文档内容
专题18 一次函数与代数综合（图像变换、与方程综合、与不等式综合）
第一部分 知识导航及方法指引
考点一：一次函数 图像的变换及特殊位置关系：
1．平移：上加下减，左加右减；
2．对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数；
3．关于原点对称：x和y值都变成相反数．
4．三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点），进行相应变化后，再确定解析式．
5．特殊位置关系：
（1）若两直线平行：k（斜率）相等（b值不等）．
（2）若两直线垂直：两直线k（斜率）互为负倒数，即 ．
考点二：一次函数和方程（组）综合
解一元一次方程
一次函数 确定直线
与 轴交点的横坐标
当 时，求 的值
解二元一次方程组
求一次函数 两条直线
与 图 象 的 与 相交
交点坐标
考点三：一次函数和不等式综合
解一元一次不等式
一次函数 当 时，直线上的
求当 或 时 点在 轴上方 时，
或
的取值范围 点在 轴下方
解一元一次不等式 以交点为界限，直线
一次函数 与
位于直线 上方的
， 求 当
那部分
时 的取值范围
第二部分 典例剖析及变式训练
考点一：一次函数图像的变换
【典例1】（2024•海南区一模）将直线l ：y＝ax﹣2（a≠0）向上平移1个单位长度后得到直线l ，将直
1 2
线l 向左平移1个单位长度后得到直线l ，若直线l 和直线l 恰好重合，则a的值为（ ）
1 3 2 3
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．﹣3
【思路引领】根据函数图象向上平移，则解析式中的b的值为加；向左平移，则解析式中的x值为加，即可求出a的值．
【解答】解：∵y＝ax﹣2（a≠0）向上平移1个单位长度后得到直线l ，
2
∴l 解析式为：y＝ax﹣2+1＝ax﹣1；
2
又∵直线l 向左平移1个单位长度后得到直线l ，
1 3
∴l 解析式为：y＝a（x+1）﹣2＝ax+a﹣2，
3
∴ax﹣1＝ax+a﹣2，
解得a＝1，
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数与几何变换，解题的关键是根据函数图象向上移为加、向左平移为加
的方法解答．
【教师备课提示】这道题主要考查一次函数的平移规律：上加下减，左加右减．规律可以记不住，但是一
定要让学生掌握本质，通过寻找特殊点（一般是与坐标轴交点）变换后的点，运用两点
式或点斜式来确定直线的解析式。
【变式训练】
1
1．（2024•临潼区一模）在平面直角坐标系中，将直线y=− x+2沿x轴向左平移5个单位长度后，得到
2
一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
1 1
A．( ，0) B．（0，﹣3） C．(0，− ) D．（0，7）
2 2
【思路引领】直接根据“左加右减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把 y＝0代入所得的解析式
解答即可．
1 1 1 1
【解答】解：将直线y=− x+2沿y轴向左平移5个单位后，得到y=− （x+5）+2=− x− ，
2 2 2 2
1 1 1
把x＝0代入y=− x− 得，y=− ，
2 2 2
解得x＝﹣1，
1
所以该直线与x轴的交点坐标是（0，− ），
2
故选：C．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．（2024•碑林区二模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝mx﹣2的图象向右平移2个单位长度后经
过原点，则一次函数y＝x+m的图象不经过第（ ）象限．
A．﹣ B．二 C．三 D．四【思路引领】由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y＝m（x﹣2）﹣2，将（0，0）代入上式
得：0＝m（﹣2）﹣2，解得：m＝﹣1，即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y＝m（x﹣2）﹣2，
将（0，0）代入上式得：0＝m（﹣2）﹣2，
解得：m＝﹣1，
即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1，
故该函数不过第二象限，
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数与平移，熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键．
3．（2024•雁塔区三模）在平面直角坐标系中，若将一次函数 y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，
得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1
【思路引领】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣2，然后把原点的坐标代入
求值即可．
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣2，
把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣2，
解得m＝﹣4．
故选：A．
【总结提升】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函
数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
4．（2024•碑林区二模）将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位，若平移后一次函数经过点（﹣6，
a），则a的值为（ ）
A．13 B．7 C．﹣8 D．﹣11
【思路引领】求出将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位后解析式y＝2x+1，再把（﹣6，a）代入
即可得到a的值．
【解答】解：将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位后解析式为y＝2x﹣2+3＝2x+1，
把（﹣6，a）代入y＝2x+1得：
a＝2×（﹣6）+1＝﹣11；
故选：D．
【总结提升】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律．
典例2（2024•子洲县二模）在平面直角坐标系中，直线l ：y＝mx+m2（m是不等于0的常数）与x轴交于
1点A，与y轴交于点B（0，9），若直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，则△ABA′的
2 1 2
面积是（ ）
A．18 B．27 C．54 D．81
【思路引领】利用l ：y=mx+m2 与y轴交于点B（0，9），算出m的值，得到直线解析式，算出l 与
1 1
x轴的交点A，再根据直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，得到点A′的坐标，最后利
2 1 2
用三角形面积公式求解，即可解题．
【解答】解：∵l ：y=mx+m2 与y轴交于点B（0，9），
1
∴m2＝9，
解得m＝±3，
当m＝3时，直线l ：y＝3x+9，
1
当y＝0时，x＝﹣3，如图1，
∴A（﹣3，0），
∵直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，
2 1 2
∴A′（3，0），
1 1
∴△ABA′的面积是 AA′⋅y = ×6×9=27，
2 b 2
当m＝﹣3时，直线l ：y＝﹣3x+9，
1当y＝0时，x＝3，如图2，
∴A（3，0），
∵直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，
2 1 2
∴A′（﹣3，0），
1 1
∴△ABA′的面积是 AA′⋅y = ×6×9=27．
2 b 2
故答案为：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换待定系数法，求一次函数解析式，一次函数的坐标特
点，以及对称的性质，解答本题的关键是熟练掌握对称的性质．
【教师备课提示】要求学生们记住一次函数中特殊情况的基本结论．平移、轴对称、及中心对称变换的通
用解法：找两个点（如与坐标轴的两个交点），也相应变化后，确定解析式．最后，学
会点关于直线对称的求解方法（点斜式或两点式，垂直+中点）．
变式训练
1．（2023 秋•西湖区期末）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）与 y＝﹣x+2 的图象关于 y 轴对称，则 k＝
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引领】由直线y＝﹣x+2，知与x轴交于（2，0），与y轴交于（0，2），根据轴对称性质，直线
y＝kx+b经过点（﹣2，0），（0，2），建立二元一次方程组求解．
【解答】解：直线y＝﹣x+2，x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝2；
∴直线y＝﹣x+2与x轴交于（2，0），与y轴交于（0，2）．
∴直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），（0，2）．
{−2k+b=0)
∴ ，
b=2
解得k＝1．
故选：A．
【总结提升】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据轴对称的性质求点的坐标是解题的关键．
2．（2024•韩城市模拟）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，
则一次函数y＝kx+b的表达式为（ ）
1 1
A．y=− x+1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．y= x+1
2 2
【思路引领】直接根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出答案．
【解答】解：一次函数y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于y轴对称的一次函数的表达式为：y＝2
（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知点关于y轴对称的特点是解题的关键．
2
3．（2023秋•宝应县期末）如图，直线y=− x+4交x轴、y轴于点A、B，点P在第一象限内，且纵坐
3
13
标为4．若点P关于直线AB的对称点P′恰好落在x轴的正半轴上，则点P的横坐标为 ．
3
【思路引领】根据解析式可得OA＝6，OB＝4，再证明△BPQ≌△AP′Q（ASA），BP＝AP′，设P
（m，4），则BP＝m，则BP＝BP′＝AP′＝m，利用勾股定理建立方程解出m值即可．
【解答】解：如图，连接PA、PB、PP′、BP′，
2
∵直线AB的解析式为y=− x+4，
3
∴A（6，0），B（0，4），
∴OA＝6，OB＝4，
∵点P与点P′关于直线AB对称，
∴PQ＝P′Q，且PP′⊥AB，
∴BP＝BP′
∵点P在第一象限，且纵坐标为4，
∴BP∥x轴，∴∠BPQ＝∠AP′Q
又∵PQ＝P′Q，∠BQP＝∠AQP′，
∴△BPQ≌△AP′Q（ASA），
∴BP＝AP′，
设P（m，4），则BP＝m，
∴BP＝BP′＝AP′＝m，
∴OP′＝OA﹣AP′＝6﹣m，
在Rt△OBP′中，OB2+OP′2＝BP′2，
即：42+（6﹣m）2＝m2，
13
解得m= ，
3
13
故答案为： ．
3
【总结提升】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，勾股定理，线段的垂直平分线性质，
熟练掌相关知识并灵活应用是关键．
4．直线y＝x+2关于点（0，1）对称的直线的解析式为 y ＝ x ．
【思路引领】求出直线y＝x+2与坐标轴的交点，再求出两个交点关于点（0，1）的对称点的坐标，然
后利用待定系数法求解即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝2，
令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣2，
所以，直线y＝x+2与坐标轴的交点坐标为（0，2），（﹣2，0），
两交点关于点（0，1）的对称点为（0，0），（2，2），
设对称直线解析式为y＝kx，
则2k＝2，
解得k＝1，
所以，对称直线的解析式为y＝x．故答案为：y＝x．
【总结提升】本题考查了一次函数与几何变换，利用直线上点的变化确定直线解析式的变化求解更加简
便，难点在于求点关于点的对称点的坐标．
5．直线y＝﹣2x﹣4关于原点对称的直线解析式为 y ＝﹣ 2 x + 4 ．
【思路引领】若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k值不变；与y轴的交点关于原点对称
即b值互为相反数．
【解答】解：直线y＝﹣2x﹣4关于原点对称的解析式为y＝﹣2x+4．
故答案为：y＝﹣2x+4．
【总结提升】此题主要考查了一次函数得几何变换，关键是利用数形结合来分析此类型的题，根据图形，
发现k和b值之间的关系．
6．（2023秋•广陵区期末）如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l 的表达式为 y ＝ 2 x ；
1
1
（2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l 的表达式为 y= x +2 ；
2 2
（3）点P在直线l上，若S△OAP ＝2S△OBP ，求P点坐标．
【思路引领】（1）利用平移的性质即可得出结论；
（2）先得到原直线上的两个点的坐标，进而得到这两点关于y＝﹣x对称的点的坐标，代入直线解析式
求解即可；
1 1
（3）设P的坐标为（x，2x+4），由S△OAP ＝2S△OBP ，得到
2
OA•|2x+4|＝2×
2
OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，
2
解得x=− 或2，即可求得P的坐标．
3
【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l 的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y
2
＝2x，
故答案为y＝2x；
（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线l：y＝2x+4上，这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），
设直线l 的解析式为y＝kx+b，
1
{−4k+b=0) { k= 1 )
∴ ，解得 2 ，
b=2
b=2
1
∴直线l 的解析式为：y= x+2，
1 2
1
故答案为y= x+2；
2
（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
设P的坐标为（x，2x+4），
∵S△OAP ＝2S△OBP ，
1 1
∴ OA•|2x+4|＝2× OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，
2 2
2
解得x=− 或2，
3
2 8
∴P（− ， ）或（2，8）．
3 3
【总结提升】此题是一次函数综合题，主要考查了平移的性质，轴对称的性质性质，用方程的思想解决
问题是解本题的关键．
考点二 一次函数两直线平行或垂直
【典例3】（2023秋•兰州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且
经过点A，则一次函数y＝kx+b的解析式为 y ＝ 2 x ﹣ 4 ．
【思路引领】根据两条直线相交或平行问题由一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行
得到k＝2，然后把点A（1，﹣2）代入一次函数解析式可求出b的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，∴k＝2，
∴y＝2x+b，
把点A（1，﹣2）代入y＝2x+b得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4，
所以一次函数y＝kx+b的解析式为：y＝2x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣4．
【总结提升】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线 y＝k x+b 与直线y＝k x+b 平行，则k ＝
1 1 2 2 1
k ；若直线y＝k x+b 与直线y＝k x+b 相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
2 1 1 2 2
【变式训练】
1．（2023•鄂州模拟）如图，A（0，1），M（3，2），N（5，5）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个
单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之平行移动，设移动时间为t秒，当M，N
位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（ ）
A．3＜t＜6 B．4＜t＜9 C．3＜t＜7 D．❑√5＜t＜7
【思路引领】先找出两个临界位置：①直线l经过点M，②直线l经过点N，再分别求出此时t的值，
由此即可得出答案．
【解答】解：由题意，有以下两个临界位置：
①直线l经过点M（3，2），
将M（3，2）代入直线l的解析式得：﹣3+b＝2，解得b＝5，
则此时直线l的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5，即直线l与y轴的交点为（0，5），
因为点A的坐标为A（0，1），
5−1
所以此时动点P移动时间为t= =4（秒）；
1
②直线l经过点N（5，5），
将N（5，5）代入直线l的解析式得：﹣5+b＝5，解得b＝10，则此时直线l的解析式为y＝﹣x+10，
当x＝0时，y＝10，即直线l与y轴的交点为（0，10），
10−1
则此时动点P移动时间为t= =9（秒）；
1
因此，当点M，N分别位于直线l的异侧时，4＜t＜9，
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数的应用，依据题意，正确找出两个临界位置是解题关键．
2．（2023春•石景山区期末）请写出一个图象平行于直线 y＝﹣5x，且过第一、二、四象限的一次函数的
表达式 y ＝﹣ 5 x + 3 （答案不唯一） ．
【思路引领】设一次函数解析式为y＝kx+b，根据图象图象平行于直线y＝﹣5x，得k＝﹣5，根据经过
第一、二、四象限的一次函数，得k＜0，b＞0，代入符合条件的数即可．
【解答】解：设一次函数为y＝kx+b，
∵图象平行于直线y＝﹣5x，
∴k＝﹣5，
∵图象经过第一、二、四象限的一次函数，
∴b＞0，
∴y＝﹣5x+3；
故答案为：y＝﹣5x+3（答案不唯一）．
【总结提升】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函
数的性质，由题意可以得到k的值，b的正负情况．
3
3．（2024•碑林区自主招生）平面直角坐标系中，已知直线AB：y=− x+3，过A作AC垂直于AB，并
4
使AC＝AB，求直线BC的解析式．
【思路引领】作CD⊥x轴于D，通过证得△OAB≌△DCA（AAS），求得C点的坐标，然后利用待定系
数法确定直线BC的解析式．【解答】解：作CD⊥x轴于D，
3
∵直线AB：y=− x+3，
4
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∵AC⊥AB，
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
在△OAB与△DCA中，
{
∠CAD=∠OBA
)
∠AOB=∠CDA=90° ，
AB=CA
∴△OAB≌△DCA（AAS），
∴AD＝OB＝3，CD＝OA＝4，
∴OD＝4﹣3＝1，
∴C（1，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{ b=3 )
把B（0，3）、C（1，﹣4）代入得 ，
k+b=−4
{k=−7)
解得 ，
b=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣7x+3．
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等
的判定和性质，求得点C的坐标是解题的关键．
4．（2023春•荣成市期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则点C的坐标为（ ）
3 4 4
A．（0，1） B．(0， ) C．(0， ) D．(0， )
4 3 5
【思路引领】由一次函数表达式，可求出A，B两点的坐标，再由点C在AB垂直平分线上得出AC＝
BC，最后在Rt△AOC中用勾股定理解决问题．
【解答】解：将x＝0代入y＝﹣2x+2得，y＝2，则B（0，2）．
将y＝0代入y＝﹣2x+2得，x＝1，则A（1，0）．
所以OA＝1，OB＝2．
连接AC，
因为点C在AB的垂直平分线上，
所以AC＝BC．
则AC＝BC＝2﹣OC．
在Rt△AOC中，
OC2+12＝（2﹣OC）2，
3
解得OC= ．
4
3
所以点C坐标为（0， ）．
4
故选：B．【总结提升】本题考查一次函数图象上点的特征以及线段垂直平分线的性质，利用 BC＝AC及勾股定理
建立方程是解决问题的关键．
考点三 一次函数与方程（组）
【典例3】（2023秋•峡江县期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x
的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
【思路引领】根据题意和函数图象中的数据，可以得到方程x+5＝ax+b的解，本题得以解决．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
【总结提升】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
【变式训练】
1．（2023秋•岱岳区期末）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0），x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
那么方程ax+b＝0的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
【思路引领】方程ax+b＝0的解为y＝0时函数y＝ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解．
【解答】解：根据图表可得：当x＝2时，y＝0；
因而方程ax+b＝0的解是x＝1．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：方程 ax+b＝0的解是y＝0时函数y＝
ax+b的x的值．2．（2023秋•沂源县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点
（0，3），关于x的方程kx+b＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝0 D．不能确定
【思路引领】根据一次函数与x轴交点坐标可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（2，0），
∴当y＝0时，x＝2，即kx+b＝0时，x＝2，
∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2．
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
3．（2022秋•运城期末）已知直线 l ：y＝kx+b与直线l ：y＝﹣2x+4交于点C（m，2），则方程组
1 2
{ y=kx+b )
的解是（ ）
y=−2x+4
{x=1) {x=−1) {x=2) { x=2 )
A． B． C． D．
y=2 y=2 y=1 y=−1
【思路引领】把C（m，2）代入y＝﹣2x+4求出m得到C点坐标，利用方程组的解就是两个相应的一
次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：∵点C（m，2）在直线l ：y＝﹣2x+4上，
2
∴2＝﹣2m+4，解得m＝1，
∴点C的坐标为（1，2），
{ y=kx+b ) {x=1)
∴方程组 的解为 ．
y=−2x+4 y=2
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成
立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两
个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．4．（2023秋•碑林区期末）若关于x的方程2x+b＝0的解是x＝1，则直线y＝2x+b一定经过点 （ 1 ，
0 ） ．
【思路引领】根据方程可知当x＝1，y＝0，从而可判断直线y＝2x+b经过点（1，0）．
【解答】解：由方程的解可知：当x＝1时，2x+b＝0，即当x＝1，y＝0，
∴直线y＝2x+b的图象一定经过点（1，0），
故答案为：（1，0）．
【总结提升】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系
是解题的关键．
{ x+ y=2 ) 3
5．（2022秋•太平区期末）若方程组 没有解，则一次函数y＝2﹣x与y= −x的图象必定（
2x+2y=3 2
）
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
【思路引领】根据方程组无解得出两函数图象必定平行，进而得出答案．
{ x+ y=2 )
【解答】解：∵方程组 没有解，
2x+2y=3
3
∴一次函数y＝2﹣x与y= −x的图象没有交点，
2
3
∴一次函数y＝2﹣x与y= −x的图象必定平行．
2
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），利用方程组没有解得出两函数图象关系
是解题关键．
6．（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y
{x+ y−4=0，)
的方程组 的解为（ ）
2x−y+m=0
{x=−1，) {x=1，) {x=3，) {x=9，)
A． B． C． D．
y=5 y=3 y=1 y=−5
【思路引领】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），{x+ y−4=0，) {x=3)
∴关于x，y的方程组 的解为 ，
2x−y+m=0 y=1
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
7．（2023秋•萧县期末）已知一次函数y＝kx﹣2k+1（k为常数，且k≠0），无论k取何值，该函数的图象
总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．（0，1） B．（2，1） C．（1，0） D．（1，2）
【思路引领】先将一次函数解析式变形为y＝（x﹣2）k+1，即可确定定点坐标．
【解答】解：y＝kx﹣2k+1＝（x﹣2）k+1，
当x＝2时，y＝1，
∴无论k取何值，该函数的图象总经过定点（2，1），
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将一次函数变形为y＝（x﹣2）k+1是解题的
关键．
考点四 一次函数一次不等式（组）
【典例4】（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．
（1）该函数图象经过定点 （﹣ 1 ， 3 ） ．
（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是 0 ≤ k ＜ 3 ．
【思路引领】（1）根据“y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x”来求解；
（2）由一次函数不经过第三象限可得到关于k的不等式组，则可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，
∴该函数过定点（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
（2）∵一次函数y＝（k﹣3）x+k的图象不经过第三象限，
{k−3＜0)
∴ ，
k≥0
解得0≤k＜3，
故答案为：0≤k＜3．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，解答此题的关键
是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解．
【变式训练】
1．（2024•凌河区一模）如图是一次函数y ＝kx+b与y ＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；
1 2③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引领】根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对④进
行判断．
【解答】解：∵一次函数y ＝kx+b经过第一、二、四象限，
1
∴k＜0，b＞0，所以①③正确；
∵直线y ＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，
2
∴a＜0，所以②错误；
∵一次函数y ＝kx+b与y ＝x+a的图象的交点的横坐标为3，
1 2
∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确．
综上所述，错误的个数是1．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上
（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2024•沈阳模拟）如图，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点（﹣3，0），则不等式x+m＜0的解集
为（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3
【思路引领】根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，当x＜﹣3时，y＜0，即可求出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点（﹣3，0），且y随x的增大而增大，
当x＜﹣3时，y＜0，即x+m＜0，∴不等式x+m＜0的解为x＜﹣3．
故选：B．
【总结提升】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答
本题的关键．
3．（2024•雁塔区二模）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解
集是（ ）
A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1
【思路引领】根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b，
结合一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），得到一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过
点（3，0），根据不等式写出解集即可．
【解答】解：根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b，
∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），
∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过点（3，0），
∵k＜0，
∴不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是x＜3，
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（﹣1，0）代入解析式求得k与b的关系是
解题的关键．
2
4．（2023秋•固镇县期末）如图，直线y= x+b和y＝kx+3分别与x轴交于点A（﹣3，0），点B（2，
3
{2
x+b＜0)
0），则不等式组 3 的解集为（ ）
kx+3＞0
A．x＞2 B．x＜﹣3 C．x＜﹣3或x＞2 D．﹣3＜x＜2
【思路引领】把A（﹣3，0），点B（2，0）代入不等式组，依据图象直接得出答案即可．
2
【解答】解：∵直线y= x+b和y＝kx+3分别与x轴交于点A（﹣3，0），点B（2，0），
3{2
x+b＜0)
∴ 3 的解集为x＜﹣3，
kx+3＞0
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与x轴的交点
坐标及直线的位置确定不等式组的解集．
5．（2024•陕西二模）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则k+b
的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
【思路引领】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝3，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
{ b=−1 )
，
2k+b=3
{ k=2 )
解得： ，
b=−1
∴k+b＝2+（﹣1）＝1；
当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣1，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
{ b=3 )
，
2k+b=−1
{k=−2)
解得： ，
b=3
∴k+b＝（﹣2）+3＝1，
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是分两种情况来讨论．
6．（2024•大庆一模）已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜x
1 1 2 2 1 2
时，有y ＜y ，那么m的取值范围是（ ）
1 2
1 1
A．m＜9 B．m＜ C．m＞0 D．m＞
9 9
【思路引领】根据题意得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵当x ＜x 时，有y ＜y ，
1 2 1 2
∴9m﹣1＞0，
1
解得m＞ ．
9
故选：D．
【总结提升】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的
关键．
7．（2023秋•福田区期末）已知A（x ，y ），B（x ，y ）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，
1 1 2 2
当x ＜x 时，y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
【思路引领】由“当x ＜x 时，y ＜y ”，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m
1 2 1 2
﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵当x ＜x 时，y ＜y ，
1 2 1 2
∴y随x的增大而增大，
∴m﹣1＞0，
解得：m＞1，
∴m的取值范围是m＞1．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减
小”是解题的关键．
8．（2023秋•裕安区期中）对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min
{ a(a≤−1) )
{−1，2，a}= ．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为 1 ．
−1(a＞−1)【思路引领】根据题意可知min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为直线y＝2x+1与y＝2﹣x交点的纵坐标，
据此可得出结论．
{y=2x+1)
【解答】解：由题意得， ，
y=2−x
{x=1)
解得 ，
y=1
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为1．
故答案为：1．
【总结提升】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出 min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为直线y
＝2x+1与y＝2﹣x交点的纵坐标是解题的关键．
9．（2024春•碑林区月考）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 y＝k x+b 和y＝kx+b的图象，分别与x
1 1
轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回
答下列问题：
（1）关于x的方程k x+b ＝0的解是 x ＝ 1 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x ＞ 2 ；
1 1
{ kx+b＞0 )
（2）直接写出关于x的不等式组 解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 2 ；
k x+b ＞0
1 1
（3）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式k x+b ＞kx+b的解集是 x ＞ 1 ．
1 1
【思路引领】（1）利用直线与x轴的交点即为y＝0时，对应的x的值，进而得出答案；（2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可得出答案；
（3）利用图象即可求出答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k x+b 和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、点B
1 1
（2，0），
∴关于x的方程k x+b ＝0的解是x＝1，
1 1
关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞2；
故答案为：x＞2．
{ kx+b＞0 )
（2）根据图象可得关于x的不等式组 解集为﹣1＜x＜2；
k x+b ＞0
1 1
故答案为：﹣1＜x＜2．
（3）∵点C（1，3），
∴结合图象可知，不等式k x+b ＞kx+b的解集是x＞1．
1 1
故答案为：x＞1．
【总结提升】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解
题的关键．
1
9．（2023秋•庐阳区期末）已知一次函数y=− x+b经过点B（0，1），与x轴交于点A．
2
（1）求b的值和点A的坐标；
（2）画出此函数的图象；
1
（3）观察图象，当−1＜− x+b＜1时，x的取值范围是 0 ＜ x ＜ 4 ．
2
【思路引领】（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出b的值，从而求出一次函数的解
析式，令y＝0时，得出x的值即可得出点A的坐标；（2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线AB即可；
（3）根据图象，即可确定x的取值范围．
1
【解答】解：（1）∵一次函数y=− x+b经过点B（0，1），
2
∴b＝1．
1
∵当y＝0时，− x+1＝0，
2
解得x＝2．
∴A（2，0）．
（2）由（1）知，A（2，0），B（0，1），
画图如下：
直线AB即为所求；
1
（3）由图知，当−1＜− x+b＜1时，x的取值范围是0＜x＜4．
2
故答案为：0＜x＜4．
【总结提升】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解
题的关键．
第三部分 专题提优训练
1．（2024•陕西模拟）将一次函数y＝﹣x﹣3的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点（﹣2，6），
则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【思路引领】先求出函数平移后的解析式，再把点（﹣2，6）代入求出m的值即可．
【解答】解：∵将一次函数y＝﹣x﹣3的图象沿y轴向上平移m个单位长度，∴平移后的解析式为y＝﹣x﹣3+m．
∵平移后经过点（﹣2，6），
∴2﹣3+m＝6．
解得m＝7．
故选：A．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
2．（2024•灞桥区二模）已知直线n：y＝2x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、点B，将直线n绕点B逆时针
旋转90°得到新的直线m，则直线m与x轴的交点坐标是（ ）
3 3
A．（ ，0） B．（﹣6，0） C．（6，0） D．（− ，0）
4 4
3 1
【思路引领】设直线m交x轴于A'，求出A（ ，0），B（0，﹣3）；可得tan∠ABO= ，根据将直线
2 2
1 3 1
n绕点B逆时针旋转90°得到新的直线m，即可得tan∠OA'B= ，故 = ，可得A'（﹣6，0）．
2 OA′ 2
【解答】解：设直线m交x轴于A'，如图：
3
在y＝2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x= ，
2
3
∴A（ ，0），B（0，﹣3）；
2
3
∴OA= ，OB＝3，
2
1
∴tan∠ABO= ，
2∵将直线n绕点B逆时针旋转90°得到新的直线m，
∴∠ABO＝90°﹣∠A'BO＝∠OA'B，
1
∴tan∠OA'B= ，
2
OB 1
∴ = ，
OA′ 2
3 1
∴ = ，
OA′ 2
∴OA'＝6，
∴A'（﹣6，0），
∴直线m与x轴的交点坐标为（﹣6，0）；
故选：B．
【总结提升】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是画出图形，掌握函数图象上点坐标的特
征和锐角三角函数的定义．
3．（2024•榆阳区一模）在平面直角坐标系中，将直线 y＝2x+b沿x轴向左平移1个单位后恰好经过原点，
则b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【思路引领】根据一次函数过原点和平移法则解答本题即可．
【解答】解：将直线y＝2x+b沿x轴向左平移1个单位后的解析式为：y＝2（x+1）+b＝2x+2+b，
∵平移后的图象经过原点，
∴2+b＝0，
解得：b＝﹣2．
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握过原点直线解析式的特征是解答本题的关
键．
4．（2023秋•莱州市期末）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4
【思路引领】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位，
那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝2x+1﹣5，即y＝2x﹣4．
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．5．（2023秋•东平县期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，①函数的图象不经过第三象限，②函数的图象与x
轴的交点坐标是（2，0），③函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象，④若两点A（x ，
1
y ），B（x ，y ）在该函数图象上，且x ＜x ，则y ＜y ．以上结论，正确的个数为（ ）
1 2 2 1 2 1 2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路引领】根据一次函数的性质逐项分析判断正误即可．
【解答】解：①一次函数y＝﹣2x+4，函数的图象不经过第三象限，故①正确；
②一次函数y＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故②正确；
③一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象，故③正确；
④一次函数y＝﹣2x+4中k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，x ＜x ，则y ＞y ，故④错误．
1 2 1 2
正确的个数有三个，
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．
1
6．（2023秋•宿豫区期末）将y= x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象
2
的对应的函数表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y=− x−2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y= x−2
2 2 2 2
【思路引领】利用平移规律得出平移后关系式，再利用关于x轴对称的性质得出答案．
1 1
【解答】解：将y= x的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得的函数是y= x+2，
2 2
1 1
将该函数的图象沿x轴翻折后所得的函数关系式﹣y= x+2，即y=− x﹣2，
2 2
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移的规律以及关于x轴对称的点的
坐标特征是解题关键．
7．（2023秋•大渡口区期末）如图，一次函数y＝kx+2和y＝2x﹣1的图象相交于点P，根据图象可知关于
x的方程kx+2＝2x﹣1的解是（ ）A．x＝3 B．x＝5 C．y＝3 D．y＝5
【思路引领】由y＝2x﹣1求得交点P的横坐标，即可求得关于x的方程kx+2＝2x﹣1的解．
【解答】解：把y＝5代入y＝2x﹣1得，5＝2x﹣1，
解得x＝3，
∴点P的横坐标为3，
∴关于x的方程kx+2＝2x﹣1的解是x＝3，
故选：A．
【总结提升】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，求得交点坐
标是解题的关键．
8．（2023秋•金凤区期末）如图，已知直线y＝ax+b，则方程ax+b＝1的解x＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．4 D．0
【思路引领】观察图形可直接得出答案．
【解答】解：根据图形知，当y＝1时，x＝4，即ax+b＝1时，x＝4．
∴方程ax+b＝1的解x＝4．
故选：C．
【总结提升】此题考查一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
9．（2023秋•武侯区期末）若直线y＝ax+5与y＝2x+b的交点的坐标为（2，3），则方程ax+5＝2x+b的解
为 x ＝ 2 ．
【思路引领】根据直线y＝ax+5与y＝2x+b的交点的坐标为（2，3），即可求得方程ax+5＝2x+b的解为
x＝2．【解答】解：∵直线y＝ax+5与y＝2x+b的交点的坐标为（2，3），
∴方程ax+5＝2x+b的解为x＝2
故答案为：x＝2．
【总结提升】考查了一次函数与一元一次方程，明确一次函数与方程的关系是解题的关键．
10．（2023秋•九原区期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（1，2），则关于x的方程kx+b＝2x
的解是 x ＝ 1 ．
【思路引领】根据方程kx+b＝2x的解，即为直线y＝2x与y＝kx+b的交点的横坐标的值解答即可．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（1，2），
∴方程kx+b＝2x的解，即为直线y＝2x与y＝kx+b的交点的横坐标的值，
∴方程kx+b＝2x的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
【总结提升】本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
11．（2024•大石桥市一模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝﹣1 B．b＝2
C．y随x的增大而减小 D．当x＞2时，kx+b＜0
【思路引领】直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：图象与y轴交于点（0，﹣1），故b＝﹣1，故A正确，B错误；
图象经过第一、三、四象限，则k＞0，y随x的增大而增大，故C错误；
当x＞2时，kx+b＞0，故D错误；
故选：A．【总结提升】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
12．（2023秋•仪征市期末）若点（﹣3，m）、（2，n）都在直线y＝﹣4x+1图象上，则m与n的大小关
系是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
【思路引领】由题意k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣3＜2，即可得出
m＞n．
【解答】解：∵k＝﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣3＜2，
∴m＞n．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减
小”是解题的关键．
13．（2023秋•泗阳县期末）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点A（a，m），B（c，n），若a＞
c，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【思路引领】根据一次函数y＝kx+b（k＜0），确定函数的增减性，然后比较m与n的大小即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＜0），
∴y随x的增大而减小，
∵图象经过A（a，m），B（c，n）两点，且a＞c，
∴m＜n，
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质中的函数增减性的知识，解决本题的关键是根据函数的比例系
数确定函数的增减性，然后确定两个未知数的大小．
14．（2023秋•吉州区期末）一次函数 y ＝kx+b于y ＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，
1 2
②ab＞0；③y 随x的增大而增大；④当x＜3时，y ＜y ；⑤3k+b＝3+a其中正确的个数是（ ）
2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引领】根据一次函数y ＝kx+b，y ＝x+a的图象及性质逐一分析可得答案．
1 2
【解答】解：根据图象y ＝kx+b经过第一、二、四象限，
1
∴k＜0，b＞0，ab＜0，y 随x的增大而增大，故①③正确，②错误；
2
当x＜3时，图象y 在y 的上方，
1 2
所以：当x＜3时，y ＞y ，故④错误．
1 2
当x＝3时，y ＝y ，
1 2
∴3k+b＝3+a，故⑤正确；
所以正确的有①③⑤共3个．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系．
15．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，已知函数y ＝2x+b和y ＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这
1 2
两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
【思路引领】（1）把点P（﹣2，﹣5）分别代入函数y ＝2x+b和y ＝ax﹣3，求出a、b的值即可；
1 2（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵将点P （﹣2，﹣5）代入y ＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P
1
（﹣2，﹣5）代入y ＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1，
2
∴这两个函数的解析式分别为y ＝2x﹣1和y ＝x﹣3；
1 2
1
（2）∵在y ＝2x﹣1中，令y ＝0，得x= ，
1 1 2
1
∴A（ ，0）．
2
∵在y ＝x﹣3中，令y ＝0，得x＝3，
2 2
∴B（3，0）．
1 1 5 25
∴S△ABP =
2
AB×5 =
2
×
2
×5 =
4
．
（3）由函数图象可知，当x＜﹣2时，2x+b＜ax﹣3．
【总结提升】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答
此题的关键．
16．（2023秋•长清区期中）如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴
交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 x ＝ 2 ；
（3）求△AOB的面积．
【思路引领】（1）把点A（0，﹣4），B（3，2）代入直线y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组，求出k，b即可；
（2）先求出点C的坐标，然后根据一次函数与一元一次方程的关系，求出方程的解即可；
（3）先根据点O和点A的坐标，求出OA，然后根据点B的坐标，利用三角形的面积公式，求出答案
即可．
【解答】解：（1）把点A（0，﹣4），B（3，2）代入直线y＝kx+b得：
{ b=−4 )
，
3k+b=2
{ k=2 )
解得： ，
b=−4
∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣4；
（2）∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标y＝0，
把y＝0代入y＝2x﹣4得：
2x﹣4＝0，
2x＝4，
x＝2，
∴点C坐标为：（2，0），
∴方程kx+b＝0的解为：x＝2，
故答案为：x＝2；
（3）∵O（0，0），A（0，﹣4），
∴OA＝|﹣4﹣0|＝4，
∵B（3，2），
1
∴S = OA⋅|3|
△AOB 2
1
= ×4×3
2
＝6．
【总结提升】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系和利用待定系数法求一次函数的解析式．
17．（2023春•清原县期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝
x+y，b＝﹣y将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对
“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 （ 1 ， 3 ） 与 （ 3 ， 1 ） ；（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ﹣ 4 ；
（3）若点A的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
【思路引领】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；
（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵Q（4，﹣1），
∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，
∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），
故答案为：（1，3），（3，1）；
（2）∵点A（8，y），
∴a＝8+y，b＝﹣y，
∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），
∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，
∴8+y＝﹣y，
∴y＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）设点B（x，y），
∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），
{x+ y=−1) {−y=−1)
∴ 或 ，
−y=7 x+ y=7
{ x=6 ) {x=6)
∴ 或 ，
y=−7 y=1
∴B（6，﹣7）或（6，1）．
【总结提升】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
