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专题21.3 一元二次方程（直通中考）
【要点回顾】
一、单选题
1．（2022·青海·统考中考真题）已知关于x的方程 的一个根为 ，则实数m的值为
（ ）
A．4 B． C．3 D．
2．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程 的根，那么 的
值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
3．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）已知 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，
则实数 的值是（ ）
A．0 B．1 C．−3 D．−1
4．（2019·甘肃兰州·统考中考真题） 是关于 的一元二次方程 的解，则 （ ）
A． B． C．4 D．
5．（2012·贵州安顺·中考真题）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是
（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
6．（2017·浙江温州·中考真题）我们知道方程 的解是 ， ，现给出另一个方程
，它的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
7．（2011·新疆乌鲁木齐·中考真题）关于x的一元二次方程 的一个根为0，则实数a的值为
A． B．0 C．1 D． 或1
8．（2016·湖南衡阳·中考真题）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越
多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车
拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得
（ ）
A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
二、填空题
9．（2005·江苏南京·中考真题）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都
为1： ．
10．（2022·四川资阳·中考真题）若a是一元二次方程 的一个根，则 的值是
___________．
11．（2019·江苏南京·统考中考真题）已知x= 是关于x的方程 的一个根，则m＝
____________．
12．（2018·四川南充·中考真题）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为______．
13．（2017·山东菏泽·中考真题）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则k的值
是_______．
14．（2016·江苏泰州·中考真题）方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值
为____．
15．（2013·贵州黔西·中考真题）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是
____________．
16．（2015·甘肃兰州·中考真题）若一元二次方程 有一根为 ，则
=________
17．（2011·福建三明·中考真题）已知a、b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值等于___．
18．（2013·江苏南京·中考真题）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：
_______.三、解答题
19．（2012·甘肃兰州·中考真题）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式
的值．
20．（2012·四川资阳·中考真题）先化简，再求值： ，其中a是方程x2-x=6的根．
21．（2018·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣
8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根
22．（2022·山东泰安·统考二模）计算：先化简，再求值： ，其中x的值是一元二次方程 的解．
23．（2020·浙江杭州·模拟预测）完成下列问题：
（1）已知 ， 为实数，且 ，求 的值．
（2）若 是关于 的方程 的根，求 的值．
24．（2023·安徽滁州·校考二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺
设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．参考答案
1．B
【分析】根据方程根的定义，将 代入方程，解出m的值即可．
【详解】解：关于x的方程 的一个根为 ，
所以 ，
解得 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程
求解．
2．B
【分析】根据题意有 ，即有 ，据此即可作答．
【详解】∵m为 的根据，
∴ ，且m≠0，
∴ ，则有原式= ，
故选：B．
【点拨】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为 得到
是解答本题的关键．
3．B
【分析】把x＝ 代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的
解也称为一元二次方程的根．
4．A
【分析】先把x=1代入方程 得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【详解】解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，
2a+4b＝2（a+2b）
＝2×（－1）
＝－2.
故选A.
【点拨】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
5．B
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【详解】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．6．D
【详解】试题解析：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x =﹣1，x =﹣3．
1 2
故选D．
考点：一元二次方程的解．
7．A
【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
【详解】解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选：A．
8．A
【详解】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，
故选A．
9．如x2=0, x2-x=0
【详解】只要符合题中条件即可．
10．6
【分析】将a代入 ，即可得出 ，再把 整体代入 ，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
11．1【分析】把x＝ 代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把x＝ 代入方程得 ，
解得m＝1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
12．
【分析】由一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．
【详解】∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n= ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
是一元二次方程的解.
13．0
【分析】根据一元二次方程的定义可得出k-1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元
二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论．
【详解】解：∵方程 是一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1．
把x=0代入 ，得 ，
解得：k=1(舍去)，或k=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键．
14．-3【详解】解：2x−4=0，
解得：x=2，
把x=2代入方程x2+mx+2=0得：
4+2m+2=0，
解得：m=−3.
故答案为−3.
15．1
【分析】把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1．
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．
故答案为：1
16．2015．
【详解】试题分析：根据方程的解得定义直接将 带入方程即可求出．
将 带入 得 =2015．
考点：方程的解、等式的性质．
17．-1
【分析】欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算
即可．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴ab=-1，a+b=2，
∴（a-b）（a+b-2）+ab
=（a-b）（2-2）+ab，
=0+ab，
=-1，
故答案为:-1．
18．(x+1)2=25
【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.【详解】根据题意得：（x+1） 2 -1=24，
即：（x+1） 2 =25．
故答案为（x+1） 2 =25．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方
法.
19．
【详解】解：∵x2－2x＋1＝0，
∴x ＝x ＝1，
1 2
原式＝ ．
∴当x＝1时，原式＝ ．
20． ，
【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式
进行计算即可（本题整体代入）．
【详解】解：
∵a是方程x2－x=6的根，
∴a2－a=6．∴原式= ．
21．2（m2+m﹣1），2．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定义得出
m2+m=2，代入计算可得．
【详解】解：原式=4m2-1-（m2-2m+1）+8m3÷（-8m）
=4m2-1-m2+2m-1-m2
=2m2+2m-2
=2（m2+m-1），
∵m是方程x2+x-2=0的根，
∴m2+m-2=0，即m2+m=2，
则原式=2×（2-1）=2．
【点拨】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、整式的混合运算
顺序和运算法则、方程的解的定义．
22． ， 6
【分析】先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程变形得
出 ，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
∵ ，
∴ ，
∴原式 ；
【点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算
法则．23．（1）-15；（2）-4
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
（2）利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+4n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=-4，即为所求；
【详解】解：（1）由题意得，2x-5≥0且5-2x≥0，
解得x≥ 且x≤ ，
所以，x＝ ，y=-3，
∴2xy=-15；
（2）由题意得n2+mn+4n=0，
∵n≠0，
∴n+m+4=0，
得m+n=-4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解及二次根式有意义的条件，解题的关键是能够了解方程的解的定义，
难度不大．
24．(1)16，20； ，4n＋4
(2)存在，见解析
【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图
1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设
成立．
【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16得图 灰砖的数量为
图1白砖的数量为8=
图2白砖的数量为12=
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=
得图 白砖的数量为
故答案为：16，20； ，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为 ，灰砖数量为
∴ =
∴
∴
∴ ，或 （舍去）
故当 时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
故答案为：存在．
【点拨】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二
次方程的性质．
