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专题24.11 圆周角（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形 内接于⊙O，若 ，则 的度数是（ ）
A．75° B．105° C．110° D．115°
3．如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中，弦 相交于点P，若 ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
6．如图， 是 的外接圆， ，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．如图所示，等边 的顶点 在⊙ 上，边 、 与⊙ 分别交于点 、 ，点 是劣弧
上一点，且与 、 不重合，连接 、 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，线段 是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交
于M，N两点，作直线 ，交半圆O于点C，交 于点E，连接 ， ，若 ，则 的长是
（ ）
A． B．4 C．6 D．9．如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ， 重合），下列结论：①
；② ；③当 最长时， ；④ ，其中一定正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11． 中， ， ，则 外接圆半径长为 ．
12．如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是 上一点， ，则
．
13．如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，那么 ．14．如图， 是 的直径，弦 交 于点 ，连接 ， ．若 ，则 ．
15．如图，已知 为 的直径， ， 交 于点D， 交 于点E， ．
则 的度数等于 度．
16．一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分别交 于 、 两点，若弦
，则 的半径为 .
17．如图，在 中、三条劣弧 、 、 的长都相等，弦 与 相交于点 ，弦 与
的延长线相交于点 ，且 ，则 的度数为 ．
18．如图，在半径为3的 中，点A是劣弧 的中点，点D是优弧 上一点，且 ，则
的长度是 ．三、解答题
19．已知：如图，在 中， ，以腰 为直径作半圆O，分别交 于点D，E．
（1）求证： ．
（2）若 ，求圆弧 所对的圆心角的度数．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结CG，DG
（1）若∠A＝25°，求弧CD的度数；
（2）求证：∠DGC＝2∠BAC；
（3）若⊙O的半径为5，BE＝2，求弦AC的长．21．如图， 是 的直径，点 、 是 上的点，且OD∥BC， 分别与 、 相交于点 、
．
（1）求证：点 为 的中点；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）若 的半径为2， ，点 是线段 上任意一点，试求出 的最小值．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，
AE⊥CD于点E.
（1）求证：AB=AC；
（2）若BD=18，DE=2，求CD的长.23．已知， 中， ， 是 上的点， ．
（1）如图①，求证 ；
（2）如图②，连接 ， ， ， ，若 ，求 ， 的大小．
24．如图所示，在锐角三角形ABC中，AB>AC，AD⊥BC于点D，以AD为直径的⊙0分别交AB，AC于
点E，F，连接DE，DF，
（1）求证：∠EAF+∠EDF=180°.
（2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD=BD时，连接AP，交⊙O于点G，连接DG，设
∠EDG=∠α，∠APB=∠β，那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.（在探究∠α与∠β的数量关系时，
必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答）参考答案
1．C
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【点拨】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的
两边与圆相交的角叫做圆周角．
2．B
【分析】根据圆内接四边形对角互补进行求解即可．
解：∵四边形 内接于⊙O， ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键．
3．C【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两
锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
4．B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出 ，根据圆周角定理可得 ，再根据 计算即可．
解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故选：B．
【点拨】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．A
【分析】根据三角形的外角的性质可得 ，求得 ，再根据同弧所对的圆周角
相等，即可得到答案．
解： ， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．B
【分析】过点 作 ，交 于点 ，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．
解：过点 作 ，交 于点 ，是 的外接圆， ，
，
又 ， ，
， ，
在 中， ，
， ，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．
7．C
【分析】根据等边三角形的性质可得 ，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．
解： 是等边三角形，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是
解题的关键．
8．A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得 ， ，根据圆的半径得 ，
，根据圆周角的推论得 ，根据勾股定理即可得 ．
解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
9．A
【分析】先根据圆内接四边形的性质可得 ，再根据圆周角定理可得 ，然后根
据角的和差即可得．
解： 四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
是 的直径，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
10．C
【分析】根据等边三角形的性质可得 ，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点 是
上一动点，可得 不一定等于 ，故②错误；当 最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再
由 是等边 的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得 ，故③正确；延长DA至点E，使
AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到
DE=BD，故④正确；即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，∴ ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点 是 上一动点，
∴ 不一定等于 ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当 最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵ 是等边 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴ ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴ ，故④正确；∴正确的有3个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角
形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边
三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
11．3
【分析】根据题意作出图像，利用圆周角定理求出 ，再根据等边三角形的性质求
出 的外接圆半径 ．
解：如图，设 的外接圆为 ，连接 、 ，
∵ ，
∴根据圆周角定理可知 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的外接圆半径是3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查三角形的外接圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，属于综合题型，解
题的关键是证明 是等边三角形．
12．35
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得 再根据直径所对的圆周角为直角，得
，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
解： 是 所对的圆周角，
是 的直径，
，在 中， ，
故答案为: ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理
是解本题的关键．
13．
【分析】根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解
题的关键．
14． /61度
【分析】如图，连接 ，证明 ，求出 ，可得结论．
解：如图，连接 ．
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
15．23【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出 ， ，再根据圆周角
定理得到 ，则利用互余可计算出 ，然后计算 即可．
解： ， ，
，
，
为直径，
，
，
．
故答案为：23．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
16．1
【分析】连接 、 ，由题意易得 ，则有 是等边三角形，然后问题可求解．
解：连接OB、OC，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，即 的半径为1；
故答案为1．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．
【分析】连接 ，根据弧相等，得到 ，设出 ，根据外
角的性质得出 ，进而利用三角形的内角和求出 即可解答．解：连接 ，
弧 、 、 的长相等，
，
设 ，
，
，
，
在 中， ，
解得 ，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18．
【分析】根据半径为3的 中，点A是劣弧 的中点，得 ， ， ，
则 ，根据 得 ，则 ，即
，即可得 ，即可得．
解：如图所示，∵半径为3的 中，点A是劣弧 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂经定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，
掌握这些知识点．
19．（1）证明见分析；（2）分别为40°、40°、100°
【分析】（1）连接BE，AD，利用AB是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据 是圆的直径可知 ，从而求出 ，再根
据圆周角定理求解即可；
（1）解：连接 ，
∵ 是圆的直径，
∴ ，∴ 是 的高，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ 是圆的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴由圆周角定理得： 所对的圆心角的度数是 ，
所对的圆心角的度数是 ，
所对的圆心角的度数是
【点拨】本题主要考查了圆的相关知识，掌握直径所对的圆周角是 、圆周角定理，等腰三角形的
性质等知识是解题的关键．
20．（1） ；（2）见分析；（3）
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，得 ，根据∠A=25°，即得 为50°，
即可得到 ；
（2）连接AD，根据弦CD⊥直径AB，可得∠BAC=∠BAD，即∠DAC=2∠BAC，又∠DGC=∠DAC，即
可得∠DGC=2∠BAC；
（3）连接OC，由⊙O的半径为5，BE=2，得OC=5，OE=3，AE=8，根据CD⊥AB，得CE2=16，在Rt ACE中，即可得AC=4
△
解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ ，
∵∠A=25°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：连接AD，如图：
∵弦CD⊥直径AB，
∴ ，
∴∠BAC=∠BAD，
∴∠DAC=2∠BAC，
又∵∠DGC=∠DAC，
∴∠DGC=2∠BAC；
（3）连接OC，如图：
∵⊙O的半径为5，BE=2，∴OC=5，OE=OB-BE=3，AE=AB-BE=8，
∵CD⊥AB，
∴CE2=OC2-OE2=52-32=16，
在Rt ACE中，AE2+CE2=AC2，
△
∴ ．
【点拨】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、圆周角定理等圆的
性质及熟练运用勾股定理．
21．（1）见分析；（2）DF=2；（3） 的最小值为
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为
的中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝ BC＝3，然后计算OD−OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点 ， D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时
PC＋PD的值最小，再计算出∠DO ＝120°，作OH⊥D 于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含
30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值．
解：（1）证明： 是 的直径，
，
，
，
，
，
即点 为 的中点．
（2）解： ，
，
而 ，
为 的中位线，
，．
（3）解：作 点关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图，
，
，
此时 的值最小，
，
，
，
点 和点 关于 对称，
，
，
作 于 ，则 ， ，
在 中， ，
，
，
的最小值为 ．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了
垂径定理．
22．（1）证明如下；（2）
【分析】（1）根据 平分 ，得 ，根据圆内接四边形的性质，得
，平角的性质，等量代换，得 ，根据同弧所对的圆周角相等，得
，再根据等角对等边，即可证明 ；
（2）过点 作 于点 ，得 ，根据 平分 ，得 ，再根据， 是公共边，得 ，得到 ， ；又根据 ，得
，得 ；最后根据 ， ，即可求出 的值．
解：（1）∵ 平分
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴ ．
（2）过点 作 于点
∴
∵ 平分
∴
∵
∴
又∵ 是公共边
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∵
∴ ．
【点拨】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等．
23．（1）见分析；（2） ；
【分析】（1）利用垂径定理证明 ，再根据 即可证明 ；
（2）先利用圆的内接四边形的性质求出 的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即
可求出 和 的大小．
解：（1） 中， ，
．
，
．
（2） 四边形 是圆内接四边形，
．
．
中， ，
．
．
，
．
【点拨】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．
24．（1）见分析；（2） ，证明见分析.
【分析】（1）由直径对的圆周角是直角和四边形的内角和是360度可证得∠EAF+∠EDF=180°；
（2）证得△ABD≌△APD后，可得到∠EAG+2∠β=180°，再由（1）可得∠α=2∠β．
解：（1）证明：∵AD是⊙O的直径
∴∠AED=∠AFD=90°
∵∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°
∴∠EAF+∠EDF=180°（2）解：
证明：∵DP=BD，AD⊥BC
∴AB=AP，∴∠B=∠APB=∠β
由结论（1）可知∠BAP+∠EDG=180°
∵∠BAP+∠B∠APB=180°
∴∠BAP=180°-2∠β
∴180°-2∠β+∠ =180°
∴
【点拨】本题考查圆周角定理和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和三角形内角
和定理.
