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专题24.48 几何模型专题（隐形圆问题）
一、单选题
1．如图，以直角三角形 的斜边 为边在三角形 的同侧作正方形 ，正方形的对角线
， 相交于点 ，连接 ，如果 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
2．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋
转得到 ，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交 于
点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④ ACD面积的最大值为 a2；
其中正确的是（ ）（把你认为正确结论的序号都填上）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，I是Rt△ABC的内心，连接CI，AI，则△CIA外接圆
的半径为（）A． B． C． D．
4．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点， ，连接BC，M，N分别为AB，BC的
中点，则线段MN的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．3+
5．如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线
段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是 上的一个动点，连接
AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）A．1 B． ﹣2 C．2 ﹣1 D．3
7．如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ，连接 ．若 ， ，则四边形
面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上， ， ， 是弧 上的一个动点，
连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．7
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，已知点 和直线m的函数表达式为 ，动点 在A点的右边，
过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当 时，则x的
值为 ．10．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， 轴，点 在直线 上， ，点
是 轴上一动点，若 ，则点 的坐标是 ．
11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P
运动的路径长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），M为AB边上的一动点，N（0，1），连
接MN，将△ABO绕点O逆时针旋转一周，则MN的取值范围为 ．
13．已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝ ，∠BPD＝90°，则点A到BP
的距离等于 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝－ x＋3．点C是AO上一点且OC＝1，点
D在线段BO上，分别连接BC，AD交于点E，若∠BED＝45°，则OD的长是 ．
15．如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜ ）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，
D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是 ，此时折
痕EF的长为 ．
16．如图，已知点 ， ， ，动点 在线段 上，点 、 、 按逆时针顺序排
列，且 ， ，当点 从点 运动到点 时，则点 运动的路径长为 ．
17．如图，已知四边形ABCD是菱形，BC∥x轴，点B的坐标是（1， ），坐标原点O是AB的中点.
动圆⊙P的半径是 ，圆心在x轴上移动，若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则点P的横坐
标m 的取值范围是 ．
18．在边长为6的正方形ABCD中，点E是射线BC上的动点（不与B，C重合），连结AE，将 ABE
沿AE向右翻折得 AFE，连结CF和DF，若 DFC为等腰三角形，则BE的长为 ． △
△ △19．如图，已知 ，点 分别在 上，且 ，将射线 绕点 逆时针旋
转得到 ，旋转角为 ，作点 关于直线 的对称点 ，画直线 交 于
点 ，连接 ， ，有下列结论：
① ； ② 的大小随着 的变化而变化；
③当 时，四边形 为菱形； ④ 面积的最大值为 ；
其中正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上）.
三、解答题
20．如图1，⊙ 的直径 的长为16， 为半圆的中点， 为劣弧 上的一动点， 和 的延
长线交于点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立如图2的平面直角坐标系 ，则点 的坐标
为 ，设点 的坐标为 ，若 ， 是方程 的两根，求 的值．
（3）若 ，求 的值．21．我们给出定义：如果三角形存在两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的三角形为
“准互余三角形”．已知△ABC为“准互余三角形”，并且 ．
（1）如图①若 且 ，求边BC的长；
（2）如图② ，以边 为直径作 ，交 于点D，若 ，试求 的面积．
22．【问题提出】
（1）如图①，在正方形 中，点 分别在边 上，连接 ，延长 到点 ，
使 ，连接 ．若 ，则可证 __________；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ，求 面积的最小值；
【问题解决】（3）如图②， 是一条笔直的公路，村庄 离公路 的距离是5千米，现在要在公路上建两个快
递转运点 ，且 ，为了节约成本，要使得 之和最短，求 的最小
值．
23．问题提出
（1）如图，在四边形 中， ，图中已作出辅助线，请你
按照这种思路，求出四边形 的面积；
问题解决
（2）如图，等腰 是某公园的一块空地， ， ．园区管理员想要在这块
空地内修建两条观光小路 和 （小路宽度不计，F在 边上，H在 边上），将其分成三个区域
种植不同的花卉，且在 边上的点E处修建一个凉亭．根据实际需要， ， ，
并且要求四边形 的面积尽可能大．请问，是否存在满足条件的四边形 ？若存在，求四边形
的面积最大值；若不存在，请说明理由．24．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1， ，请利用圆规画出过 三点的圆．若 ，则
______．
（2）已知，如图2， 中， ．点 为 边的中点，将
沿 方向平移2个单位长度，点 的对应点分别为点 ，求四边形 的面积和 的
大小．
（3）如图3，将 边沿 方向平移 个单位至 ，是否存在这样的 ，使得直线 上有一点 ，
满足 且此时四边形 的面积最大？若存在，求出四边形 面积的最大值及平移距离 ，
若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
【分析】将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点A作 于点F，证明是等腰直角三角形，求出 ， ，证明点A、C、O、B四点共圆，得出
，证明 ，得出点 、 、 三点共线，根据勾股
定理求出 ，根据等腰直角三角形的性质得出正方形的边长为
，最后求出正方形的面积即可．
解：将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点A作 于点F，如图所示：
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵正方形的对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴点A、C、O、B四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 、 、 三点共线，
∵ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴正方形 的边长为 ，
∴正方形 的面积为 ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，
解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
2．B
【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂
直平分线的性质可作判断；
②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得
OC=OA=AD=CD，可作判断；
④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公
式计算后可作判断．
解：①∵A、C关于直线OM'对称，
∴OM'是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
故①正确；
②连接OC，
由①知：OM'是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
∴OA=OB=OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，
∵∠MON=120°，
∴∠BOE=60°，
∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACD=∠E=60°，
故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四边形OADC为菱形；
故③正确；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
当AC最大时， ACD的面积最大，
∵AC是⊙O的弦△，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD面积的最大值是： AC2= ，
故④正确，
所以本题结论正确的有：①③④
故答案为：①③④．选B【点拨】本题是圆和图形变换的综合题，考查了轴对称的性质、四点共圆的性质、等边三角形的判定、
菱形的判定、三角形面积及圆的有关性质，有难度，熟练掌握轴对称的性质是关键，是一道比较好的填空
题的压轴题．
3．C
解：分析：过I作ID⊥AC于D，设△CIA的外接圆为⊙O，连接CO，IO，AO．
由勾股定理得到AB的长．由公式直角三角形内切圆半径=（a+b-c）÷2，得到内切圆半径ID的长，
由CD=ID，得到CD的长．以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，向右为正方向，CB所在直线为y轴，
向上为正方向建立直角坐标系，则C（0，0），I（2，2）A（12，0）．设O（x，y），由OC=OI=OA，用
两点间距离公式列方程组，求解即可得到O的坐标，即可得到结论．
解：过I作ID⊥AC于D，设△CIA的外接圆为⊙O，连接CO，IO，AO．
∵∠ACB=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=13．
∵I是Rt ABC的内心，ID⊥AC，
∴ID为内△切圆半径，ID=（5+12-13）÷2=2，
∴CD=ID=2．以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，向右为正方向，CB所在直线为y轴，向上为正方
向建立直角坐标系，则C（0，0），I（2，2）A（12，0）．设O（x，y）．
∵OC=OI=OA，∴ ，
解得： ，
∴O（6，－4），
∴ CIA外接圆的半径=CO= = ．
△
故选C．点睛：本题是圆的综合题．考查了三角形的内切圆与外接圆等知识．解题的关键是建立直角坐标系，
进而用同圆的半径相等列方程求解．
4．C
【分析】由定边对等角，判断 、 、 三点共圆，由中位线的性质当 取最大值时，即 取最
大值时，根据圆内最长弦为直径即可求解．
解：由题知 、 、 三点共圆，
M，N分别为AB，BC的中点，
，
当 过圆心即 是直径时（如图所示）， 取得最大值，此时 取的最大值，
，
此时 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查了三点共圆的判定，三角形中位线性质，勾股定理，圆周角定理，圆内最长弦的判
定；能判断点 的运动轨迹，熟练掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
5．A【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆
上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边
的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE= m，根
据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论．
解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG,
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC= ∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF,
∴∠EGB=∠FGC,
在△EGB和△FGC中，
∴△EGB≌△FGC（SAS），
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE= m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，∴AD= m，
∴
故选∶A．
【点拨】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形
的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本
题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识．
6．B
【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B
共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴ ，O′E＝2，
在Rt△BCO′中， ，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝ ﹣2，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中的压轴题．
7．D
【分析】将四边形的面积转化为 ，再进行分析解答
解：由旋转得： ，
∴ ，
设四边形 面积为S，
∴ ．
由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴ ，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴ ，
∴ 最大时， 最小，
作 的外接圆 ，
易知 ．
∴ ， ．
当 为 中点时， 面积最大，
过 作 于 ，则 ．
设 ， ．
∴ ， ．∴ ．
∴ ．
故选D．
【点拨】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、
勾股定理等知识，综合性强，难度较大．
8．A
【分析】取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推
出当M、H、B共线时，BH的值最小.
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD= ，
BM= ，
∴BH的最小值为BM-MH=8-2=6．
故选：A．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9． 或【分析】先根据题意画出图形，分两种情况：①当点B在原点右边时，证明A、C、B、D四点共圆，
再根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到 是直角三角形，分别在 和 中用x
表示出 ，构造方程求解x值；②如图2，当B点在A点右边，O点左边时，可得A、C、O、D四点共圆，
根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到 ，分别在 和 中用x表示出 ，
构造方程求解x值．
解：分两种情况：
①如图，当点B在原点右边时， 中 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 中，根据勾股定理得 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴A、C、B、D四点共圆．
连接 ，则 ，又 ，
∴ ．
在 中，利用勾股定理可得 ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得 ．
如图，当B点在A点右边，O点左边时，此时 ．同理可得A、C、O、D四点共圆， ，
在 中， ，
在 中，
∴在 中， ．
∴ ，解得 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象和性质、勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内
接四边形求角度，对点 的位置分类讨论是解题的关键．
10． 或 或
【分析】先由已知得出 ， ，然后由 点的位置分类讨论，再设点 ，从而根
据勾股定理列出方程，求出每种情况下点 的坐标即可．
解：∵ 点的坐标为 ， 轴，
∴点 的纵坐标为 ，
∵点 在直线 上， ，
∴ ， ，
设点 ，则 ，
如图1，当点 在 处时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ；
如图 ，当点 在 处时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ；综上所述：点 的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，勾股定理，利用直径所对的圆周角为直角画出
图形，找到对应的点 是解题的关键．
11．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CD AC＝1，
∵ 所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OD AD ，OA＝2OD ，∴ 的长为 π；
故答案为： π．
12． ≤MN≤5
【分析】以点O为圆心，OB为半径作圆，以点O为圆心，作与AB相切的圆，可知AB上所有点扫过
的区域为两个圆组成的圆环，进而即可求解．
解：∵A（3，0），B（0，4），N（0，1），
∴OA=3，OB=4，AB= ，ON=1，
以点O为圆心，OB为半径作圆，以点O为圆心，作与AB相切的圆，此时，小圆的半径=3×4÷5=2.4，
∴AB上所有点扫过的区域为两个圆组成的圆环，延长NO交大圆于点E，ON交小圆于点F，则NE为
MN的最大值，NF为MN的最小值，NF=2.4-1=1.4，EN=1+4=5，
∴MN的取值范围是： ≤MN≤5．
故答案是： ≤MN≤5．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转
的性质，找出线段AB扫过的区域，是解题的关键．
13． 或
【分析】由题意可得点P在以D为圆心， 为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点
P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．解：∵点P满足PD＝ ，
∴点P在以D为圆心， 为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝4 ，
∵∠BPD＝90°，
∴BP＝ ＝3 ，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt AHB中，AB2＝AH2+BH2，
△
∴16＝AH2+（3 ﹣AH）2，
∴AH＝ （不合题意），或AH＝ ，
若点P在CD的右侧，同理可得AH＝ ，
综上所述：AH＝ 或 ．
【点拨】本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D为圆心， 为半径的圆和以BD为直径的
圆的交点是解决问题的关键．
14．
【分析】作△ABE的外接圆，圆心为P，过点P作x轴垂线，垂足为G，过点B作PG的垂线，垂足为
F，证明△APG≌△PBF，得到GP=BF，PF=AG，求出点A和点B的坐标，从而算出点P坐标，求出BC的表达
式，从而可设点E（m， ），利用PA2=PE2，求出点E坐标，再求出AD表达式，从而可得OD的长．
解：如图，作△ABE的外接圆，圆心为P，过点P作x轴垂线，垂足为G，过点B作PG的垂线，垂足
为F，
∵∠BED=45°，
∴∠BAE+∠ABE=45°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=2∠ABE+2∠BAE=90°，
∴∠APG+∠BPF=90°，又∠APG+∠PAG=90°，
∴∠BPF=∠PAG，又PA=PB，∠AGP=∠F=90°，
∴△APG≌△PBF（AAS），
∴GP=BF，PF=AG，
在直线y＝－ x＋3中，令x=0，则y=3，令y=0，则x=4，
∴A（0，3），B（4，0），
∴PG+PF=BO=4，AO+AG=BF=3，
∴设AG=a，则PF=a，GP=BF=4-x，OG=x+3，
∴4-x=x+3，解得：x= ，
∴OG= ，GP= ，即P（ ， ），设直线BC的表达式为y=kx+b，
∵OC=1，则C（0，1），将B，C代入y=kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线BC的表达式为 ，
设点E（m， ），∵PA2=PE2，
∴ ，
解得：m=4（舍）或 ，
∴点E的坐标为（ ， ），
设直线AE的表达式为y=sx+t，将A、E代入，
，解得： ，
∴直线AE的表达式为 ，
令y=0，解得：x= ，
则OD= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，一次函数，全等三角形的判定和性质，勾股定理，知识点较多，难
度较大，解题的关键是构造出△ABE的外接圆，利用全等、勾股定理和一次函数的知识求出相应点的坐标．15．
【分析】如图，连接AC，BD．由题意OD＝OC＝OD′＝ ，推出点D′的运动轨迹是弧CD，当
OD′⊥CD时，D′G的值最大，设DE＝ED′＝x，在Rt△EGD′中，根据EG2+D′G2＝ED′2，构建方
程求出x即可解决问题．
解：如图，连接AC，BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠DAB＝90°，AD＝BC＝8，
∴BD＝ ＝17，
∵OD＝OC＝OD′＝ ，
∴点D′的运动轨迹是弧CD，
当OD′⊥CD时，D′G的值最大，
∵OG∥BC，OD＝OB，
∴DG＝GC，
∴OG＝ BC＝4，
∴D′G的最大值＝OD′﹣OG＝ ﹣4＝ ，
设DE＝ED′＝x，
在Rt△EGD′中，∵EG2+D′G2＝ED′2，
∴（ ﹣x）2+（ ）2＝x2，
解得x＝ ，∴EG＝DG﹣DE＝
∴OE＝ ＝ ，
∴EF＝2OE＝ ．
故答案为： ，
【点拨】本题考查矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点D′的运动轨迹，学
会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．6
【分析】当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC的
中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA，先求出点E坐标为（-1,2），证明△AMF≌△CAH，得到点M
（-7,2），当点P与点B重合时，点M与点E重合，即可得到答案.
解：如图，当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC
的中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA，
∵ ， ，
∴M、A、E、C四点共圆，
∵ ， ，
∴ ，∠ABO=45°，
∴∠ABG=45°
∵ ，
∴BG=CG=1，
∴EG=BG=1，
∴点E坐标为（-1,2）
∵ ，
∴∠MAF+CAH=90°，
∵∠MAF+∠AMF=90°，
∴∠AMF=∠CAH,∵ ，
∴△AMF≌△CAH，
∴MF=AH=2，AM=CH=4，
∴点M的坐标为（-7,2），
当点P与点B重合时，点M与点E重合，此时的坐标为（-1,2），
∴当点 从点 运动到点 时，则点 运动的路径长为线段ME的长，ME=-1-（-7）=6，
故答案为：6.
【点拨】此题考查直角坐标系中点的坐标特点，利用点坐标表示线段长度，等腰直角三角形的性质，
全等三角形的判定及性质，直角坐标系中动点问题.
17． 或 或 或
【分析】若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则需要对此过程分四种情况讨论，根据已知
条件计算出m的取值范围即可．
解：由B点坐标（1， ），及原点O是AB的中点可知AB=2，直线AB与x轴的夹角为60°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD=2，
设DC与x轴相交于点H，则OH=4，
（1）当⊙P与DC边相切于点E时，连接PE，如图所示，
由题意可知PE= ，PE⊥DC，∠PHE=60°，
∴PH=2，
∴此时点P坐标为（-6,0），所以此时 ．（2）当⊙P只与AD边相切时，如下图，
∵PD= ，∴PH=1，
∴此时 ，
当⊙P继续向右运动，同时与AD，BC相切时，PH=1，所以此时 ，
∴当 时，⊙P只与AD相切；
，
（3）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
⊙P与AD相切于点A时，OP=1，此时m=-1，
⊙P与AD相切于点B时，OP=1，此时m=1，
∴当 ，⊙P只与BC边相切时；
，
（4）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
由题意可得OP=2，
∴此时 ．
综上所述，点P的横坐标m 的取值范围 或 或 或 ．
【点拨】本题考查圆与直线的位置关系，加上动点问题，此题难度较大，解决此题的关键是能够正确
分类讨论，并根据已知条件进行计算求解．18．2 或12+6 或12﹣6
【分析】分三种情形画出图形 分别求解即可．
解：如图，①点F在以A为圆心AB为半径的圆上，满足条件的点F在线段CD的垂直平分线KF上．
作FH⊥AD于H．在Rt△AFH中，∵AF＝2FH，
∴∠FAH＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAF＝60°，
∴∠EAB＝∠EAF＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝AB•tan30°＝2 ，
②当DF′＝DC时，在BE′上取一点G，使得AG＝GE′．
∵AF′＝AD＝DF′，
∴△ADF′是等边三角形，
∴∠DAF′＝60°，
∴∠BAF′＝150°，
∴∠BE′F′＝30°，
∴∠BE′A＝15°，
∵GA＝GE′，
∴∠GAE′＝∠GE′A＝15°，
∴∠AGB＝30°，
∴AG＝GE′＝2AB＝12，BG＝6 ，
∴BE′＝12+6
若以点D为圆心，DC长为半径作圆与以点A为圆心，AB长为半径的圆在正方形的内的交点为F同理可得BE＝12﹣6
综上所述，BE的长为2 或12+6 或12﹣6
【点拨】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形30度角的判定和性质、等腰三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会推分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，
构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．①③④
【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂
直平分线的性质可作判断；
②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得
OC=OA=AD=CD，可作判断；
④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公
式计算后可作判断．
解：①∵A、C关于直线OM'对称，
∴OM'是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
故①正确；
②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
∴OA=OB=OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，
则A、B、C都在⊙O上，
∵∠MON=120°，
∴∠BOE=60°，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四边形OADC为菱形，
故③正确；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
当AC最大时，△ACD的面积最大，
∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD面积的最大值是： AC2= ，
故④正确；
所以本题结论正确的有：①③④，
故答案为①③④．
【点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，
综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.
20．（1）见分析；（2） ；（3）【分析】（1）若求 ，连接 是显然的，然后再讨论 和 ，而发现这两个角都
在圆外，而外部也无复杂图象包含它们，所以常规作法显然不好处理．故想到把它们也放在圆中，连接
发现 ， ，则若以 为直径画圆，其圆必过 、 两点，则利用圆周角、对顶角性
质可证 恰与劣弧 的圆周角相等，因为 为中点，显然为 ，则结论易证．
（2）综合题，后问往往要用前问的结论，前问中 ，本题利用可求出 中， 与 的关
系．在利用根与系数的关系列出方程即可讨论 ，但要注意还有讨论两根存在的前提 ；
（3）连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，由 ， ，设
，利用勾股定理可以求出 ，然后根据 即可求解．
解：（1）证明：连接 ， ，以 为直径画圆．
， ，
、 两点必过以 为直径的圆，
，
．
为劣弧 的圆周角，且 为半圆的中点，
∵ 为半圆的中点，
∴ ，
为劣弧 的圆周角，
．
在 中，，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
，
．
，
、 为方程 的两根，
， ，
，
∴ ，
解得 或 ．
在第一象限，
，
舍去，
即此时 为 ． ，
综上所述：
（3）如图3，连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，由（1）可得 ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
又∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题难度较高，考查了圆、三角形、一元二次方程根与系数关系及用勾股定理解三角形等相
关知识，其中（1）辅助线的作法并不易想到，需要特殊留意．总体来说，综合性极高，学生一定要加强
理解．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）利用新定义计算出 ，如图①:过A点作 于H点，过C点作
于D点，先计算出 ，则 ，再证明 ， 平分 ，根据角平分线的性质得到 ，所以 ，然后在 中利用含30度直角三角形三边的
关系得到 的长；
（2）延长 交 于E点，连接 ，如图②，利用圆周角定理得到 为直径，再利用新定
义计算出 ，即 平分 ，所以 ，再证明 得到 ，于
是利用勾股定理可计算出 ，设 ,则 ，在 中得到
，解方程得到 ，然后在 中利用勾股定理计算出 ，从而得到
的面积．
（1）解：∵ 为“准互余三角形”，
∴ ，即 ，
∴ ，
如图①: 过A点作 于H点，过C点作 于D点，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图②：延长 交 于E点，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∵ 为“准互余三角形”，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
设 ,则 ,
在 中，∵ ，
∴ ，解得 ，
在 中， ，
∴⊙O的面积 ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质等知识点，理解半圆（或直径）所
对的圆周角是直角是解答本题的关键．
22．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先证明 得到 ，再证明 ，即可证
明 ；
（2）由（1）可得 ，则 的面积等于 面积．如图①，作 的外接圆
，连接 ，过点 作 于点 ，设 的半径为 ．先求出 ．则可得．由 ，得到 ，由此得到 得到最小值为 ，据此即
可得到答案．
（3）如图，在 上分别截取 ， ，连接 ，先根据等边对等角和三角形内角
和定理证明 ，作 的外接圆 ，分别过点 作 于点 ， 于点 ，
由已知得 ．连接 ，设 的半径为 ，利用圆周角定理求出 ，则
．即可得到 ，再由 ，推出 ，由此求出 得最小值为
，则可得 的最小值为 ．
解：（1）∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）由（1）可得 ，则 的面积等于 面积．
如图，作 的外接圆 ，连接 ，过点 作 于点 ，
设 的半径为 ．
，
∴ ，
．
在 中， ， ．．
又 ， ，
，
．
当 时， 取得最小值即 ．
的最小面积为 ．
的最小面积为 ．
（3）如图，在 上分别截取 ， ，连接 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
作 的外接圆 ，分别过点 作 于点 ， 于点 ，由已知得 ．
连接 ，设 的半径为 ，
由 可得 ，则 ．
，
， ，
，即
，当 四点共线时， 取最小值10，此时 ，
∴ ．
，
的最小值为 ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质与判定等等，正
确作出辅助线是解题的关键．
23．（1）8；（2）
【分析】（1）如图所示，过点A作 于F， 交 延长线于E，先证明四边形
是矩形，得到 ，再证明 ，得到 ，则四边形 是正
方形，则 ；
（2）如图所示，过点E作 于D，由题意得到 ，则 是等腰直角三角形，
由此求出 ；再求出 ；将 绕点E顺时针旋转 得到 ，则
， ，证明 三点共线；由
，可知当 的面积最小时，四边形 的面积最大，作 的外接
圆 ，连接 ，过点O作 于N，设 ，求出 ，得到
，则 是等边三角形，即可得到 ， ，由 ，求出，则 的最小值为 ，则 的最大值为 ．
（1）解：如图所示，过点A作 于F， 交 延长线于E，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，过点E作 于D，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
将 绕点E顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∵
，
∴当 的面积最小时，四边形 的面积最大，
作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于N，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，∴ 的最大值为 ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（1） ；（2）四边形 的面积为 ， 的大小为 ；（3）四边形 的最大面
积为 ，平移2个单位
【分析】（1）利用圆的定义知 三点共圆，再利用圆周角定理求解即可；
（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎
刃而解；
（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出 点能够向右移动的最
大距离，求出四边形的最大面积．
（1）解：以 为圆心， 为半径作辅助圆，如图，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：连接 ，如图，，
中， ，
，
为 斜边 中点，
，
线段 平移到 之后， ，
四边形 为菱形，
，
，
，且 ，
四边形 为直角梯形，
；
（3）解：如图所示，
当 边沿 方向平移2个单位至 时，
满足 且此时四边形 的面积最大，
此时直角梯形 的最大面积为，
．
【点拨】本题主要考查图形的平移、圆心角、圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值
点求解．
