文档内容
专题 12 平方差与完全平方公式的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、利用乘法公式进行先化简再求值........................................................................................................2
类型二、利用乘法公式进行简便运算................................................................................................................6
类型三、利用乘法公式的变式求值...................................................................................................................9
类型四、求完全平方式中的字母系数..............................................................................................................12
类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题......................................................................................13
类型六、平方差公式在几何图形中的应用......................................................................................................18
类型七、完全平方公式在几何图形中的应用...................................................................................................23
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................29
解题知识必备
1.平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2.平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出
几何解释．3.完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项
分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全
平方公式．
4.完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式
做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b
的长方形的面积和作为相等关系）
压轴题型讲练
类型一、利用乘法公式进行先化简再求值
例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
【变式训练1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
【变式训练2】（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值： ，其中
， ．
【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简再求值：
，其中 ， ．
【变式训练4】（23-24七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：
，其中 ．【变式训练5】（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值：
(1) ，其中
(2) ，其中
类型二、利用乘法公式进行简便运算
例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算
(1) ；
(2) ．
【变式训练1】（（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练2】（23-24七年级下·重庆大渡口·阶段练习）简便运算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ；
（2）利用平方差公式进行计算：
（3）计算： = ；并直接写出上面结果的个位数字是 ；
（4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，
任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分）
①计算：
②计算：
类型三、利用乘法公式的变式求值
例题：（24-25八年级上·吉林长春·期中）已知 ，求下列各式的值：
①
②
【变式训练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若 ， ，
(1)求 的值；(2)求 的值．
【变式训练2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）（1）已知 ， ，则 的值为
______；
（2）已知 ， ，则 ______；
（3）已知x满足 ，则 的值为______．
【变式训练4】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）（1）已知 ， ，求 和 的值；
（2）已知 ， ，求 和 的值；
（3）已知 ，求 的值．
类型四、求完全平方式中的字母系数
例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 恰好可写成是一个整式的平方式，则 ．
【变式训练1】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如果多项式 是一个完全平方式，则
．
【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）若关于x的多项式 是完全平方式，
则k的值等于 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）给多项式 添加一个单项式，使其成为一个完
全平方式，则添加的这个单项式可以是 （填一个即可）．
类型五、利用完全平方配方求多项式最小/大值问题
例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式 的最小值．
解： ，
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)代数式 的最小值为______；(2)已知a，b为任意值，试比较 与 的大小关系，并说明理由．
(3)已知有理数x，y满足 ，求 的最小值．
【变式训练1】（23-24八年级下·四川达州·期末）【方法呈现】我们把多项式 及
叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同
样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如： ，
，
．
当 时， 的值最小，最小值是1．
即当 时， 的最小值是1．
【尝试应用】
（1）下列多项式中① ；② ；③ 是完全平方式的有_________．（请填
写序号）若 是一个完全平方式，则 的值等于_________（ 为常数）．
（2）求代数式 的最小（或最大）值，并写出相应的 的值．
【拓展提高】
（3）用长 的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由．
【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如 的式子叫做完全平方式．有
些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，
这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用．
示例：用配方法求代数式 的最小值，
解：原式
的最小值为 ．
(1)若代数式 是完全平方式，则常数k的值为__________；
(2)用配方法求代数式 的最小值；
(3)若实数a，b满足 ，求 的最小值．
【变式训练3】（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决
代数式一些问题，观察下列式子：
① ，
．因此，代数式 有最小值 ；
② ，．因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最小值为 ；代数式 的最大值为 ；
(2)求代数式 的最小值；
(3)已知 的三条边的长度分别为a、b、c，且满足 ，且c为正整数，求 的
周长的最大值．
类型六、平方差公式在几何图形中的应用
例题：（23-24六年级下·山东青岛·期末）从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图1），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________；
(2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值．
②计算： ．
【变式训练1】（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，
把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）．
(1)上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）：
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， 则 ．
②试说明 （n为整数）是4 的倍数；【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长
为b的小正方形，再沿着线段 剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ．请直接用含a，b的代数式表示
__________， __________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________．
(2)应用公式计算：
①已知 ， ，求 的值．
② ．
【变式训练3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值；
②计算： ；
③计算： ．类型七、完全平方公式在几何图形中的应用
例题：（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔
裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同
一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为 ，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪
刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．
【知识生成】
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一：__________________；
方法二：__________________；
【得出结论】
（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系为____________；
【知识迁移】
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足： ， ，求 的值．
（4）若a满足 求 的值
【变式训练1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚
线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系为__________；
(2)运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且 ， ，求 的值．
②如图3， ， 分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若 ，
，求图中阴影部分的面积．
【变式训练2】（23-24七年级下·四川达州·期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：________________________________；
方法2：________________________________．
(2)请你直接写出三个代数式： 之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶
①已知： ，求 和 的值；
②已知： ，求 的值．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）“数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我
国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．
由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性．
(1)如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______．
(2)如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出 、 、
之间的等量关系：______．
(3)根据（2）中的结论进行计算．已知： ， ，求 的值．
(4)如图3，正方形 与正方形 的重合部分长方形 的面积是2024， ， ，四
边形 和四边形 都是正方形，求正方形 的面积．压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若 是一个完全平方式，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 满足： ，求代数式
的值（ ）
A．6 B．2 C．-4 D．-8
3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ，则 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形 ，
把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的
两个图形可以验证的乘法公式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ．
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为 的正方形一角剪去一个边长为 的小正方形
，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字
母表示7．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于x的整式 是某个整式的平方，那么m的
值是 ．
8．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足 ， ，则
S的最小值为 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）先化简，再求值 ，其
中 ， ．
（2）利用简便方法计算：
① ；
②
11．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式的最小值．
解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值是4．
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最大值．
12．（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为 的大正方形中有一个边长为 的小
正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面
积，可以得到乘法公式： （用含 的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：①已知 ， ，则 的值为 ；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
13．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）阅读理解．
已知 ，求 的值．
解：由 ，可得 ．
整理得 ．
得 ．
请仿照上述方法，完成下列问题：
(1)已知 ，求 的值．
(2)已知 ，求 的值．
14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种
图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算： ；
(3)【拓展】计算： ．
15．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读与思考：我们把多项式 及 叫做完
全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完
全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的
数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如，求 的最小值．
解： ， ， ，所以当 时，
即当 时， 有最小值，最小值为1．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）当 时，多项式 有最 值，最 值是 ；
【知识迁移】
（3）代数式 的最小值为 ．
16．（24-25八年级上·全国·期中）对于任意四个有理数 ， ， ， ，我们规定： ，
．例如： ， ．
(1)若 是一个完全平方式，求常数 的值；
(2)若 ，且 ，求 与 的值；
(3)在（2）问的条件下，将梯形 及梯形 按照如图方式放置，其中点 在边 延长线上，点
在 上，且 ， ，连接 ．若 ， ， ， ，当
时，求 的值．
