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专题24.12 圆周角（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，
弧AE所对的圆周角是（ ）
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
2．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点， ，弦 于点E，弦AF交
CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则 的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
3．如图，已知AB为⊙O的弦，C为 的中点，点D在优弧 上一点，连接AD下列式子一定正
确的是（ ）
A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°
C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°
4．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
5．如图，在 中，以 为直径的 分别与 交于点F，D，点F是 的中点，连接
交于点E．若 ．连接 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
6．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为
E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
7．如图， 是 的直径，点A是 外一点，连接 交 于点 ，连接 并延长交 于点
．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 半径为 ，正方形 内接于 ，点E在 上运动，连接 作 ，垂
足为F，连接 ．则 长的最小值为（ ）A． B．1 C． D．
9．如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧
AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）
A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°
10．如图， 为直径，点 都在半圆O上，设 ， ， ，则
与x之间的函数关系为（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
11．如图，直线 经过 的圆心 ，且与 交于 两点，点 在 上，且 ，点
是直线 上的一个动点 （与圆心 不重合）， 直线 与 相交于另一点 ，如果 ，则
.12．如图，在平面直角坐标系 中，点A在 轴负半轴上，点B在 轴正半轴上，⊙D经过A，B，
O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是
13．如图，在 中， 是 的外接圆， 为弧 的中点， 为 延长线上一点．
若 ，则 度．
14．如图，线段 ，点C为平面上一动点，且 ，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋
转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为 ，E是CD边上一点，DE＝3CE，连接BE与AC相交于点M，
过点M作MN⊥BE，交AD于点N，连接BN，则点E到BN的距离为 ．16．如图1，玉带桥拱高而薄，形若玉带，弧形的线条十分流畅．如图2，桥拱 关于水面AB反射
的影子 经过弧 所在的圆心O，已知水面宽 米，则水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离
是 米，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是 的中点，则点C离水面
AB的距离是 米．
17．如图所示， 内接于 ，且圆心 在 外部， 交 于点 ．则以下结论中：
① ；② ；③ 平分 ；④ ；所有正确结论的序号是 ．
18．在平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点
D在直线AC的上方，满足 ，且 ，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积
是 ．二、解答题
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且
CF=AC．
（1）求证∶CD=AD；
（2）若AD= ，AB= ，求FD的长．
20．如图，⊙O是以△ABC的边AC为直径的外接圆，∠ACB＝54°，如图所示，D为⊙O上与点B关
于AC的对称点，F为劣弧BC上的一点，DF交AC于N点，BD交AC于M点．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若F为弧BC的中点，求 ．21．如图，AB为 的直径，CD为弦， 于点E，连接DO并延长交 于点F，连接AF交
CD于点G，连接AC，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 和GD的长．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD= AC．23．已知P是 上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不
与P，Q重合），连接AP、BP．若 ．
（1）如图1，当 ， ， 时，求 的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若
，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
24．如图1，点D为△ABC的外接圆上的一动点（点D在 上，且不与点A，C重合），∠ADB＝
∠BAC＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接CD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，记BD与AC交于点E，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接MN，若
AB＝6，求MN的最小值．参考答案
1．C
【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.
解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
【点拨】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.
2．D【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，
∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．
解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵ ，
∴∠CAB=2∠ABC，
∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=30°，
∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，
∴AH=CH=HG，
∴∠CAH=∠ACE=30°，
∵∠CAF=∠CBF，
∴∠CBF=30°，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是
本题的关键．
3．C
【分析】先利用垂径定理，由C为 的中点得到OC⊥AB，则∠A+∠AOC=90°，然后根据圆周角定理
得到∠AOC=2∠ADC，加上∠A=∠B，于是可判断C选项一定正确．
解：∵C为 的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴2∠ADC+∠A＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，∴2∠ADC+∠B＝90°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
4．A
【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活
运用相关知识成为解答本题的关键．
5．A
【分析】连接 ，先根据圆周角定理可得 ， ，再根据等腰三角形
的三线合一可得 ， ，从而可得 ，然后利用勾股定理可得 的长，由此
即可得．
解：如图，连接 ，
为 的直径，
，
点 是 的中点，
， ，
， （等腰三角形三线合一），
，，
，
又 ，
，
解得 或 （舍去），
，
故选：A．
【点拨】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理
是解题关键．
6．A
【分析】连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，根据圆内接四边形的性质得
，根据对称以及圆周角定理可得 ，由点 是 的中点可得
， ，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，， ，
直径 ，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出
是解题的关键．
7．A
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，进而可根据 ，可得
，根据圆内接四边形可得 ，根据圆周角定理即可求得 的大小．
解：如图，连接
是⊙O的直径
四边形 是 的内接四边形
故选A．
【点拨】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，直径所对的圆周角相等，直角三角形的两
锐角互余，掌握圆周角定理是解题的关键．
8．A
【分析】取 的中点K，连接 ，根据 即可解决问题．解：如图，连接 ，取 的中点K，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵正方形 的外接圆的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴CF的最小值为 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间
线段最短确定 的最小值是解决本题的关键．
9．B
【分析】如图，取 中点 ，连接 ，连接 ，由题意知 ，且
在一条直线上， ， ，知 ，根据圆周角定理，等边对
等角，三角形内角和定理等可求 ， ， ， ， ， 的值，进而求解的值．
解：如图，取 中点 ，连接 ，连接
由题意知 ，且 在一条直线上， ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选B．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的
关键在于对知识的灵活运用．
10．A
【分析】先构造 ，再求出 ，即可得到 ，即可求出 ，
在 中，求出 ，再在 中，求出 ，
即可得 ，即可得到答案．解：如图，延长 ，作 ，交 延长线于点M，连接 ，连接 ，
， ，
，
在 中，
在 中， ，
，
，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了圆的知识与勾股定理、一次函数的结合，通过圆的知识与勾股定理得到线段
之间的关系是解答此题的关键．
11．40°、20°、100°【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段 上，点P在
延长线上，点P在 的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
解：①根据题意，画出图1，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
又∵
∴
在 中，
即
整理得，
∴ ．
②当P在线段 的延长线上，如图2
在 中，把①②代入③得 则
∴
③当P在线段 的反向延长线上，如图3，
①②③④联立得
故答案为：40°、20°、100°．
【点拨】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题
的关键．
12．D（ ，1）
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则
D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2 ，所以A（−2 ，
0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°−120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，∴OB＝ AB＝2，
∴OA＝ OB＝2 ，
∴A（−2 ，0），B（0，2），
∴D点坐标为（− ，1）．
故答案为（− ，1）．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与
图形性质．
13．36°
【分析】由AB＝AC，得到 ，求得∠ABC＝∠ACB，推出∠CAD＝∠ACD，得到∠ACB＝
2∠ACD，于是得到结论；
解：∵AB＝AC，
∴ ，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵ 为弧 的中点，
∴ ，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴ ＝2 ，
∴∠ACB＝2∠ACD，
又∵∠DAE＝108°，
∴∠BCD＝108°，
∴∠ACD＝ ×108°＝36°，
∴∠CAD＝36°．
故答案是：36°．【点拨】本题考查了三角形的外接圆和圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．熟练掌握圆的内接四边
形的外角等于内对角，是解题的关键．
14．
【分析】先证明 PAM≌△QAE（SAS），再根据勾股定理得出BE的长，最后得出结论．
解：∵∠ACB=90△°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD= AB=1，
取AD的中点M，连接PM，P为AC的中点，∴PM为 ACD的中位线，
△
∴PM= CD= ，PM∥CD，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AM，连接PE，BE，
∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴∠QAC=90°，QA=AP，,
∵∠EAD=90°，
∴∠QAE=∠CAD，
∴△PAM≌△QAE（SAS），
∴QE=PM= ，
∵AB=2，AE=AD= ，
∴BE= ，
∴BQ≤BE+QE= + = ，∴BQ的最大值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，解题的关键
是正确作出辅助线．
15．
【分析】如图，设BN与AC交于点F，连接EF，根据正方形的性质可得
∠DAC=∠BAC=∠ACD=∠ACB=45°，∠BAD=90°，根据MN⊥BE可得A、B、M、N四点共圆，可得
∠MBN=∠DAC=∠ACD=45°，即可证明B、C、E、F四点共圆，可得∠BEF=∠ACB=45°，可得△BEF是等腰
直角三角形，可得EF即为点E到BN的距离，由DE＝3CE可得CE的长，利用勾股定理可得BE的长，进
而求出EF的长即可的答案．
解：如图，设BN与AC交于点F，连接EF，
∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠DAC=∠BAC=∠ACD=∠ACB=45°，∠BAD=90°，
∵MN⊥BE，
∴A、B、M、N四点共圆，
∴∠MBN=∠DAC=∠ACD=45°，
∴B、C、E、F四点共圆，
∴∠BEF=∠ACB=45°，
∴∠MBN=∠BEF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，EF即为点E到BN的距离，
∵DE＝3CE，CD=BC= ，
∴CE= ，
∴BE= ，
∴EF= = ．故答案为：
【点拨】本题考查正方形的性质、四点共圆的证明、圆周角定理、勾股定理及等腰直角三角形的判定
与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
16． /
【分析】连接OA、OP、OC，OP分别与AB、CD交于点E、N，过点C作CM⊥AB于点M，根据轴对
称的性质求得 ，根据勾股定理求得 ，根据 即可求得水面AB与该桥拱的最高点P
之间的距离，证明 是等边三角形，进而可得 根据含30度角的直角三
角形的性质，勾股定理求得 ，根据 即可求解．
解：连接OA、OP、OC，OP分别与AB、CD交于点E、N，过点C作CM⊥AB于点M，如图，
与 关于直线AB对称，点P与点O关于直线AB对称，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，所以
解得 （负值已舍）
∴ ，
∴ ，
即水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是 米，
∵
∴ 是等边三角形
∴ ，
∵点C是 的中点，
∴ ，
∴
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，弧与弦的关系，
综合运用以上知识是解题的关键．
17． /
【分析①】③根③据①在同一个圆中，同弦对应的圆周角相等，即可判断①；取交点为 ，得
，得出 ，根据根据垂径定理可得： ，即可判断②；证明出 ，即可判断③；取 的交点于 ，只能证明出
即可判断出④．
解：根据在同一个圆中，同弦对应的圆周角相等，即 ，
，故①正确；
，取交点为 ，
即 ，
为 的斜边，
，
根据垂径定理可得： ，
，故②错误；
，
，
，
，
平分 ，故③正确；
如图，取 的交点于 ，
由前面可得： ，
，
不一定能推出 ，故④错误；
故答案为：①③．
【点拨】本题考查了圆心角定理、三角形全等的判定及性质、三角形相似、角平分线，解题的关键是
掌握圆心角定理．18．2
【分析】连接OD，首先证明点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，
当点C与P重合时，点D的坐标为（2，2），再根据三角形面积公式求解即可．
解：如图，连接OD．
∵∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴A，O，D，C四点共圆，
∴∠DOC＝∠DAC＝45°，
∴点D在第一象限的角平分线上运动，
当点C与B重合时，点D与O重合，
当点C与P重合时，如图：作DE⊥y轴于E，作DF⊥x轴于F，
∴DE⊥DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠PDF＋∠ADF＝90°，
∴∠ADE＝∠PDF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，DE＝BD，
设点D的坐标为（x，y），∴DE＝x＝BD＝y，
∵A（0，−2），P（6，0），AE＝PF，
∴2＋x＝6−x，解得：x＝y＝2，
∴点D的坐标为（2，2），
∴当点C由点B运动到点P时，
线段AD扫过的面积即△OAD的面积＝ ×OA×DE＝ ×2×2＝2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，轨迹，三角形的面积等知识，解题的关键是
正确寻找点D的运动轨迹．
19．（1）见分析；；（2）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；
（2）过点C作CG AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求
解即可． ⊥
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
（2）如图，过点C作CG AF于点G，
⊥
∵AC=CF=AB=2 ，∴AG=FG，
在Rt ACG中，根据勾股定理可得：
∆ ，
在Rt DCG中，根据勾股定理可得：
∆ ，
∴ ，
由（1）知：CD=AD= ，
∴AG=AD+DG= +DG，
∴8-3= ，
解得： ，
∴AG= ，
∴FD= ，
∴FD的长为 ．
【点拨】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知
识点是解题关键．
20．（1）36°；（2） ．
【分析】（1）利用对称的性质证明BD⊥AC，所以∠DBC与∠ACB互余，即可求出∠DBC；
（2）利用等弧所对的圆周角等于圆心角的一半和三角形内角和为180°，求出∠BDF、∠OBM的度数
并证明其相等，再根据证明△BOM≌△DNM（ASA），从而得到OM=NM，即可求出 ．
解：（1）∵点B、点D关于AC对称，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC+∠ACB=90°，∵∠ACB=54°，
∴∠DBC=90°-54°=36°，
故∠DBC的度数为36°．
（2）连接OF，
∵点F是 的中点，
∴∠BOF=∠COF=2∠BDF，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠OBM=∠OBC-∠DBC=54°-36°=18°，∠BOC=180°-2×54°=72°，
∴∠BOF= ∠BOC= =36°，
∴∠BDF= = =18°，
∴∠BDF=∠OBM，
∵点B、点D关于AC对称，
∴DM=BM，
∴在△BOM和△DNM中，
∴△BOM≌△DNM，
∴NM=OM，
∴ ．
【点拨】本题考查了轴对称、圆和全等三角形，熟练利用对称点连线与对称轴垂直，圆心角与圆周角
的关系以及全等三角形的判定能有效帮助解此题．
21．（1）见详解；（2） ，【分析】（1）由平行线的性质可得 ，然后可得结论；
（2）由垂径定理和圆周角定理可求 ，可证 是等边三角形，可得
，由勾股定理可求 的长，即可求解．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
，
， ，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
， ，
，
，
，
，，
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用
这些性质解决问题是解题的关键．
22．（1） ；（2）见分析
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=90°，利用勾股定理求解即可；
（2）将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC′，证明△C′AC是等腰直角三角形，进一步求解即
可证明BC+CD= ．
（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD= BD= ，故AB的长为 ．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC′，
由旋转性质可得：△ACD △ABC′，∠CAC′=90°，CA=C′A，
∴AC′=AC，CD=BC′，∠ADC=ABC′，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD′B=180°，
又∵∠CAC′=90°，CA=C′A，
∴△C′AC是等腰直角三角形，
∴CC′= ,
∴BC+C′B= ，
∴BC+CD= ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23．（1） ；（2） ；（3） ；见分析
【分析】（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直
径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）证明 是等腰直角三角形，得出 ，根据 可得结论；
（3）连接OA、OB、OQ，由∠APQ=∠BPQ证得 ，即可证得OQ⊥AB，然后根据三角形内角
和定理证得∠NOQ=90°，即NO⊥OQ，即可证得AB∥ON．
解：（1）连接AB，如图1，
∵ ，
∴ ，
∴AB是 的直径，
∴ ，∴ 的半径为 ；
（2）连接AQ，BQ，如图2，
∵
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵ ，
∴
∴
（3） ，理由如下：连接OQ，如图3，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．（1）见分析
（2）BD＝AD+CD，理由见分析
（3）
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；
（2）把△BCD绕点B逆时针旋转至△BAM，如图1，证出△BDM是等边三角形，由等边三角形的性
质可得出结论；
（3）取BE的中点O，以O为圆心，OB的长为半径作圆，连接OM，ON，过点O作OH⊥MN于点
H，求出∠MOH＝ ∠MON＝60°，由直角三角形的性质求出BE的长，则可得出答案．
解：（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：BD＝AD+CD．
理由如下：
把△BCD绕点B逆时针旋转至△BAM，如图1，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BAM＝∠BCD，∴∠BAD+∠BAM＝180°，
∴M，A，D三点共线，
∵BD＝BM，∠D＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴BD＝DM＝MA+AD＝CD+AD；
（3）解：如图2，取BE的中点O，以O为圆心，OB的长为半径作圆，
∵ME⊥AB，NE⊥CB，
∴M，N在圆O上，
连接OM，ON，过点O作OH⊥MN于点H，
∵∠ABC＝60°，
∴∠MON＝60°×2＝120°，
∴∠MOH＝ ∠MON＝60°，
∴MO＝r＝ BE，MH＝ BE，
∴MN＝ BE，
∴当BE⊥AC时，BE最小，此时BE的最小值为 ＝3 ，
∴MN的最小值为 ＝ ．
【点拨】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，旋转的性质，等边三角形的
判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握等边三角形的判定
与性质．
