文档内容
专题 12.2 角平分线中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
二、角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB◆ 典例分析
【典例1】已知△ABC，AD是一条角平分线．
AB BD
【探究发现】如图1，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论： = ．
AC DC
小艳的解法如下：
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，
∴__________________
1
AB×DM
S 2
∴ △ABD = =__________________
S 1
△ADC AC×DN
2
1
BD×AP
S 2 BD
又∵ △ABD = = ，
S 1 CD
△ADC CD×AP
2
∴__________________
AC AD
【类比探究】如图2，若CD是∠ACB的外角平分线，CD与BA的延长线交于点D．求证： = ．
BC BD
【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交
ED 4 BD
于点D，若 = ，直接写出 的值是__________________．
CD 7 DC
【思路点拨】
探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；
类比探究：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD
于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；
拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，先利用全等三角形的判定得出△BDE≌△BDG，再由其性质及前面的结论求解即可．
【解题过程】
探究发现：
解：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
1
AB×DM
S 2 AB
∴ △ABD = = ，
S 1 AC
△ADC AC×DN
2
1
BD×AP
S 2 BD
又∵ △ABD = = ，
S 1 CD
△ADC CD×AP
2
AB BD
∴ = ；
AC DC
AB AB BD
故答案为：DM=DN， ， = ；
AC AC DC
类比探究：
证明：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD于点
P．
∵CD平分∠MCN，
∴DN=DM．
1 1
AC×DN AD×CP
S 2 AC S 2 AD
∴ △ACD= = ， △ACD= = ，
S 1 BC S 1 BD
△DBC BC×DM △DBC BD×CP
2 2
AC AD
∴ = ；
BC BD
拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD,CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
1
∴∠DBE=∠DBG，∠DCG=∠DCF，∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)=60°，
2
∴∠BDC=120°，
∴∠BDE=60°，
∵BD=BD，
∴△BDE≌△BDG，
∴∠BDE=∠BDG=60°，
∴∠BDG=∠CDG=60°
∴DG是∠BDC的角平分线
DE BE 4
由（1）知， = = ，
DC BC 7
设BE=4x，BC=7x，则BG=4x，CG=3x，
BD BG 4
由（1）知 = = ，
DC CG 3
BD 4
即 = ．
DC 3
◆ 学霸必刷
1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与
∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结
论：①PM=PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；其中正确的个数为
（ ）A．3 B．2 C．1 D．0
【思路点拨】
作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据OP平分∠AOB可知PE=PF，结合OP=OP即可证明
△POE≌△POF．根据图中各角的数量关系可得∠MPE=∠NPF、∠PEM=∠PFN，进而还可证明
△PEM≌△PFN；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形
的性质得到S =S ，据此可得S =S =定值，还可判断③的正误；
△PEM △PNF 四边形PMON 四边形PEOF
【解题过程】
解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF．
在△POE和△POF中PE=PF，OP=OP，∴Rt△POE≌Rt△POF(HL)，
∴OE=OF．
在△PEM和△PFN中∠MPE=∠NPF，PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，S =S ，故①正确．
△PEM △PNF
∴S =S =定值，故③正确．
四边形PMON 四边形PEOF
∴OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故②正确．
故选：A．
2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一
点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②
∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的为（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证△ABD≌△EBC，所以△EBC可由△ABD
绕点B旋转而得到；由△ABD≌△EBC可得∠BCE=∠BDA，∠BCD=∠ADE，因为
∠BDA+∠ADE=180°，等量代换∠BCE+∠BCD=180°；因为BE=BA，所以
1 1
∠BAE=∠BEA= (180°−∠ABE)，因为∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD= (180°−∠DBC)
2 2
，∠BDC=∠ADE，所以∠BAE=∠BEA=∠BDC=∠BCD，即
1
∠ADE=∠AED= (180°−∠ABE)，因为∠DAE=180°−2∠AED，可得∠ABE=∠DAE；过E
2
作EM⊥BC，可证Rt△AEF≌Rt△CEM，Rt△BEF≌Rt△BEM，所以AF=CM，BF=BM，据此
可证明BA+BC=2BF．
【解题过程】
解：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，
∵BD=BC，BE=BA，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①符合题意，
∴∠BCE=∠BDA，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠BCD=∠ADE，
∵∠BDA+∠ADE=180°，
∴∠BCE+∠BCD=180°，故②符合题意，
∵BE=BA，
1
∴∠BAE=∠BEA= (180°−∠ABE)，
2
1
∵∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD= (180°−∠DBC)，
2
∴∠BAE=∠BEA=∠BDC=∠BCD，
∵∠BDC=∠ADE，
1
∴∠ADE=∠AED= (180°−∠ABE)，
2
∵∠DAE=180°−2∠AED，
∴∠ABE=∠DAE，故③符合题意，
过E作EM⊥BC，交BC延长线于点M，
∵BD △ABC
， 为 的角平分线，
∴EF=EM，
∵△ABD≌△EBC，
∴CE=DA，∵∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴CE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△CEM(HL)，
∴AF=CM，
∵EF=EM，BE=BE，
∴Rt△BEF≌Rt△BEM(HL)，
∴BF=BM，
∴BA+BC=BF+AF+BM−CM=BF+AF+BF−AF=2BF，故④符合题意，
故选：B．
3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点
O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②
若AB=4，OD=1，则S =2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b
△ABO
，则S =ab．其中正确的结论为（ ）
△ABC
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【思路点拨】
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB
于P，由角平分线的性质可求解OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使
BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到
AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，根据三角形的面积可证得④正确．
【解题过程】
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
1 1
∴∠OBA= ∠CBA，∠OAB= ∠BAC，
2 2
∴1 1 1
∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°− (∠ABC+∠BAC)=180°− (180°−∠C)=90°+ ∠C
2 2 2
，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，
∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP=OD=1，
∵AB=4，
1
∴S = ×4×1=2，故②正确；
△ABO 2
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
1
∴∠OAB+∠OBA= (∠BAC+∠ABC)=60°，
2
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°， 如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
{
BH=BE
)
在△HBO和△EBO中， ∠HBO=∠EBO ，
BO=BO∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
{∠HAO=∠FAO
)
在△HAO和△FAO中， AO=AO ，
∠AOH=∠AOF
∴△HAO≌△FAO(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD⊥BC，
∴ON=OH=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b，
1 1 1 1
∴S = AB⋅OH+ BC⋅OD+ AC⋅ON= a⋅2b=ab，故④正确．
△ABC 2 2 2 2
故选：C．
4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA
；④∠ADB+∠ABC=90°，其中正确的为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【思路点拨】1
由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠BDC= ∠BAC，进而判定①；由角平分线的定义及平角
2
的定义可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定
③；由角平分线的性质及判定可得AD为△ABC外角∠MAC的平分线，结合角平分线的定义及三角形外
角的性质即可证明∠ADB=∠BCE，再利用平行线的性质可得结论④．
【解题过程】
解：∵AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC，∠ABC=∠DCF，
∵BE平分∠ABC
1
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC
2
∵CD平分∠ACF，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
1 1 1
∴∠ACD=∠DCF= ∠ACF= ∠ABC+ ∠BAC．
2 2 2
1
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC= ∠ABC+∠BDC，
2
1 1 1
∴ ∠ABC+∠BDC= ∠ABC+ ∠BAC
2 2 2
1
∴∠BDC= ∠BAC，故①错误；
2
∵CE平分∠ACB，
1
∴∠ACE= ∠ACB，
2
∵∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°，
∴∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB，
∵AB∥CD
∴∠CDB=∠ABD
∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=2∠ABD=2∠BDC
1
∵∠BDC= ∠BAC，
2
∴∠CAB=∠CBA，故③正确；过点D作DN⊥BF于N，DG⊥AC于 G ，DH⊥BM于H，如图，
∵CD平分∠ACF，DN⊥BF，DG⊥AC ，
∴DN=DG
∵BD平分∠ABC，DG⊥AC ，DH⊥BM，
∴DN=DH
∴DG=DH
∴AD为△ABC外角∠MAC的平分线，
1
∴∠DAM=∠DAC= ∠MAC
2
∵∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠CBD+2∠BCE，
∴∠DAC=∠CBD+∠BCE
∵∠DAC+∠ADB=∠DEC+∠BCE
∴∠ADB=∠BCE，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCF，
∵∠BCE=∠ACE，∠DCF=∠ACD
∴∠ABC+∠ADB=∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°
即∠ADB+∠ABC=90°，故④正确．
故选：C．
5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，
∠ACB，且交于点F．则下列说法中①∠AFC=120°；②S =S ；③若AE=EB，则CE⊥AB；
△ABD △ADC
④CD+AE=AC；⑤S :S =AE:CD．哪些是正确的（ ）
△AEF △CDFA．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【思路点拨】
1
由∠ABC=60°，得∠DAC+∠ECA= (∠BAC+∠ACB)=60°，则∠AFC=120°，可判断①正确；
2
作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG=DH，因为AB与AC不一定相等，S 与S 不一定
△ABD △ADC
相等，可判断②错误；延长CE到点K，使KE=CE，连接BK，可证明△BKE≌△ACE，得
∠K=∠ACE,BK=AC，而∠BCE=∠ACE，所以∠BCE=∠K，则BK=BC，所以AC=BC，则
CE⊥AB，可判断③正确；在AC上截取AL=AE，连接FL，可证明△ALF≌△AEF，得
∠AFL=∠AFE=60°，则∠CFL=∠CFD，再证明△FLC≌△FDC，得CL=CD，则
CD+AE=CL+AL=AC，可判断④正确；由④可得△ALF≌△AEF，△FLC≌△FDC，由
S AL AE
△ALF = = 即可推出S :S =AE:CD，可判断⑤正确．
S LC CD △AEF △CDF
△FLC
【解题过程】
解：∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°−∠ABC=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠DAC= ∠BAC,∠ECA= ∠ACB，
2 2
1
∴∠DAC+∠ECA= (∠BAC+∠ACB)=60°，
2
∴∠AFC=180°−(∠DAC+∠ECA)=120°，
故①正确；
如图1，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG＝DH，∵AB与AC不一定相等，
1 1
∴ AB⋅DG与 AC⋅DH不一定相等，
2 2
即：S 与S 不一定相等，
△ABD △ADC
故②错误；
如图1，延长CE到点K，使KE=CE，连接BK，
在△BKE和△ACE中，
{
KE=CE
)
∠BEK=∠AEC ，
BE=AE
∴△BKE≌△ACE(SAS)，
∴∠K=∠ACE,BK=AC，
∵∠BCE=∠ACE，
∴∠BCE=∠K，
∴BK=BC，
∴AC=BC，
∴CE⊥AB，
故③正确；
如图2，在AC上截取AL=AE，连接FL，
∵∠AFC=120°，
∴∠AFE=∠CFD=180°−∠AFC=60°，
在△ALF和△AEF中，
{
AL=AE
)
∠AEF=∠EAF ，
AF=AF
∴△ALF≌△AEF(SAS)，∴∠AFL=∠AFE=60°，
∴∠CFL=∠AFC−∠AFL=60°，
∴∠CFL=∠CFD，
在△FLC和△FDC中，
{∠LCF=∠DCF
)
CF=CF ，
∠CFL=∠CFD
∴△FLC≌△FDC(ASA)，
∴CL=CD，
∴CD+AE=CL+AL=AC，
故④正确；
由④可得，△ALF≌△AEF，△FLC≌△FDC，
S AL AE
∵ △ALF = = ，
S LC CD
△FLC
S AE
∴ △AEF = ，即S :S =AE:CD，
S CD △AEF △CDF
△FDC
故⑤正确，
正确的结论为①③④⑤，
故选：D．
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
OD⊥BC于点D，OD=4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为 ．【思路点拨】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作
OF⊥AC，垂足为F，连接AO，根据角平分线的性质得OD=OE=OF=4，然后根据三角形的面积公式
列式即可，熟记性质是解题的关键．
【解题过程】
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接AO，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OD=OE=4，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OD=OF=4，
∵△ABC的面积为25，
∴△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积=25，
1 1 1
∴ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF=25，
2 2 2
∴AB·OE+BC·OD+AC·OF=50，
∴4(AB+BC+AC)=50，
∴AB+BC+AC=12.5，
∴△ABC的周长为12.5，
故答案为：12.5．
7．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分
∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是
．【思路点拨】
本题考查了角平分线的性质，过P作PH⊥MN与H， PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，利用
角平分线的性质和三角形的面积可得PK=PL=PH=2，根据△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的
面积+△PON的面积，进行计算即可求出OM+ON=10，进而得到△OMN的周长，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【解题过程】
解：过P作PH⊥MN与H， PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，
∵PM平分∠AMN， PN平分∠MNB，
∴PL=PH，PK=PH，
∴PL=PK，
1
∵MN=2，△PMN的面积= MN·PH=2，
2
∴PH=2，
∴PK=PL=2，
1 1
∵△POM的面积= OM·PL，△PON的面积= ON·PK，
2 2
∴△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的面积+△PON的面积
1 1 1
= OM·PL+ ON·PK= (OM+ON)·PK=8+2，
2 2 2
1
∴ (OM+ON)×2=10，
2
∴OM+ON=10，∴△OMN的周长=OM+ON+MN=10+2=12，
故答案为：12．
8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，且
AD=2CD,BC=4EC，连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G，且AB:AF=2:1，若
△AGF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路点拨】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接CF，根据角平分线的性质，可得点G到AB,AF的距
离相等，则可得△ABG的面积，再根据AD=2CD，求得△CFB的面积，根据BC=4EC求得△BFE和
△CEF的面积，即可求得△ABC的面积，最后求得△CDF的面积，即可求得四边形CDFE的面积，即可
解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键．
【解题过程】
解：如图，连接CF，
∵∠BAF的平分线交BD于点G，
∴点G到AB,AF的距离相等，
∵AB:AF=2:1，
∴S :S =2:1，
△ABG △AFG
∵△AGF的面积为4，
∴S =8,
△ABG
∴S =12，
△ABF
∵AD=2CD，
∴S =2S ，S =2S ，
△ABD △BCD △ADF △CDF
∴S −S =2S −2S ，
△ABD △ADF △BCD △CDF即S =2S ，
△ABF △CBF
∴S =6，
△BFC
∵BC=4EC，
1 3 3 9
∴S = S = ，S = S = ，
△FEC 4 △FBC 2 △BEF 4 △FBC 2
33
∴S =S +S = ，
△ABE △ABF △BEF 2
3
∵ S =S ，
4 △ABC △ABE
∴S =22，
△ABC
∴S =S −S −S =4，
△ACF △ABC △ABF △CBF
1 4
∴S = S = ，
△DCF 3 △AFC 3
3 4 17
∴阴影部分的面积为 + = ，
2 3 6
17
故答案为： ．
6
9．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA∠A)，角平分线BD、
CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论；①S :S =BC:BE；②∠EOF=∠ABC−∠A；③
△BOC △BOE
BE+CD=BC；④S =2S +S ，其中正确结论是 ．
四边形BEDC △BOC △EDO
【思路点拨】
过点O作OG⊥BC于点G，由角平分线的性质定理可得OF=OG，然后结合三角形面积公式即可判断结
论①；首先求得∠BOE=60°，假设∠ABC=80°，则∠OBA=40°，可求得∠EOF=10°，再根据
∠ABC−∠A=20°，即可判断结论②；在BC上截取BM=BE，连接OM，分别证明△BOE≌△BOM
和△COD≌△COM，由全等三角形的性质可得CD=CM，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质
易得S =S ，S =S ，可知S +S =S +S =S ，即可判断结论④．
△BOE △BOM △COD △COM △BOE △COD △BOM △COM △BOC
【解题过程】
解：如下图，过点O作OG⊥BC于点G，∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，OG⊥BC，
∴OF=OG，
1 1
∴S :S = BC×OG: BE×OF=BC:BE，
△BOC △BOE 2 2
故结论①正确；
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180−∠A=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠OBA=∠OBC= ∠ABC,∠OCA=∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=60°，
2
1
设∠ABC=80°，则∠OBA= ∠ABC=40°，
2
∵OF⊥AB，
∴∠BOF=90°−∠OBA=50°，
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=60°−50°=10°，
又∵∠ABC−∠A=80°−60°=20°，
∴∠EOF≠∠ABC−∠A，
故结论②错误；
在BC上截取BM=BE，连接OM，在△BOE和△BOM中，
{
BE=BM
)
∠OBE=∠OBM ，
OB=OB
∴△BOE≌△BOM(SAS)，
∴OE=OM，∠BOM=∠BOE=60°，
∵∠COD=∠BOE=60°，∠COM=180°−∠BOE−∠BOM=60°，
∴∠COD=∠COM，
∴在△COD和△COM中，
{∠OCD=∠OCM
)
OC=OC ，
∠COD=∠COM
∴△COD≌△COM(ASA)，
∴CD=CM，
∴BE+CD=BM+CM=BC，
故结论③正确；
∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，
∴S =S ，S =S ，
△BOE △BOM △COD △COM
∴S +S =S +S =S ，
△BOE △COD △BOM △COM △BOC
∴S =S +S +S +S =2S +S ，
四边形BEDC △BOE △COD △BOC △EDO △BOC △EDO
故结论④正确．
综上所述，结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若∠BAC=∠DAE=50°，请直接写出∠BFC的度数；
（3）连接AF，过点A作AH⊥BD于点H，求证：FA平分∠DFC；
（4）线段DH，EF与HF之间的数量关系是：________．
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本
题的关键．
（1）根据“边角边”证明三角形全等即可；
（2）根据△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠ABD，再利用
∠BFC=180°−(∠BCF+∠ABD+∠ABC)，将∠ACE=∠ABD代入，即得答案；
（3）过点A作AG⊥CF于点G，利用面积法证明AG=AH，再根据角平分线的判定定理，即可证明结
果；
（4）先证明△AGE≌△AHD，得到¿=HD，再证明△AGF≌△AHF，得到FG=FH，即可证得答
案．
【解题过程】
（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠EAC=∠DAB，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ACE≌△ABD(SAS)；
（2）∠BFC=50°；
理由如下：
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=130°，
∵△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠BFC=180°−(∠BCF+∠ABD+∠ABC)=180°−(∠BCF+∠ACE+∠ABC)
=180°−(∠ACB+∠ABC)
=180°−130°
=50°；
（3）过点A作AG⊥CF于点G，
∵△ACE≌△ABD，
∴CF=BD，S =S ，
△ACE △ABD
∵AH⊥BD，
1 1
∴ CF⋅AG= BD⋅AH，
2 2
∴AG=AH，
∴FA平分∠DFC；
（4）EF+DH=FH；
理由如下：
∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEG=∠ADH，
又∵∠AGE=∠AHD=90°，AG=AH，
∴△AGE≌△AHD(AAS)，
∴≥=HD，
∴EF+DH=EF+≥=FG，
∵∠AGF=∠AHF=90°，AG=AH，AF=AF，
∴△AGF≌△AHF(HL)，
∴FG=FH，
∴EF+DH=FH．
12．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，
∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．（1）求证：AE平分∠CAF；
（2）直接写出∠AEB的度数______；
（3）若AC+CD=14，AB=8.5，且S =21，求△ABE的面积．
△ACD
【思路点拨】
（1）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM=EN，进而可证明
结论；
（2）设∠ABE=x，分别表示出∠BAC=80°−2x，∠CAE=x+50°，求出∠BAE=130°−x，再利用
三角形内角和定理计算；
（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解题过程】
（1）解：∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°−100°=80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=50°，
∴∠ECH=90°−50°=40°，
∴∠ACE=80°−40°=40°；
过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH，
∵∠ACE=∠ECH=40°，∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF；
（2）设∠ABE=x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2x，
∵∠ACH=∠ACE+∠ECD=80°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=80°−2x，
∵∠CAF=∠ABC+∠ACB=2x+100°，AE平分∠CAF，
1
∴∠CAE= ∠CAF=x+50°，
2
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=80°−2x+x+50°=130°−x，
∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE=180°−(130°−x)−x=50°；
故答案为：50°；
（3）∵AC+CD=14，S =21，EM=EN=EH，
△ACD
1 1 1
∴S =S +S = AC⋅EN+ CD⋅EH= (AC+CD)⋅EM=21，
△ACD △ACE △CED 2 2 2
1
即 ×14⋅EM=21，
2
解得EM=3，
∵AB=8.5，
1 1 51
∴S = AB⋅EM= ×8.5×3= ．
△ABE 2 2 4
13．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在△ABC中，作∠ABC平分线BM，在BM上找一点
D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点E．
（1）依题意补全图形；（2）用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系，并给出证明；
（3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用
等式写出AB、BC、BE之间的数量关系．
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关
键．
（1）由题意画出图形即可；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF；根据斜边及另一
条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=CE，BF=BE，即可求
解；
（3）过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF；根据斜边及另一
条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=CE，BF=BE，即可求
解．
【解题过程】
（1）解：依题意补全图形如下：
（2）解：AB=2BE−BC．
证明：过点D作DF⊥AB于点F，如图：
∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，∴AF=CE，
∵DE=DF，BD=BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE−BC=2BE−BC．
（3）解：AB=BC+2BE．
证明：过点D作DF⊥AB于点F，如图：
∵BM是∠ABC外角的角平分线，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF=CE，
∵DE=DF，BD=BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE+BC=2BE+BC．
14．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， ∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，
∠C=60°．
（1）求∠APB；
（2）求证：PD=PF；
（3）若∠ABC=80°，求证：AP=BC．【思路点拨】
1 1
（1）根据角平分线的定义可得∠PAB= ∠CAB，∠PBA= ∠CBA，再根据三角形内角和定理即可求
2 2
出∠APB的度数．
（2）过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质可得PH=PG，再证
∠PGD=∠PHF，∠DPG=∠FPH，根据ASA证明△PDG≌△PFH即可得PD=PF．
（3）作∠CBD的平分线交AC于点N，由AF平分∠CAB，BD和平分∠CBA，BN平分∠CBD，可得
∠PAD=∠CBN=20°．易证∠DPA=∠C=60°，由等边对等角可得DA=DB，BD=BN，由此得
DA=BN，根据AAS可证△APD≌△CBN，因此可得AP=BC．
【解题过程】
（1）∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
1 1
∴∠PAB= ∠CAB，∠PBA= ∠CBA，
2 2
∴∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)
(1 1 )
=180°− ∠CAB+ CBA
2 2
=180°−(180°−∠C)
=120°．
（2） 如图，过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴PE=PG，PE=PH，
∴PH=PG，
∵PH⊥BC，PG⊥AC，
∴∠PGC=∠PHC=90°，
∴∠GPH=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∴∠GPH=∠APB=120°=∠DPF，
∴∠DPG=∠FPH，在△PDG和△PFH中，
{∠PGD=∠PHF
)
PG=PH ，
∠DPG=∠FPH
∴△PDG≌△PFH(ASA)，
∴PD=PF．
1
（3） 如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则∠CBN=∠DBN= ∠CBD，
2
∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
1 1
∴∠CBD=∠ABD= ∠ABC= ×80°=40°．
2 2
∵BN平分∠CBD，
1 1
∴∠CBN=∠DBN= ∠CBD= ×40°=20°．
2 2
∵△ABC中，∠ABC=80°，∠C=60°，
∴∠CAB=180°﹣60°﹣80°=40°．
∵AF平分∠CAB，
1 1
∴∠DAP=∠PAB= ∠CAB= ×40°=20°，
2 2
∴∠CBN=∠DAP，
∴∠DPA=∠PAB+∠PBA=20°+40°=60°，
∴∠DPA=∠C，
∵∠CAB=∠ABD=40°，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠CAB+∠ABD=80°，
∴∠ANB=∠C+∠CBN=60°+20°=80°，
∴∠ANB=∠BDC，
∴BD=BN，∴AD=BN，
在△APD和△BCN中，
{∠PAD=∠CBN
)
∠APD=∠C ，
AD=BN
∴△APD≌△CBN(AAS)，
∴AP=BC．
15．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分
线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．
（1）求证：BF平分∠ABE；
（2）连接CF交AD于点G，若S =S ，求证：∠AFC=90°；
ΔABF ΔCBF
（3）在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．
【思路点拨】
（1）根据AE是∠BAD的角平分线和∠BFE=45°得2∠FBA+2∠BAF=90°，再结合AD为BC边上的
高得出∠EBF=∠FBA即可证明；
（2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，证明△ABF≅△CBF，得出∠AFB=∠CFB，再
根据∠BFE=45°，解出∠AFB=∠CFB=135°即可证明；
（3）根据△ABF≅△CBF及AD为BC边上的高证明△AFG≅△CFE，得出AG=EC=4.5，再根据
BE＝3，解得BC=BE+EC=7.5，结合△ABF≅△CBF即可求出AB=BC=7.5；
【解题过程】
（1）证明： ∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAD=2∠BAF.
∵∠BFE=45°，
∴∠FBA+∠BAF=45°.
∴2∠FBA+2∠BAF=90°.∵ AD为BC边上的高，
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.
∴∠EBF=∠FBA.
∴ BF平分∠ABE.
（2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，
∵ BF平分∠ABE，且FM⊥BC，FN⊥AB，
∴FM=FN.
∵S ＝S ，
ΔABF ΔCBF
∴AB=BC，
∵ BF平分∠ABE，
∴∠ABF=∠CBF，
{
AB=BC
)
在△ABF和△CBF中， ∠ABF=∠CBF
BF=BF
∴△ABF≅△CBF(SAS)，
∴∠AFB=∠CFB，
∵∠BFE=45°，
∴∠AFB=∠CFB=135°，
∴∠AFC=90°，
（3）∵△ABF≅△CBF，
∴AF=FC，∠AFC=90°，
∴∠AFC=∠EFC，
∵ AD为BC边上的高，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD+∠AEC=∠FCE+∠AEC，∴∠EAD=∠FCE.
{∠EAD=∠FCE
)
在△AFG和△CFE中， AF=CF
∠AFC=∠EFC
∴△AFG≅△CFE（ASA）.
∴AG=EC=4.5，
∵BE＝3，
∴BC=BE+EC=7.5，
∵△ABF≅△CBF，
∴AB=BC=7.5.
16．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，
∠ACB=∠DCE=90°．
（1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接BD、AE，延长AE交BD于点F，则
AE与BD的数量关系是________，位置关系是________；
（2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接AE交DC于点H，连接BD交AE于
点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
（3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？
若固定，求出∠AFG的度数；若不固定，请说明理由．
【思路点拨】
（1）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°
，即可解答；
（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD
，得到S =S ， AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由 AF⊥BD，得到
△ACE △BCD∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．
【解题过程】
（1）证明：如图1，
在△ACE和△BCD中，
{
AC=BC
)
∠ACB=∠ECD=90° ，
EC=DC
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AE⊥BD；
故答案为：AE=BD,AE⊥BD；
（2）解：成立，证明：如图2，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，{
AC=BC
)
∠ACE=∠BCD ，
EC=DC
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD；
（3）∠AFG=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S =S ，AE=BD，
△ACE △BCD
1 1
∵S = AE⋅CN，S = BD⋅CM，
△ACE 2 △BCD 2
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．
17．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在△ABC中，BD牛分∠ABC,CE平分∠ACB,BD
与CE交于点O．图1 图2
（1）如图1，若∠A=60°．
①求∠BOC的度数；
②作OF⊥AB于点F，探究AE、AD、AF之间的数量关系并说明理由；
OD 4
（2）如图2，若∠A=90°,OE=kOC, = ，则k的值为________________．
OB 7
【思路点拨】
①利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；
②过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，连接AO，证明△OEF≌△ODM(AAS)，得到
EF=DM．再证明Rt△AFO≌Rt△MO(HL)，得到AF=AM，即可得到结论；
（2）在BC取点G、F，使BF=BA，CG=CD，过F作FM⊥BD于M，FN⊥OG于N，先证明
△OCD≌△OCG，得出S =S ，∠COD=∠GOC，OD=OG，同理S =S ，
△OCD △OCG △BOE △BOF
OD 4 S 4
∠BOE=∠BOF，由 = ，得出 △OCD= ，设S =4x，则S =7x，仿照（1）①求出
OB 7 S 7 △OCD △BOC
△OCB
∠BOC=135°，进而求出∠COD=∠BOE=45°，∠GOF=45°=∠BOF，由角平分线的性质得出
7 21 OE S
FM=FN，可求出S =S = ×3x= x，然后利用 = △BOE 即可求解．
△OEB △OFB 4+7 11 OC S
△BOC
【解题过程】
（1）解：①在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB．
2 21
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=60°．
2
在△OBC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°；
②过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，连接AO．
∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，ON⊥BC，
∴OF=ON，∠OFA=90°．
∵CE平分∠ACB，OM⊥AC,ON⊥BC，
∴ON=OM，∠OMA=∠OMD=90°．
∴OF=OM，∠OFE=∠OMD．
由（1）得：∠BOC=120°．
∴∠EOD=∠BOC=120°．
在四边形AEOD中，∠AEO+∠ADO=360°−∠EAD−∠EOD =360°−60°−120°=180°．
∵∠AEO+∠FEO=180°，
∴∠OEF=∠ODA．
在△OEF和△ODM中，
{∠OEF=∠ODM,
)
∠EFO=∠DMO,
OF=OM,
∴△OEF≌△ODM(AAS)．
∴EF=DM．
在Rt△AFO和Rt△AMO中，
{AO=AO,)
OF=OM,
∴Rt△AFO≌Rt△MO(HL)．
∴AF=AM．∴AE+AD=AF−EF+AM+MD=2AF．
（2）解：在BC取点G、F，使BF=BE，CG=CD，过F作FM⊥BD于M，FN⊥OG于N，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OCD=∠OCG，
又CG=CD，OC=OC，
∴△OCD≌△OCG，
∴S =S ，∠COD=∠GOC，OD=OG，
△OCD △OCG
同理S =S ，∠BOE=∠BOF，
△BOE △BOF
OD 4
∵ = ，
OB 7
S 4
∴
△OCD=
，
S 7
△OCB
设S =4x，则S =7x，
△OCD △BOC
∴S =S =4x，
△OCD △OCG
∴S =S −S =3x，
△BOG △OCB △OCG
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−90°=90°．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB．
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=45°．
2
在△OBC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−45°=135°，
∴∠COD=∠BOE=45°，
∴∠GOC=∠BOF=45°，∴∠GOF=45°=∠BOF，
又FM⊥BD，FN⊥OG，
∴FM=FN，
S OG OD 4
∴ △OFG= = = ，
S OB OB 7
△OFB
7 21
∴S =S = ×3x= x，
△OEB △OFB 4+7 11
21
x
∴OE S 11 3 ，
= △BOE = =
OC S 7x 11
△BOC
∵OE=kOC，
OE 3
∴k= = ．
OC 11
18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC
、∠ACB交于点G．（1）如图1，求∠BGC的度数；
（2）如图2，求证：EG=FG；
（3）如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于
点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．
【思路点拨】
（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，得出
1 1
∠GBC=∠GBE= ∠ABC，∠GCB=∠GCF= ∠ACB，求出∠GBC+∠GCB=60°，根据三角形
2 2
内角和得出∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，即可求出结果；
（2）作GH平分∠BGC交BC于点H，证明△BGE≌△BGH，得出EG=GH，证明△CGF≌△CGH
，得出FG=GH，即可证明结论；
（3）作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，证明CD
平分∠ACP，根据DR⊥AC，DP⊥BC，得出DR=DP，根据BF平分∠ABC，DR⊥AC，
DQ⊥AB，得出DP=DQ，证明DR=DQ，证明△¬≌△CFG，得出NG=CG=10，证明
△BEG≌△MFG，得出BE=MF，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，根据
1 1 1 1 MG MF 1
S = MG⋅FL= MF⋅GW，S = GC⋅FK= FC⋅GW，得出 = = ，求出
△MGF 2 2 △CGF 2 2 GC FC 2
MG=5即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∵∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，
1 1
∴∠GBC=∠GBE= ∠ABC，∠GCB=∠GCF= ∠ACB，
2 2
∴∠GBC+∠GCB=60°，
在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，
∴∠BGC=120°．
（2）解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：
∴∠BGH=∠CGH=60°，
∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，
∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，
∵∠GBC=∠GBE，BG=BG
∴△BGE≌△BGH，
∴EG=GH，
∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，
∴△CGF≌△CGH，
∴FG=GH，
∴EG=FG；
（3）解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图
所示：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACE，
∵CD⊥EC，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∵∠ACB+∠ACP=180°，
∴∠ACP=2∠ACD，
∴CD平分∠ACP，
∵DR⊥AC，DP⊥BC，
∴DR=DP，
∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，
∴DP=DQ，
∴DR=DQ，
∴AD平分∠QAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAQ=∠DAC=60°，
∴∠NGD=∠DAC=60°，
由（1）得∠BGC=120°，
∴∠BEG=∠FGC=180°−∠BGC=60°，
∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，
∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，
∠ABF=∠FBC，
∴∠BNG=∠ECB，∵∠ECB=∠ACE，
∴∠ACE=∠BNG，
由（2）得EG=FG，
∴△¬≌△CFG，
∴NG=CG=10，
∠¬=∠CFG，
∵∠¬+∠BEG=180°，
∠CFG+∠MFG=180°，
∴∠BEG=∠MFG，
∴△BEG≌△MFG，
∴BE=MF，
∵BE:FC=1:2，
∴MF:FC=1:2，
作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，
∵∠MGF=∠CGF=60°，
∴FK=FL，
1 1
S = MG⋅FL= MF⋅GW，
△MGF 2 2
1 1
S = GC⋅FK= FC⋅GW，
△CGF 2 2
MG MF 1
∴ = = ，
GC FC 2
∴MG=5，
∴MN=NG−MG=5．
19．（22-23八年级下·广东梅州·阶段练习）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分
∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．
1
（1）如图1，求证：∠BOC=90°+ ∠BAC．
2
（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．OD
（3）如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求 的值．
OC
【思路点拨】
1 1
（1）由角平分线的性质得出∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，由三角形的内角和定理得出
2 2
∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，代入即可得出结论；
（2）过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，证明OM=OK，则点O在∠BAC的平
分线上，即可得出结论；
（3）过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作
ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，证明∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，由角平分线的性质得出
∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，由ASA证得△BOF≌△BOD，BF=BD=4，由ASA证得
1 1
△COF≌△COE，CF=CE=2，求出BC=6，由S :S = OD⋅BH: OC⋅BH=OD:OC，
△BOD △BOC 2 2
1 1
S :S = BD⋅OM: BC⋅ON=BD:BC，进行计算即可得出结论．
△BOD △BOC 2 2
【解题过程】
（1）证明：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
(1 1 )
=180°− ∠ABC+ ∠ACB
2 2
1
=180°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
=180°− (180°−∠BAC)
2
1
=180°−90°+ ∠BAC
2
1
=90°+ ∠BAC；
2
（2）证明：如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴OM=ON，ON=OK，
∴OM=OK，
∴点O在∠BAC的平分线上，
∴OA平分∠BAC；
（3）解：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点
O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC=60°，
1
∴∠BOC=90°+ ∠BAC=120°，
2
∴∠BOD=∠COE=180°−∠BOC=180°−120°=60°，∵OF平分∠BOC，
1
∴∠BOF=∠COF= ∠BOC=60°，
2
∴∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，
在△BOF和△BOD中，
{∠OBF=∠OBD
)
BO=BO ，
∠BOF=∠BOD
∴△BOF≌△BOD(ASA)，
∴BF=BD=4，
在△COF和△COE中，
{∠OCF=∠OCE
)
CO=CO ，
∠COF=∠COE
∴△COF≌△COE(ASA)，
∴CF=CE=2，
∴BC=BF+CF=4+2=6，
1 1
∵S :S = OD⋅BH: OC⋅BH=OD:OC，
△BOD △BOC 2 2
1 1
S :S = BD⋅OM: BC⋅ON=BD:BC，
△BOD △BOC 2 2
OD BD 4 2
∴ = = = ．
OC BC 6 3
20．（22-23八年级上·广东珠海·阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD
分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为
E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交
AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．
【思路点拨】
（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角
形的性质证明结论；
（2）过点C作CF⊥AD，利用AAS证明△AEC≌△AFC，从而得到CE=CF，AE=AF，证明
△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；
（3）在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到
∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到
DH=DF，计算即可．
【解题过程】
（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠CBE=∠CDF，
在△BCE和△DCF中，{
∠CBE=∠CDF
)
∠CEB=∠CFD=90° ，
CE=CF
∴△BCE≌△DCF (AAS)，
∴BC=DC；
（2）解：AD−AB=2BE，理由如下：
如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，
∴∠CAE=∠CAF
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°
∵∠AEC=∠AFC=90°，∠CAE=∠CAF，AC=AC
∴△AEC≌△AFC (AAS)，
∴CE=CF，AE=AF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=∠CDF，
在△BCE和△DCF中，
{
∠CBE=∠CDF
)
∠CEB=∠CFD=90° ，
CE=CF
∴△BCE≌△DCF (AAS)，
∴DF=BE，
∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE，
∴AD−AB=2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH=BG，连接OH，在△OBH和△OBG中，
{
BH=BG
)
∠OBH=∠OBG ，
OB=OB
∴△OBH≌△OBG(SAS)
∴∠OHB=∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，
∴∠ODH=∠ODF，
∵∠OHB=∠ODH+∠DOH，∠OGB=∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH=∠DAB=60°，
∴∠GOH=120°，
∴∠BOG=∠BOH=60°，
∴∠DOF=∠BOG=60°，
∴∠DOH=∠DOF，
在△ODH和△ODF中，
{∠DOH=∠DOF
)
OD=OD ，
∠ODH=∠ODF
∴△ODH≌△ODF(ASA)，
∴DH=DF，
∴DB=DH+BH=DF+BG=4+2=6．
