文档内容
专题18.31 平行四边形（直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图， 的对角线 交于点 ，下列结论一定成立
的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南·统考中考真题）如图，在 中， ， ， 平分 ，交边
于点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
3．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， 的平分
线与边 相交于点 ， 是 中点，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形 的对角线相交于点 ，下列结论一定正确的是
（ ）A． 平分 B． C． D．
5．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片 ．先对折矩形 ，使 与
重合，得到折痕 ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折
痕 ﹐同时得到线段 ， ．观察所得的线段，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线 ，菱形 和等边 在 ， 之间，点A，F
分别在 ， 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形 的对角线 与 相交于点O，E为边 的
中点，连结 ．若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．48．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标
为 ，以 为边作矩形 ．动点 分别从点 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿
向终点 移动．当移动时间为4秒时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）如图，矩形 的对角线 与
交于点 ，过 点作 的垂线分别交 ， 于 、 两点．若 ， ，则 的长
度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知 ，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与
角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于
内一点P，连接 ，过点P作直线 ，交OB于点E，过点P作直线 ，交 于点F．若
， ，则四边形 的面积是（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·天津河东·八年级期中）如图，在平行四边形 中， ， ， 的平分线
交 于点E，则 的长为 ．
12．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图， 中， 为对角线，分别以点A、B为圆心，以
大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线 交 于点E，交 于点F，若 ，
， ，则 的长为 ．
13．（2023·湖北·统考中考真题）如图， 和 都是等腰直角三角形，
，点 在 内， ，连接 交 于点 交 于点 ，连
接 ．给出下面四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所
有正确结论的序号是 ．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图在正方形 中，点E在 上，连接 ， ，F为 的中点连接 ．若 ，则 的长为 ．
15．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在
轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若
， ，则点 的坐标是 ．
16．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形 中，点E在边 上，点F是AE的中点，
，则 的长为 ．
17．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点O，连接 ， ，过点C作 ，交 的延长线于点F，连接 ．若 ， ，
则四边形 的面积为 ．
.
18．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边 的两个顶点 分别在两条射线上滑动，若 ，则 的最大值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在 中， ， 于点D，点E
为AB的中点，连结DE．已知 ， ，求BD，DE的长．
20．（8分）（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在 同侧， ，
．
（1）求证： ≌ ．
（2）连接 ，求证：四边形 是平行四边形．21．（10分）（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在 中，D是 的中点，E是 的中点，
过点A作 交 的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求证：四边形 是矩形．
22．（10分）（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，四边形 是平行四边形，连接 ，
交于点 ， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若四边形 是菱形且 ， ，求四边形 的面积．
23．（10分）（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形 的顶点 作直线 ，点 关于直线的对称点为点 ，连接 ，直线 交直线 于点 ．
（1）如图1，若 ，则 ___________ ；
（2）如图1，请探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在 绕点 转动的过程中，设 ， 请直接用含 的式子表示 的长．
24．（12分）（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形 进行如下操作：①分别
以点 为圆心，以大于 的长度为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线 交 于点 ，连接
；②将 沿 翻折，点 的对应点落在点 处，作射线 交 于点 ．
【问题提出】
在矩形 中， ，求线段 的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接 ，如图2．经过推理、计算可求出线段 的长；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．经过推理、计算可求出线段 的长．
请你任选其中一种方案求线段 的长．参考答案：
1．C
【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案．
解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在 中， ， ，则
不一定成立，该选项不符合题意；
B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则 不一定成立，该选项不符合题
意；
C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在 中， ，该选项符合题意；
D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则 不一定成立，该选项不符合题
意；
故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键．2．C
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ， ，由平行线的性质可
得 ，由角平分线的定义可得 ，从而得到 ，推出 ，
，过点 作 于点 ，由直角三角形的性质和勾股定理可得 ， ，
，即可得到答案．
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 于点 ，
，
则 ，
，
，
， ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的
性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．3．A
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得
，进而可得 ，再根据三角形的中位线解答即可.
解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
故选：A.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理
等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.
4．C
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
解：由矩形 的对角线相交于点 ，
根据矩形的对角线相等，
可得 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．
5．C
【分析】根据折叠的性质，得出 ， ，进而得到
，在 中，由特殊锐角的三角函数可求 即可．
解：根据折叠的性质可知： ， ， ， ，
∴
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点拨】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三
角形的边角关系是解题的关键．
6．C
【分析】如图，由平角的定义求得 ，由外角定理求得，
，根据平行性质，得 ，进而求得 ．
解：如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．【点拨】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理
确定角之间的数量关系是解题的关键．
7．B
【分析】先由菱形的性质得 ， ， ，再由勾股定理
求出 ，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
解：∵菱形 ，
∴ ， ， ，
∴由勾股定理，得 ，
∵E为边 的中点，
∴
故选：B．
【点拨】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性
质是解题的关键．
8．D
【分析】根据题意，得出 ， ，勾股定理求得 ， ，即可求解．
解：连接 、∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，以 为边作矩形 ．
∴ ，
则 ，
依题意， ，
∴ ，则 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得 的坐标是解题的
关键．
9．A
【分析】根据邻补角求出∠DEO的度数，根据余角的定义求出∠ADO的度数，再根据平行四边形的
性质及等边对等角可求出∠EAO和∠AOE的度数，根据等角对等边得出AE=EO，然后勾股定理可求得AE
的值，最后根据中心对称的性质即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
设OE=x,则DE=2x
在 中，
即
解得： （负值已舍去）
∴ ，
∵矩形 关于对角线交点 中心对称，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．B
【分析】过P作 于M，再判定四边形 为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最
后求出面积．
解：过P作 于M，
由作图得： 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，设 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解
题的关键．
11．2
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，则 ，再由角平分线的定义可得
，从而求得 ，则 ，从而求得结果．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 的平分线 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质
是解题的关键．
12．5
【分析】连接 ，根据基本作图，得到 ，利用平行四边形的性质，得
，在 中，利用勾股定理计算即可．
解：如图所示，连接 ，
根据基本作图，可设 ，∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
在 中， ，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边
形的性质，勾股定理是解题的关键．
13．①③④
【分析】由题意易得 ， ， ，
，则可证 ，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的
性质与判定可进行求解．
解：∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ， ，故③正确；
∵ ， ， ，
∴ ， ；故②错误；
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故④正确；故答案为①③④．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，
熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键．
14．
【分析】根据正方形的性质得到 ， ，设 ，
根据勾股定理求出 的值，再根据勾股定理即可求出 的长．
解： 正方形
，
F为 的中点，
设
，
在 中，
即
解得
故 ，
在 中
解得 （负值舍去）
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股
定理是解题的关键．
15．【分析】根据折叠的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而得出
，在 中，勾股定理建立方程，求得 的长，即可求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题
的关键．
16．
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出 ，进而求出 ，然后在 中利用勾股定理求出
，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
解：在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵点F是AE的中点，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题
17．24
【分析】根据平行线的性质可得 ，根据垂直平分线的性质可得 ，
，根据全等三角形的判定和性质可得 ， ，根据平行四边形的判定和
菱形的判定可推得四边形 为菱形，根据勾股定理求得 ，根据菱形的性质即可求得四边形
的面积．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线 交 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ， ， ，
∴平行四边形 为菱形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故菱形 的面积为 ，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
18． /
【分析】如图所示，取 的中点D，连接 ，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出
，再根据直角三角形的性质得到 ，再由 可得当 三点共线时，
有最大值，最大值为 ．
解：如图所示，取 的中点D，连接 ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确
作出辅助线确定当 三点共线时， 有最大值是解题的关键．
19．【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出 的长，再根据勾股定理求得 的长，最后根据条件
可知 是 的中位线，求得 的长．
解：∵ ， 于点D，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 于点D，
∴ ，
∴在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∵E为AB的中点，
∴ ．
【点拨】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性
质、等腰三角形的性质是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）由B是 的中点得 ，结合 ， ，根据全等三角形的判定定理
“ ”即可证明 ≌ ；
（2）由（1）中 ≌ 得 ，进一步得 ，再结合 ，根据一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
（1）解：∵B是 的中点，
∴ ．
在 和 中，
∴ ≌ （ ）．
（2）如图所示，∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法
与性质是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）见分析；
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出 ，然后利用“角角边”证明三角形全
等，再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 是平行四边形，再根据一
个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有
一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由平行四边形的性质，角平分线定义推出 ，得到 ，判定
四边形 是平行四边形，推出 ，得到 ．
（2）由菱形的性质得到 ， ，推出四边形 的菱形，由平行线的性质得到
，判定 是等边三角形，得到 ， ，求出 ，得
到 ，由菱形的面积公式即可求出四边形 的面积．
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
．
（2）解：由（1）知 ，
，四边形 是菱形，
， ， ，
四边形 的菱形，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
四边形 的面积 ．
【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，关键是由 ，得到 ，判定四边形 是平行四边形；证明四边
形 是菱形．
23．（1） ；（2） ；（3） ，或 ，或
【分析】（1）如图，连接 ， ，由对称知 ，
由四边形 是正方形得 ，所以 ，从而 ；
（2）如图，连接 ， ， ， ，交 于点H，由轴对称知， , ，
，可证得 ，由勾股定理得， 中， ，中， ，从而 ；
（3）由勾股定理 ， ，分情况讨论：当点F在D,H之
间时， ；当点D在F,H之间时， ；当点H在F,D
之间时， ．
（1）解：如图，连接 ， ，
∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ， 关于 对称，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：20．
（2）解： ；理由如下：
如图，由轴对称知， , ，而
∴
∴
∴
∴ 中，
中，
∴ 即 ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，当点F在D,H之间时， ，
如图，当点D在F,H之间时，如图，当点H在F,D之间时，
【点拨】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾股定理等，将运动状态的所有
可能考虑完备，分类讨论是解题的关键．
24．线段 的长为 ．
【分析】方案一：连接 ，由翻折的不变性，知 ， ，证明
，推出 ，设 ，在 中，利用勾股定理列式计算求解即
可；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，证明 ，推出 ，设 ，同方
案一即可求解．
解：方案一：连接 ，如图2．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由作图知 ，
由翻折的不变性，知 ， ， ，∴ ， ，又 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长为 ；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由作图知 ，
由旋转的不变性，知 ， ， ，
则 ，
∴ 共线，
由翻折的不变性，知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，∴线段 的长为 ．
【点拨】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定
和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
