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专题18.30 平行四边形（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位： ）测量某三角形部件的尺寸．如图
所示，已知 ，点D为边 的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形 的对角线相交于点 ，下列结论一定正确的是
（ ）
A． 平分 B． C． D．
3．（2023·西藏·统考中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知 ，则阴
影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图， 的对角线 交于点 ，下列结论一定成立
的是（ ）A． B． C． D．
5．（2023·上海·统考中考真题）在四边形 中， ．下列说法能使四边形
为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北·统考中考真题）如图，在 中， ，点M是斜边 的中点，以 为
边作正方形 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．16
7．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM
于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于
点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（
）
A． AOB是等边三角形 B．PE=PF
△C． PAE≌ PBF D．四边形OAPB是菱形
8．（2△022·四川△乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过
点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
9．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边
上一点，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，
点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中
一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（
）
A．当 时，四边形ABMP为矩形
B．当 时，四边形CDPM为平行四边形
C．当 时，
D．当 时， 或6s二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在 中， ， 分别为边 ， 的中点， ，
则 的长为 cm.
12．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 在 轴的
正半轴上，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在 中， ， 于点E，若
，则 ．
14．（2023下·湖北孝感·八年级统考期中）如图， 的顶点 的坐标分别是
．则顶点 的坐标是 ．
15．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 落在长边 上
的点 处，并得到折痕 ，小宇测得长边 ，则四边形 的周长为 ．16．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，将 沿着 方向平移得到 ，只需添加一个条
件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
17．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在
∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF= ，则BD的长为
（结果保留很号）．
18．（2022·湖南娄底·统考中考真题）菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、
上的动点， 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022·四川泸州·统考中考真题）如图， 分别是 的边 上的点，已
知 ，求证： ．20．（8分）（2022·宁夏吴忠·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，
且BE＝DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
21．（10分）（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过
点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：（1） DOF≌ BOE；
（2）△DE=BF．△
22．（10分）（2022·新疆·统考中考真题）在 中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF
到点E，使 ，连接BE．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形．
23．（10分）（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片 折叠，使点B与点D重合，
点A落在点P处，折痕为 ．
（1）求证： ；（2）若 ，求 的长．
24．（12分）（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，点 在四边形 的边 上，连接 ，
并延长 交 的延长线于点 ，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：四边形 为平行四边形．参考答案：
1．B
【分析】由图求得 的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：由图可知 ，
在 中， ，点D为边 的中点，
,
故选：B．
【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．
2．C
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
解：由矩形 的对角线相交于点 ，
根据矩形的对角线相等，
可得 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．
3．D
【分析】首先过点 作 于点E， 于点 ，由题意可得四边形 是平行四边形，
继而求得 的长，判定四边形 是菱形，则可求得答案．
解：过点 作 于点E， 于点 ，根据题意得： ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含 角的直角三角
形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线．
4．C
【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案．
解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在 中， ， ，则
不一定成立，该选项不符合题意；
B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则 不一定成立，该选项不符合题
意；
C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在 中， ，该选项符合题意；
D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则 不一定成立，该选项不符合题
意；故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键．
5．C
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
解：A： ，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B： ，
为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
∴ ∥
四边形 为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上
知识并灵活运用是解题的关键．
6．B
【分析】根据正方形的面积可求得 的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边 的长，利用勾
股定理求得 的长，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵ ，
∴ ，
∵ 中，点M是斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的
一半”是解题的关键．
7．D
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证
明 PAE≌ PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D．
△解：∵△∠MON=60°，OA=OB，∴ AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
由作图知：射线OP是∠MON的平△分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题
意；
由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴ PAE≌ PBF（HL） ，故选项C成立，不符合题意；
∵OA与AP不一定相等，∴四边形O△APB不△一定是菱形，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形
的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定．
8．B
【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．
解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S ABCD=DE×AB=2× ×AC×BF，
平行四边形
∴4×6=2× ×8×BF，
∴BF=3，
故选：B．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关
键．
9．C
【分析】先利用正方形的性质得到 ， ， ，利用角平分
线的定义求得 ，再证得 ，利用全等三角形的性质求得 ，
最后利用 即可求解．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ 平分 交 于点 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三
角形的判定方法是解题的关键．
10．D
【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断
选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．
解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当 时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当 时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合
题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt PFM≌Rt DEC（HL），
∴PF△=DE=2，E△F=CM=8-t，
∴AP=10-4-（8-t）=10-t，
解得t=6 s；
当PM=CD，且PM∥CD时，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题
所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．
11．
【分析】由于 、 分别为 、 边上的中点，那么 是 的中位线，根据三角形中位线定
理可求 ．
解：如图所示，
、 分别为 、 边上的中点，
是 的中位线，
；
又∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．
12．
【分析】根据点 的坐标是 ，可得 的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点 的坐标．
解： 点 的坐标是 ，
，
四边形 为菱形，
， ，
则点 的坐标为 ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
13．
【分析】证明 ， ，由 ，可得
，结合 ，可得 ．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基
本几何图形的性质是解本题的关键．
14．
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，且
，即可得到结果．
解： 在 中， ， ，
，
，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对
边相等且平行”的性质．
15．
【分析】可证 ，从而可得 ，再证四边形 是平行四边形，可得，即可求解．
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
由折叠得： ，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
故答案： ．
【点拨】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
16．AB=BE（答案不唯一）
【分析】由题目提供的条件可以得到四边形 是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可．
解：添加AB=BE，
∵将 沿着 方向平移得到 ，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形 是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行
四边形是解题的关键．
17．【分析】连接AC交BD于H，证明 DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长
度． △
解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中， ，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH=DF= ，
∴DB=2DH= ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，
得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．
18．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即
可求解．
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知
CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形 的边长为2， ，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是
解题的关键．
19．见分析
【分析】根据平行四边形的性质可得到 ， 进而可知 ，最后利用全等三角形
的判定与性质即可解答．
解：证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是
解题的关键．
20．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，根据平行线的性质可得
，结合已知条件根据SAS即可证明 ；
（2）根据 可得 ，根据邻补角的意义可得 ，可
得 ，根据一组对边平行且相等即可得出．
（1）证明：解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ （SAS）；
（2）证明：∵ ，
∴
∴ ，
∴四边形AECF是平行四边形
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与
判定是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明 DOF≌ BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论． △ △
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在 BOE和 DOF中， ，
△ △
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）证明：∵ BOE≌△DOF，
∴EO=FO， △
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．∴DE=BF．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形
的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）利用SAS直接证明；
（2）利用 和已知条件证明 ， 即可推出四边形BCDE是平行四边形．
解：（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正
确选用平行四边形的判定方法是解题的关键．
23．（1）证明见分析；（2） cm
【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，
由勾股定理求得答案．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴ （ASA）；
（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴ cm,
设AE=xcm，
∴EP=xcm，
由 知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中， ,
即 ，
解得， ，
∴BC=BG+GC= （cm）．
【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的
性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）利用SAS可以直接证明 ；
（2）由 可得 ，由内错角相等，两直线平行，得出 ，结合已知条件 即可证明四边形 为平行四边形．
解：（1）证明：∵ 与 是对顶角，
∴ ，
在 与 中，
，
∴
（2）证明：由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在 的延长线上，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌
握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键．
