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专题24.15 点和圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】点和圆的位置关系
点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种位置关
系与点到圆心的距离(d)、圆的半径(r)之间有着紧密的联系．具体关系如下：
点在圆外， ； 点在圆上， ； 点在圆内， ；
【知识点二】圆的确定
经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
A
【知识点三】外心
1. 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，
它到三角形各顶点的距离相等. O
B C
2. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形
的
外心在三角形外部。
3. 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.
【知识点四】反证法的一般步骤
1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛
盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。
【考点一】点和圆的位置关系➽➼判断★★求半径
【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）在矩形 中， ， ．
（1）若以 为圆心，8长为半径作 ，则 、 、 与圆的位置关系是什么？
（2）若作 ，使 、 、 三点至少有一个点在 内，至少有一点在 外，则 的半径 的取
值范围是 ．
【答案】（1）点 在 内，点 在 外，点 在 上；（2）
【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较 与圆的半径之间的大小关系，即可得解；
（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．（1）解：连接 ，
， ，
，
的半径为8，
点 在 内，点 在 外，点 在 上；
（2）解： ， ， ，
又 以点 为圆心作 ，使 ， ， 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离 与圆的半径 之间的关系，判断点
与圆的位置关系，是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知 的半径为 ，A为线段 的中点．
若 为 ，则点A在 的位置关系是（）
A．A在圆内 B．A在圆内 C．A在圆内 D．无法确定
【答案】A
【分析】先计算出 的长，再比较 与圆的半径的大小，判断点 和 的位置关系．
解：∵点 是线段 的中点，且 ，
∴ ，
而 的半径为 ，
∴ 圆的半径，
∴点 在 内．
故选：A．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，正确记忆点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系是解题关键．
【变式2】（2022秋·九年级单元测试）已知点 到 上所有点的距离中，最大距离为 厘米，
最小距离为 厘米，那么 的半径长等于 厘米．
【答案】2或5
【分析】点 应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点 在圆内时，点到圆的最大距离与最
小距离的和是直径；当点 在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案．
解：如图：
当点 在圆内时，最大距离为7厘米，最小距离为 厘米，则直径是10厘米，因而半径是5厘米；
当点 在圆外时，最大距离为7厘米，最小距离为 厘米，则直径是4厘米，因而半径是2厘米．
故答案为:5或2．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
【考点二】三角形的外接圆➽➼理解➽➼求半径★★判断位置★★判断三角形形状
【例2】（2023秋·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）已知等腰三角形 中，
．
（1）用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ， ，求 的外接圆半径 ．
【答案】（1）见分析；（2） 的半径为
【分析】（1） 作边 ， 的垂直平分线，两直线交于点O，再以O为圆心， 为半径画圆即可；
（2）连接连接 交 于 ，则 垂直平分 ，先求解 ，再求解 ，再在
中，利用勾股定理建立方程求解即可．
（1）解：如图， 即为所作；（2）连接 交 于 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
即 ， ，
在 中， ，
设 的半径为r，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
即 的半径为 ．
【点拨】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的确定三角形的
外接圆的圆心是解本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）下列叙述正确的是（ ）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦 D．三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】由圆心角，弧，弦的关系定理可判断A，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断B，由
垂径定理可判断C，由三角形的外心的含义可判断D，从而可得答案．
解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故A不符合题意；
不在同一直线上的三点确定一个圆，故B不符合题意；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故C不符合题意；
三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，描述正确，故D符合题意；
故选D
【点拨】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系，圆的确定，垂径定理的推论，三角形外心的含义，熟
记基本性质与概念是解本题的关键．
【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）在 中， ，
， ，则 的外接圆的半径为 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半求出即可．
解：在 中， ， ， ，
，
∴其外接圆的直径为25，半径为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题关键是熟记直角三角形的斜边就
是外接圆直径．
【考点三】确定圆的条件
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B分别在∠DPE两边上，且 ，点C在
∠DPE平分线上．（1）连接AC，BC，求证： ；
（2）连接AB交PC于点O，若 ， ，求PO的长；
（3）若 ，且点O是 的外心，请直接写出四边形PACB的形状．
【答案】（1）证明见分析；（2） ；（3）正方形，理由见分析
【分析】（1）证明△PAC≌△PBC即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O，求得AO=3，再利用勾股定理即可得到结论；
（3）先证明 在以O为圆心，OP为半径的圆上，再证明∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°，
可得四边形 为矩形，再证明 根据正方形的判定定理即可得到结论．
解：（1）证明：∵点C在∠DPE平分线上，
∴ ，
又∵PA=PB，PC=PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS）；
（2）解：∵
∴∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O；
∵PA=6，
∴AO=3，
（3）解：如图，∵点O是△PAB的外心，
∴OA=OB=OP，而OP=OC，
在以O为圆心，OP为半径的圆上，
为圆的直径，
∴∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°，
∴四边形 为矩形，
平分
∴四边形 为正方形．
【点拨】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，圆的确定，圆周角
定理，正确的识别图形是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三
角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心
在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角
形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；
②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；
③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；
综上，真命题的个数为2个；
故选B．
【点拨】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三
角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键．
【变式2】（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【答案】（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即
为圆心．
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点拨】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
【考点四】反证法
【例4】（2023春·九年级课时练习）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全．
已知：在 中， ．求证： ．
证明：假设_____________________．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
这与_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
【答案】 ；三角形内角和定理或三角形的内角和等于 相矛盾；此假设
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
解：证明：假设
∵ ，
∴ ，
∴ ，
这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于 相矛盾．
∴此假设不成立．
∴ ，
故答案为： ；三角形内角和定理或三角形的内角和等于 相矛盾；此假设．
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假
设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从
而肯定原命题的结论正确．
【举一反三】
【变式1】（2023春·浙江杭州·八年级统考阶段练习）“求证： 的两个锐角 ， 中至
少有一个不大于 ．”用反证法证明这个命题时，应先假设（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立， ， 中至少有一个不大于
的反面是 ， ．
解：求证： 的两个锐角 ， 中至少有一个不大于 ，用反证法证明这个命题时，应先假设 ， ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意
考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一
否定．
【变式2】（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）用反证法证明“在同一平面内，已知 ，若
，则 ”，证明时可以先假设 ．
【答案】c与b不垂直
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
解：原命题“在同一平面内，已知 ，若 ，则 ”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设c与b不垂直．
故答案为：c与b不垂直．
【点拨】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时
要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定．
