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专题18.32 平行四边形（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为6，点 在 上， ，点
是对角线 上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形 中，O为对角线 的中点，E为正方形内一
点，连接 ， ，连接 并延长，与 的平分线交于点F，连接 ，若 ，则 的长
度为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为3，点 是对角线 上的一
点， 于点 ， 于点 ，连接 ，当 时，则 （ ）
A． B．2 C． D．4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边
上一点（不与点A，D重合），连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ，
，点E在边 上， ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在菱形 中，分别以 、 为圆心，大于 为半
径画弧，两弧分别交于点 、 ，连接 ，若直线 恰好过点 与边 交于点 ，连接 ，则下
列结论错误的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．
6．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形 的对角线交于点O，点E是直线 上一动点．
若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形 中，点M在 边上，把 沿直线
折叠，使点B落在 边上的点E处，连接 ，过点B作 ，垂足为F，若 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，
点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
9．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在矩形纸片 中， ，点 分
别是矩形的边 上的动点，将该纸片沿直线 折叠．使点 落在矩形边 上，对应点记为点 ，
点 落在 处，连接 与 交于点 ．则下列结论成立的是（ ）
① ；
②当点 与点 重合时 ；
③ 的面积 的取值范围是 ；
④当 时， ．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④10．（2021·安徽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中， ， ，过菱形ABCD的对称
中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在矩形 中， 是边 上一点， ， 分别是 ，
的中点，连接 ， ， ，若 ， ， ，矩形 的面积为 ．
12．（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，在菱形 中， ， 为 中点，点 在
延长线上， 、 分别为 、 中点， ， ，则 ．
13．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，四边形 的两条对角线 ， 互相垂直， ，
，则 的最小值是 ．14．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在 中， ，点P为斜
边 上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作 ，垂足分别为点D和点E，连
接 交于点Q，连接 ，当 为直角三角形时， 的长是
15．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形 中，连接 ，过点C作 平分线
的垂线，垂足为点E，且交 于点F；过点C作 平分线 的垂线，垂足为点H，且交 于点
G，连接 ，若 ， ，则线段 的长度为 ．
16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在
轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若
， ，则点 的坐标是 ．17．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形 中，点E在边 上，点F是AE的中点，
，则 的长为 ．
18．（2021·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝ AB，对角线相交于点O，动点
M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、
N运动过程中，则以下结论中，①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使 ；③
逐渐减小；④ ．正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 的延
长线上，且 ，连接 与 交于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求四边形 的周长．20．（8分）（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形 是平行四边形，点 在对角线
上，点 在边 上，连接 ， ， ．
（1）如图①，求证 ；
（2）如图②，若 ，过点 作 交 于点 ，在不添加任何轴助线的情况
下，请直接写出图②中四个角（ 除外），使写出的每个角都与 相等．
21．（10分）（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形 的顶点 作直线 ，点 关于直线
的对称点为点 ，连接 ，直线 交直线 于点 ．
（1）如图1，若 ，则 ___________ ；
（2）如图1，请探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在 绕点 转动的过程中，设 ， 请直接用含 的式子表示 的长．22．（10分）（2023·江苏·统考中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点 ，使得该四边形的
一条对角线绕点 旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点 是该四
边形的一个“旋点”．例如，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，则点 是矩形 的一
个“旋点”．
（1）若菱形 为“可旋四边形”，其面积是 ，则菱形 的边长是_______；
（2）如图1，四边形 为“可旋四边形”，边 的中点 是四边形 的一个“旋点”．求
的度数；
（3）如图2，在四边形 中， ， 与 不平行．四边形 是否为“可旋四边
形”？请说明理由．
23．（10分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行
如下探究：
独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．”小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰 中， 由 翻折得到．
（1）如图1，当点 落在 上时，求证： ；
（2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 的等腰三角形，可以将问题
进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ，则求 的
长．
24．（12分）（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践
定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩形称为 阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（ ）与长 的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点 为正方形
边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周
长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】连接 ， ，根据正方形的对称性可得 ，进而可知 ，再
利用 ， ， 三点共线时， 的值最小，将 转化为 ，最后运用勾股定理即可解答．
解：如图，连接 ， ，、 关于 对称，
，
当 ， ， 三点共线时， 的值最小，
即 的值最小，
， ，
由勾股定理得： ，
即 的最小值为 ，
故选C．
【点拨】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当 ， ，
三点共线时， 有最小值是解题的关键．
2．D
【分析】连接 ，根据正方形 得到 ， ，根据角平分线的性质和等腰
三角形的性质，求得 ，再证明 ，求得 ，最后根据直角三角形斜边上
的中点等于斜边的一半，即可求出 的长度．
解：如图，连接 ，
四边形 是正方形，
， ， ，，
，
，
平分 ，
，
，
在 与 ,
，
，
，
，
O为对角线 的中点，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，
作出正确的辅助线，求得 是解题的关键．
3．C
【分析】先证四边形 是矩形，可得 ， ，由等腰直角三角形的性质可得
，可求 ， 的长，由勾股定理可求 的长，由“ ”可证 ，可得
．
解：如图：连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活
运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得 ， ，通过证明四边形 是平
行四边形，可得 ，则 ，作点C关于直线 的对称点M，则
，点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ．解： 四边形 是矩形，
， ，
点M，N分别是 的中点，
， ， ， ，
， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
如图，作点C关于直线 的对称点M，连接 ， ，
则 ，
当点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
的最小值 ，
故选C．
【点拨】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性
质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代
换思想．
5．B
【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．解：由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE= ，
∵∠D=60°，
∴AE= ，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即 ，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB CD，AB=2DE，
∴ ，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活
运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．
6．D
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点 ，再连
接 ，运用两点之间线段最短得到 为所求最小值，再运用勾股定理求线段 的长度即可．
解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，其与BC的交点即为点E，再作
交AB于点F，
∵A与 关于BC对称，∴ ， ，当且仅当 ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此
时 ，
∵正方形 ，点O为对角线的交点，
∴ ，
∵对称，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故选：D．
【点拨】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关
键。
7．A
【分析】先证明 BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE= ，从而可得AD=BC= ，
△
最后求得AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵ ，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把 沿直线 折叠，使点B落在 边上的点E处，
∴BC=EC，
在 BFC与 CDE中，
△ △∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴ ，
∴AD=BC=CE= ，
∴AE=AD-DE= ，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本
题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．
8．A
【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当
G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴ ，
∵在菱形ABCD中， ，
∴ ，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC
的对称点是解答本题的关键．
9．D
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因
为点E是AD边上的动点，所以3<BG< ．从而判断①不正确；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
③当点E与点A重合时， 的面积 有最小值 ，当点G与点D重合时 的面积 有最大值
．故 < < ．
④因为 ，则EG=BF=6- = ．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG
的面积．
解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，又∵点E是AD边上的动点，
∴3<BG< ．
故①错误；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中
即
解得：AE= ，
∴BF=DE=6- = ．
∴HF= - = ．
在Rt△EFH中
= ；
故②正确；
③当点E与点A重合时，如图所示， 的面积 有最小值= = ，
当点G与点D重合时 的面积 有最大值= = ．
故 < < ．
故③错误．④因为 ，则EG=BF=6- = ．根据勾股定理可得ME= ，
∴ ．
故④正确．
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相
关知识找到临界点是解题的关键．
10．A
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
解：∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x， ，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE= ，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE= ,
故选A．
【点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三
角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关
系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．
11．48
【分析】根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段长，利用勾
股定理逆定理判定 ，再结合 即可得出结论．
解：在矩形 中， ，
在矩形 中， ， 分别是 ， 的中点， ，
是 的中位线，即 ，
在 中， 是BE的中点， ，
是 斜边上的中线，即 ，
，
在 中， 是EC的中点， ，是 斜边上的中线，即 ，
，
在 中， ， ， ，即 ，
是直角三角形，且 ，
过 作 于 ，如图所示：
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形
的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线表示是解决问题
的关键．
12．4
【分析】连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定
理可得CG= 2HF= ，由AB CD，得 CDM= A= 60°，设DM= x，则CD= 2x，CM= x，在
Rt△CMG中，借助勾股定理得 ，即可求出x的值，从而解决问题．
解：如图，连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，
F、H分别为CE、GE中点，
FH是△CEG的中位线，HF= CG，
四边形ABCD是菱形，
AD BC，AB CD，
DGE = E，
EHF= DGE，
E= EHF，
HF = EF = CF，
CG= 2HF = ，
AB CD，
CDM= A = 60°，
设DM= x，则CD= 2x，CM= x，
点G为AD的中点，
DG= x，GM=2x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
，
x=2，
AB = CD= 2x= 4．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅
助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．
13．
【分析】设 的交点为 ， 的中点分别是 ，连接
，先证 ，由此得当 最小时， 最小，再
根据“两点之间线段最短”得 ，再证四边形 是矩形，且 ，根据勾股定理
的 ，进而求得 的最小值．
解：设 的交点为 ， 的中点分别是 ，连接 ，互相垂直，
和 为直角三角形，且 分别为斜边，
，
，
当 最小时， 最小，再根据“两点之间线段最短”得 ，
当点 在线段 上时， 最小，最小值为线段 的长，
分别为 的中点，
是 的中位线，
，
同理 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形，
在 中， ，
，
的最小值为 ，
的最小值为 ．故答案为： ．
【点拨】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾
股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．
14．3或
【分析】根据题意，由 为直角三角形，可进行分类讨论：①当 ；②当
两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案．
解：根据题意，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵当 为直角三角形时，可分情况进行讨论
①当 时，如图：
则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
在直角△ACP中，由勾股定理，则
；
②当 时，如图
∵ ， ，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CQ=PQ，
∵AQ⊥CP，
∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=
综合上述， 的长是3或 ；
故答案为：3或 ；
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性
质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题．
15．
【分析】先证明 ，可得CE=FE，BF= ，同理：CH=GH，DG= ，从而
得HE= ，再利用勾股定理得BD= ，进而即可求解．
解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠FBE，∵CF⊥BE，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
又∵BE=BE，
∴ ，
∴CE=FE，BF=
同理：CH=GH，DG= ，
∴HE是 的中位线，
∴HE= ，
∵在矩形 中， ， ，
∴BD= ，
∴GF= BF+ DG-BD= ，
∴ = ．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE
是 的中位线，是解题的关键．
16．
【分析】根据折叠的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而得出
，在 中，勾股定理建立方程，求得 的长，即可求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴设 ，则 ，∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题
的关键．
17．
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出 ，进而求出 ，然后在 中利用勾股定理求出
，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
解：在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F是AE的中点，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题
18．①②③④．
【分析】先根据矩形的性质与AD＝ AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分类讨论，当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点，则： ， 从而点
M、N的运动速度不同，当点M运动到AB的中点时， ，由AM减小的速度比AN增大的速度
快，则 逐渐减小，当点M在AB的中点时，才满足 ，得出结论．
解：∵AD＝ AB，
∴tan∠ADB= ，
∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，
∵点O为BD的中点，
∴AB=AO=BO，
设AB=1，则AD= ，BD=2．
①当点M与点B重合时，点N是BD的垂直平分线与AD的交点，
令AN=x，则BN=DN= ，
∴ ，
解得： ，
∴AN= ，
当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点，
则： ，
从而点M、N的运动速度不同，故①说法正确，符合题意；
②当点M运动到AB的中点时， ，故②说法正确，符合题意；
③由①得到，AM减小的速度比AN增大的速度快，则 逐渐减小，故③说法正确，符合题意；如图，延长MO交CD于M'，
∵∠MOB=∠M'OD，OB=OD，∠DBA=∠BDC，
∴△OMB≌△OM'D（ASA），
∴BM=DM'，OM=OM'，连接NM'，
∵NO⊥MM'，则MN=NM'，
∵NM'2=DN2+DM'2，
∴MN2=BM2+DN2，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了矩形的性质、动点问题，解题关键在于确定特殊情况，求出两点的运动路程，确
定边之间的关系，得出结论．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，进而得出 ，证明
，根据 证明 ，即可得证；
（2）证明 是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ， （平行四边形的对边平行且相等）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵
∴ 即
在 和 中∴ ；
（2）解：∵ ，
∴四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴ 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴ （菱形的四条边都相等）
∴菱形 的周长 .
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
20．（1）见分析；（2） ，理由见分析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得 ， ，进而有 ，从而利用
即可证明结论成立；
（2）先证四边形 是菱形， 得 ，又证 ，得
，由（ ）得 得 ，根据等角的补角
相等即可证明．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ 四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由（ ）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质
以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
21．（1） ；（2） ；（3） ，或 ，或
【分析】（1）如图，连接 ， ，由对称知 ，
由四边形 是正方形得 ，所以 ，从而 ；
（2）如图，连接 ， ， ， ，交 于点H，由轴对称知， , ，
，可证得 ，由勾股定理得， 中， ，
中， ，从而 ；
（3）由勾股定理 ， ，分情况讨论：当点F在D,H之
间时， ；当点D在F,H之间时， ；当点H在F,D之间时， ．
（1）解：如图，连接 ， ，
∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ， 关于 对称，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：20．
（2）解： ；理由如下：
如图，由轴对称知， , ，
而
∴
∴
∴
∴ 中，
中，
∴ 即 ；（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，当点F在D,H之间时， ，
如图，当点D在F,H之间时，
如图，当点H在F,D之间时，【点拨】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾股定理等，将运动状态的所有
可能考虑完备，分类讨论是解题的关键．
22．（1） ；（2） ；（3）是
【分析】（1）根据“可旋四边形”的性质可得 ，根据正方形的判定可得菱形 为正方
形，根据正方形四条边都相等的性质即可求解；
（2）连接 ，根据“可旋四边形”的性质和题意可得 ， ，推得 ，
根据等边对等角可得 ， ，根据三角形内角和定理即可求出结果；
分别作 ， 的垂直平分线，交于点 ，连接 ， ， ， ，根据垂直平分线的性质可得
， ，根据全等三角形的判定和性质可得 ，求得 ，即可证
明四边形 是“可旋四边形”．
（1）解：∵菱形 为“可旋四边形”，
则菱形 的一条对角线 绕点 旋转一定角度后能与另一条对角线 重合，
即 ，
则菱形 为正方形，
∵菱形 的面积为 ，
∴菱形 的边长是 ．
故答案为： ．
（2）解：连接 ，如图：
∵四边形 为“可旋四边形”，且点 是四边形 的一个“旋点”，
∴ ，
∴ ，
∵点 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
（3）解：四边形 是“可旋四边形”；理由如下：
分别作 ， 的垂直平分线，交于点 ，连接 ， ， ， ，如图：
∵点 在线段 和线段 的垂直平分线上，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
∴四边形 是“可旋四边形”．
【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，全
等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线，构建全等三角形．
23．（1）见分析；（2） ；问题2：
【分析】（1）根据等边对等角可得 ，根据折叠以及三角形内角和定理，可得
，根据邻补角互补可得 ，即可得证；
（2）连接 ，交 于点 ，则 是 的中位线，勾股定理求得 ，根据
即可求解；
问题2：连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据已知条件可得，则四边形 是矩形，勾股定理求得 ，根据三线合一得出 ，根据勾股定理求得
的长，即可求解．
解：（1）∵等腰 中， 由 翻折得到
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图所示，连接 ，交 于点 ，
∵折叠，
∴ ， ， ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
问题2：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
则 ，
在 中， ， , ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上
知识是解题的关键．
24．（1） ；（2）见分析；（3） ，理由见分析【分析】（1）将 代入 ，即可求解．
（2）设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 ，设 ，则 ，在
中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．
（4）根据（2）的方法，分别求得四边形 的周长与矩形 的周长，即可求解．
解：（1）当 时， ，
故答案为： ．
（2）如图（2），连接 ，
设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得：∴
∴矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片 进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，再对折，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
矩形 是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠可得 ，则 ，
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，∴
解得：
∴
当 时，
∴矩形 是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶 ，设正方形的边长为1，设 ，则 ，
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
整理得，
∴四边形 的边长为矩形 的周长为 ，
∴四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值
【点拨】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
