专题14.13乘法公式（知识梳理与考点分类讲解）-（人教版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题14.13 乘法公式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 要点提醒：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项， 又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： (ab)(ba) （1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (3x5y)(3x5y) （2）系数变化：如 (m3n2)(m3n2) （3）指数变化：如 (ab)(ab) （4）符号变化：如 (mn p)(mn p) （5）增项变化：如 (ab)(ab)(a2 b2)(a4 b4) （6）增因式变化：如 【知识点2】完全平方公式 ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点提醒：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ； ab2 ab2 4ab 【知识点3】添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里 的各项都改变符号. 要点提醒：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 【知识点4】补充公式(x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【考点一】平方差公式➼➻利用公式进行运算 【例1】（2023秋·北京海淀·八年级校考期中）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】 ；4 【分析】利用平方差公式变形后，整理后可将原式化简为 ，再代入 即可求出结论． 解：原式 = 当 时， 原式 ． 【点拨】本题考查了整式的化简求值，灵活运用平方差公式变形是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·四川眉山·八年级校考期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 解：A、 不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选 符合题意； B、 满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符 合题意；C、 满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题 意； D、 满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符 合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键． 【变式2】（2023秋·四川资阳·八年级四川省乐至中学校考期中）已知 . ． 【答案】9 【分析】根据题意可得 ，运用平方差公式解因式再整体代入即可 解： ， 故答案为：9． 【点拨】本题考查了平方差公式，解题的关键是会运用整体思想代入． 【考点二】平方差公式➼➻几何图形 【例2】（2020秋·陕西渭南·八年级统考阶段练习）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图 2）．图1 图2 （1）设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ，请用含a、b式子表示 和 ； （2）用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ （3）利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知 ， ，求 的值； ②计算： ． 【答案】（1） ， ；（2） ；（3）①4；②1． 【分析】（1）根据图像利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可； （2）根据 和 的面积相等可以验证平方差公式； （3）利用平方差公式进行变形，再进行计算即可． （1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ， ； （2）解：以上结果可以验证的乘法公式是 ； （3）解：①∵ ， ， ， ∴ ， ②【点拨】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）如图，为将一个小正方形放入 一个大正方形中形成的图形，两个正方形的边长相差3，阴影部分的面积为39，则较小正方形的面积是（ ） A．49 B．37 C．36 D．25 【答案】D 【分析】设较小正方形的边长为 ，则较大正方形的边长为 ，根据题意列出方程，求解后利用 正方形的面积公式可得答案． 解： 两个正方形的边长相差3， 设较小正方形的边长为 ，则较大正方形的边长为 ，根据题意，得 ， 解得 ， 小正方形的面积为： ， 故选：D． 【点拨】此题考查的是平方差公式，根据题意列出方程是解决此题的关键． 【变式2】（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长 为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则可以得到一个等式为 ． 【答案】 【分析】由大正方形的面积 小正方形的面积 矩形的面积，进而可以证明平方差公式．解：大正方形的面积 小正方形的面积 ， 矩形的面积 ， 故 ． 故答案为： ． 【点拨】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【考点三】完全平方公式➼➻利用公式进行运算 【例3】（2023秋·八年级课时练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案； （2）两次利用完全平方公式计算即可得答案； （3）将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案． （1）解： ． （2）解：． （3） . ． 【点拨】本题考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式： ；完全平方公 式： ；熟练掌握两公式并灵活运用是解题关键，运用整体思想，将多项式看成 一项，可创造条件套用公式． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·八年级课时练习）下列各式利用完全平方公式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用完全平方公式判断即可． 解：A、原式 ，故本选项不符合题意； B、原式 ，故本选项不符合题意； C、原式 ，故本选项不符合题意； D、 ，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点拨】因为完全平方公式有两个，所以运用完全平方公式计算时要先确定是“和的平方”还是“差的平方”，避免错用公式． 【变式2】（2023秋·八年级课时练习）计算： ． 【答案】 【分析】先用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可解决问题． 解： 故答案为： · 【点拨】本题考查了整式的乘法运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【考点四】完全平方公式➼➻利用公式变形进行运算 【例4】（2023春·七年级课时练习）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角 和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做 富比尼原理，是一种重要的数学方法． （1）在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到 ．请设计一个 图形说明 成立；（画出示意图，并标上字母） （2）如图2，两个直角边长分别为 ，斜边长为 的直角三角形和一个两直角边都是 的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长 有什么数 量关系吗？（注：写出解答过程） （3）根据（2）中的结论回答，当 时， 的值为 ． 【答案】（1）见分析；（2） ，理由见分析；（3）100 【分析】（1）根据正方形的面积画图； （2）根据梯形的面积的两种计算方法得出等式，再化简即可得到答案； （2）代入（2）中的等式计算即可得到答案． （1）解：图形如下： ； （2）解：梯形的面积为： ， 梯形的面积也可以表示为： ， ， ； （3）解：当 时， 由（2）得： ． 【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，用两种方法表示图形的面积是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·八年级课时练习）若 ，则 的值为（ ） A．13 B．26 C．28 D．37【答案】A 【分析】先利用绝对值和平方的值非负的性质，得到 和 的值，然后将 转化为： ，代入值可求得． 解：∵ ∴ ， ∴ ， 故选A． 【点拨】本题考查非负性的应用和完全平方式的变形，这两个考点属于典型题型，需要熟练解题技巧． 【变式2】（2023秋·八年级课时练习）若 ，则 ． 【答案】4048 【分析】设 ， ，则 ， ，进而根据完全平方公式变形求解即 可． 解：设 ， ，则 ， ， 所以 ． 故答案为：4048 【点拨】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式以及换元思想是解题的关键．易错点 拨：本题易因缺乏整体思想，受条件中数较大的千扰，导致无法选择正确的变形． 【考点五】完全平方公式➼➻求完全平方公式中的系数 【例5】（2023秋·八年级课时练习）已知 ，求 的值．【答案】 【分析】先依据等式的基本性质将已知等式转化为含有 的形式，再利用完全平方公式的变形把待 求值式子转化为含有 的形式，然后整体代入求值即可得答案． 解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 【点拨】本题考查等式的性质及完全平方公式，熟练利用完全平方公式正确变形是解题关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）已知 是完全平方式，则常数k等于（ ） A．8 B． C．16 D．8或 【答案】D 【分析】由已知条件设出一个完全平方式 ，并将其展开，使其与 相等，即可得到 关于 和 的方程组，解方程组即可得到答案． 解：∵ 是完全平方式 ∴ ∴ ∴解得故选：D． 【点拨】本题考查了完全平方式，熟练掌握公式是解题的关键． 【变式2】（2023秋·八年级课时练习）若 是完全平方式，则 的值是 ． 【答案】6或10 【分析】根据 是完全平方式可得 ，据此 求出a的值是多少，再代入求值即可． 解：∵ 是完全平方式， ∴ 当 时， 当 时， 综上， 的值是6或10 故答案为：6或10． 【点拨】本题考查了完全平方式和求一个数的绝对值，熟练掌握完全平方式的结构特征是解答本题的 关键． 【考点六】完全平方公式➼➻完全平方公式在几何图形的应用 【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）①已知a2-8a+k是完全平方式，试问k的值. ②已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值. 【答案】①k=16； ②m=±6. 【分析】①设m2=k，由a2-8a+k是完全平方式，即可得m=4，进而得到k的值； ②先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 解：①设m2=k；因为a2-8a+k是完全平方式， 所以a2-8a+m2=（a-m）2= a2-2ma+m2, 所以8a=2ma, 解得m=4, 所以k=16； ②因为x2+mx+9是完全平方式， 所以x2+mx+9=（x±3）2, 所以m=±6. 【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟 记完全平方公式对解题非常重要． 【举一反三】【变式1】（2023春·七年级课时练习）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片 紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利 用完全平方公式可求解． 解：设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0） ∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式， ∴x为4， 故选C 【点拨】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，点C是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作 正方形，面积分别是 和 ，两正方形的面积和 ，已知 ，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】4 【分析】设 ， ，建立关于a、b的关系，最后求面积． 解：设 ， ，则 ， ， ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式是求解本题 的关键．