文档内容
第 01 讲 三角函数概念与诱导公式
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别....................................................................................2
题型二：等分角的象限问题................................................................................................................2
题型三：弧长与扇形面积公式的计算................................................................................................3
题型四：割圆术问题............................................................................................................................3
题型五：三角函数的定义....................................................................................................................4
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值....................................................................................5
题型七：弦切互化求值........................................................................................................................5
题型八：诱导求值与变形....................................................................................................................6
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用............................................................6
02 重难创新练......................................................................................................................................7
03 真题实战练....................................................................................................................................10题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
1．与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
3．与 终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．把 表示成 的形式，则θ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
题型二：等分角的象限问题
5．如果角 的终边在第三象限，则 的终边一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
6．若角 是第二象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
7．已知θ为第二象限角，若 ，则 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．若 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
9．已知一个扇形圆心角 ， 所对的弧长 ，则该扇形面积为 ．
10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为 且半径为1的扇形，则该圆锥的
侧面积为 ．
11．已知扇形的周长为 ，则这个扇形的面积为 ，则该扇形圆心角的弧度数为 ．
12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针 （时）转出的扇形面积是
平方厘米．
13．已知一扇形的圆心角为 ，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心
角 弧度．
题型四：割圆术问题
14．刘徽（约公元225年 年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术
中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国
古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形，当 变得
很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
15．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国
传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正
边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学
理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分
成 个等腰三角形（如图所示），当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运
用割圆术的思想得到 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：三角函数的定义
17．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 中，锐角 以 为顶点， 为始边.将 的终边绕 逆
时针旋转 后与单位圆交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知角 终边上一点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
19．如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 、 从点 出发在单位圆上运动，点 按逆时针方
向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 、 两点在第4次相遇时，点 的坐标是
（ ）A． B．
C． D．
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值
20．如果 是第一象限角，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
21．（2024·高三·河北·期末）“ 是第二象限角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
22．已知点 在第三象限，则角 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．（多选题）若 ，则角 的终边可能在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
题型七：弦切互化求值
24．若 ，则 ．
25．（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． B．C． D．
26．（多选题）已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知 是关于 的方程 的两个实根，则 的值为 ．
28．设 ，则
29．（2024·吉林长春·三模）已知 ，且 ，则 ．
题型八：诱导求值与变形
30．已知 是第三象限角，且 ，则 ， .
31．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
33．已知 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
34．已知 ，且 为第三象限角．(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
35．已知 角的始边与 轴非负半轴重合， 是 角终边上一点.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
36．已知函数
(1)化简 ；
(2)若 ，求 ､ 的值；
(3)若 ，求 的值.
1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流
派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、
栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ，如图（2），砖雕厚度为6cm，
， ， 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： ）（ ）
A． B． C． D．
2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图
所示，其中外弧长与内弧长之和为 ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为 ，且该扇环的圆心角
的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济南·二模）质点 和 在以坐标原点 为圆心，半径为1的圆 上逆时针作匀速圆周运动，
同时出发. 的角速度大小为 ，起点为圆 与 轴正半轴的交点； 的角速度大小为 ，起点
为圆 与射线 的交点.则当 与 第2024次重合时， 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东济南·三模）若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重
合，终边与单位圆交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．7．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）一般地，任意给定一个角 ，它的终边 与单位圆的交点 的坐标，
无论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的，所以点 的横坐标 、纵坐标 都是角 的函数.下面给
出这些函数的定义：
①把点 的纵坐标 叫作 的正弦函数，记作 ，即 ；
②把点 的横坐标 叫作 的余弦函数，记作 ，即 ；
③把点 的纵坐标 的倒数叫作 的余割，记作 ，即 ；
④把点 的横坐标 的倒数叫作 的正割，记作 ，即 .
下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时，
C．函数 的定义域为
D．当 且 时，
8．（2024·北京·三模）“ 为锐角三角形”是“ ， ， ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（多选题）（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角 的终边过点 ，则角 的集合是
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的半径是
10．（多选题）（2024·高三·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系 中，若角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
11．（多选题）（2024·吉林长春·一模）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 ，则
13．已知 ， ，则 .
14．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知 ，则 ．
15．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知 、 是方程 的两个实数根.
(1)求实数 的值；
(2)求 的值；
(3)若 ，求 的值.
16．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求 的值；
（2）若 ，且角 终边经过点 ，求 的值1．（2021年全国新高考I卷数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2015年山东省春季高考数学真题）终边在 轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））若 ，且 为第四象限角，
则 的值等于
A． B． C． D．
5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版））已知 ，则
．
A． B． C． D．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若 ，则 ．
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）若 ，则 ，
．
8．（2021年北京市高考数学试题）若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一
个取值为 ．
9．（2020年浙江省高考数学试卷）已知圆锥的侧面积（单位： ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个
半圆，则这个圆锥的底面半径（单位： ）是 ．
