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专题13 等腰三角形常见辅助线的作法（原卷版）
类型一 作底边中线（连接顶角顶点与底边中点）
1．（2023秋•万州区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°；AC＝8，F是AB边上的中点，点
D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结
论：①△DEF是等腰直角三角形，②四边形CDFE保持面积不变，③DF的长度处于最小值时，CD
的长为4；④S△CDE ＝S△DEF ；其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①②③
2．（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，
且AE＝AF，求证：DE＝DF．
3．（2020秋•新华区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且
AE＝AF，求证：DE＝DF．4．（2018秋•邻水县校级期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交
AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
1
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD= ∠B．
2
类型二 作底边上的高
5．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA
＝CD，BD＝6，则AD＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
6．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC= ∠BAC．
2
7．如图，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE，求证：DE⊥BC．8．（2019秋•河池期末）如图，在△ABC中，点D、点E在BC边上，且AB＝AC，AD＝AE．求证：DB
＝CE．
9．（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且
EA＝EC，求证：EB⊥AB．
10．（2023春•市中区期末）小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD．类型三 倍长中线法
11．（2021秋•南通期中）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，
BF＝b，则AC的长为（ ）
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
12．（2023•滕州市模拟）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一
倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图
2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： ；（填入你选择的选项字母）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
（2）AD的取值范围是 ．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，
∠GEF＝90°，求GF的长．类型四 截长补短法
13．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以
D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为
．
14．（2021秋•龙亭区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E
为BC上一点，BE＝DE．求证：BC＝CD+AD．
类型五 角平分线+平行线构造等腰三角形
15．（2022春•驿城区校级期中）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线OC上的任意一点，
PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，如果OD＝8cm，求PE的长．
16．（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂
足为E．求证：AC＝2BE．17．（2022秋•淮滨县期末）已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．
（1）求点B的横坐标；
（2）如图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当
∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．
类型六 角平分线+垂直构造等腰三角形
18．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重
要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题
如图，在△ABC中，D为△ABC外一点．
（1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平
分线．求证：2AD＝BF
