．如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AC = CD，AB = CE，请你添加一个条件，使△ABC ≌ △CED，你添加的条件是 ，并写出证明过程． 8．课上，老师提出了这样一个问题： 已知：如图， ，请你再添加一个条件，使得 (1) 同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明 (2) 若添加的条件是 ，证明：9．如图，在五边形 中， ， ． (1) 请你添加一个条件，使得 ，并说明理由； (2) 在(1)的条件下，若 ， ，求 的度数． 10．如图，点D在 上， ． (1)添加条件：____________（只需写出一个），使 ； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 11．如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE． (1)若要使 ，应添上条件： ； (2)证明上题； (3)在△ABC中，若AB＝5， ，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是 ．12．如图，在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问 题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在 中，D是BC边上一点，DE，DF分别是 和 高，EF交AD于O，若 ______， (1) 求证： ； (2) 若 ， ，求 的面积． 13．如图 ，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE． （1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是 ； （2）证明：14．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向 点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1）PC＝ cm．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这 样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知 ， ． （1）若添加条件 ，则 吗？请说明理由； （2）若运用“ ”判定 与 全等，则需添加条件：_________； （3）若运用“ ”判定 与 全等，则需添加条件：___________．16．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠1＝∠2，AE＝AC． （1）在不添加任何字母的情况下，请再补充一个条件，使得△ABC≌△ADE，你补充的条件是 （至少写出 两个可行的条件）； （2）请你从所给条件中选一个，使△ABC≌△ADE，并证明． 17．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE． （1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是 ． （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形 ．（只要求写出一对全等三角形，不再添加 其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 18．已知：点O到 ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC． △(1)如图①，若点O在BC上，求证：∠B＝∠C； (2)如图②，若点O在 ABC的内部，求证：∠ABO＝∠ACO. △ 19．如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AC、BD相交于点O． ①已知AB＝CD，利用 可以判定△ABO≌△DCO； ②已知AB＝CD，∠BAD＝∠CDA，利用 可以判定△ABD≌△DCA； ③已知AC＝BD，利用 可以判定△ABC≌△DBC； ④已知AO＝DO，利用 可以判定△ABO≌△DCO； ⑤已知AB＝CD，BD＝AC，利用 可以判定△ABD≌△DCA； 20．如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得 ABC≌△DEC； （1）若以“SAS”为依据，还缺条件____________△__；（2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________； （3）若以“AAS”为依据，还缺条件_____________________； 21．如图，在长方形 中， =6 ， 10，点 从点 出发，以2 /秒的速度沿 向点 运动，设点 的运动时间为 秒： （1） _______ ；（用 的代数式表示） （2）如图①当 为何值时， ？ （3）如图②当点 从点 开始运动，同时，点 以 /秒从 出发沿 向点 运动，一点到达终点时两 点都停止运动．当 为何值时， 与 全等？ 22．根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形 ABCD 中，AB = AB，BC = BC，B =B，C =C，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD ≌四边 形ABCD．下列四个条件：① A =A；②D =D；③ AD=AD；④CD=CD； （1）其中，符合要求的条件是 ．（直接写出编号） （2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形ABCD． 23．在直角三角形 中， ，直线 过点 ． (1) 当 时， ①如图1，分别过点 和 作 直线 于点 ， 直线 于点 ．求证： ； ②如图2，过点 作 直线 于点 ，点 与点 关于直线 对称，连接 交直线 于 ，连接 ．求证： ． (3) 当 cm， cm时，如图3，点 与点 关于直线 对称，连接 、 ．点 从 点出发， 以每秒1cm的速度沿 路径运动，终点为 ，点 以每秒3cm的速度沿 路径运 动，终点为 ，分别过点 、 作 直线 于点 ， 直线 于点 ，点 、 同时开始运动， 各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为 秒．当 与 全等时，求 的值． 24．如图①、②、③中，点E、D分别是正 ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相 邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点△． （1）求图①中，∠APD的度数为_______； （2）图②中，∠APD的度数为_________， （3）图③中，∠APD的度数为_______；参考答案 1．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求解． （2）结合（1）的条件，利用ASA即可求证． 【详解】（1）解：添加 使 ，故答案为： ． （2）∵ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键． 2．DE=DF(答案不唯一)，理由见详解 【详解】解：添加的条件是：DE=DF． 理由如下： ∵点D是BC的中点， ∴BD=CD， 在△BDF和△CDE中， ∵ ∴△BDF≌△CDE． 故答案为：DE=DF． 3． ，证明见解析 【分析】添加条件： ，根据平行线的性质得 ，结合已知利用 证明全等即可． 【详解】添加条件： ， 证明如下：∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∴故答案为： ． 【点拨】本题考查了全等三角形的证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．见解析 【分析】添加 ，由 证明 即可． 【详解】解：添加 ，使得 ， 证明：在 和 中， ， ∴ ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．∠A=∠E（答案不唯一） 【分析】由“ASA”可证△ABC≌△EDF，可得EF=AC． 【详解】解：若∠A=∠E， ∵AD=BE， ∴AB=DE， ∵∠ADF=∠CBE， ∴∠FDE=∠CBA， 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（ASA）， ∴EF=AC． 故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．①或③；见解析 【分析】若选 ，由 可得 ，由 定理可得 ，利用三角形的性质定理 可得结果；若选 ，由 可得 ，可证得 ，利用全等三角形的性质 定理可得结果．【详解】.法一：若选①，证明如下： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 法二：若选③，证明如下： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【点拨】本题只要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 7．BC=ED（答案不唯一），证明见解析 【分析】可添加：BC=ED，利用SSS即可证明结论． 【详解】解：可添加：BC=ED，证明如下 在 ABC和 CED中 ∴ ABC≌ CED（SSS） 故答案为：BC=ED（答案不唯一）． 【点拨】此题考查的是添加条件，使两个三角形全等，掌握全等三角形的各个判定定理是解题关键． 8．(1)答案不唯一， ，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）添加条件 ，直接证明 ，即可得证； （2）连接 ，证明 ，得出 ，进而证明 ，即可得 证． 【详解】（1）答案不唯一，添加条件 ，证明：在 与 中， ∴ ， 故答案为： ； （2）连接 ，如图， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ∴ ． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 9．(1)见解析； (2) ． 【分析】（1） 或 ．根据 或 ，证明 即可求解； （2）根据 得出 ，继而根据三角形内角和定理得出 ，根据 即可求解． 【详解】（1）证明：添加： 或 ． ∵在 和 中， ∴ 或 ． （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题 的关键． 10．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件可得 ， ，结合三角形全等的判定条件添加条件即可； （2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可． 【详解】（1）添加的条件是： , 故答案为 ； （2）∵∴ ， ∵ ∴ ，即 ， 又 ∴ 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键． 11．(1) 或AD=DE（答案不唯一） (2)见解析 (3)0.5＜AD＜4.5 【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件： 或AD=DE（答案不唯一）； （2）由AC与BE平行，得到两内错角相等，再由D为BC的中点，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形 ACD与EBD全等； （3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到AE的取值范围，由D为AE 的中点，得到AD的取值范围． 【详解】（1）解：可添加： 或AD=DE（答案不唯一）． （2）证明：∵ ， ∴∠CAD=∠E，∠ACD=∠EBD， 又∵D为BC的中点， ∴BD=CD， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（AAS）； 若添加AD=DE． 又∵D为BC的中点， ∴BD=CD， 在△ACD和△EBD中，， ∴△ACD≌△EBD（SAS）； （3）解：∵△ACD≌△EBD， ∴AD=DE= AE，BE＝ ， 在△ABE中，AE＞AB-BE=5-4=1，AE< AB+BE=5+4=9， ∴1