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专题 27.5 相似三角形的应用
◆ 典例分析
【典例1】一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2，现在要把它加工成一个面积
最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的
加工方法符合要求．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据题意得
出BC=1.5m，AB=2.5m，CJ=1.2m，再根据正方形的性质得出△ADE∽△ACB，△CMN∽△CAB，
6 30
再分别设图①正方形的边长为x，图②正方形的边长为y，代入数值得出x= >y= ，即可得出结果．
7 37
【解题过程】
解：∵AC=2m，∠ACB=90°，△ABC面积为1.5m2，
1
∴ BC·AC=1.5m2，
2
解得：BC=1.5m，
如图①，设正方形的边长为x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
AD DE
∴ = ，
AC CB
2−x x
即 = ，
2 1.5
6
解得：x= m，
7如图②，过点C作CJ⊥AB，分别交MN、AB于G、J两点，
又∵AC=2m，BC=1.5m，△ABC面积为1.5m2，∠ACB=90°，
1
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√22+1.52=2.5m， AB·CJ=1.5m2，
2
∴AB=2.5m，CJ=1.2m，
设图②正方形的边长为y，
∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
CG MN
∴ = ，
CJ AB
1.2−y y
即 = ，
1.2 2.5
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解得：y= m，
37
6 30
∵ > ，
7 37
∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求．
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的
底部为O，把路灯看成一个点光源，身高1.6m的小明站在点P处，且OP=2m，当小明向路灯移动0.5m
时，影长的变化是（ ）
A．伸长了0.2m B．伸长了0.1m C．缩短了0.2m D．缩短了0.1m2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线
AB走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（ ）
A．一直不变 B．逐渐变长 C．逐渐变短 D．先变短后变长
3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角
形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为
（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m．当BC=2.5m时，
点B到地面的距离BE=1.5m，则点A到地面的距离AD为（ ）
A．2.6m B．2.5m C．2.46m D．2.22m
5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今
有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的
意思是：如图，M，N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，
且ME=100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长AD约为（ ）步．A．300 B．250 C．225 D．150
6．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一
棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若BC=6cm，AB=16cm，水面
BF离桌面的高度为9.6cm，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A．10cm B．13.2cm C．14.4cm D．16cm
7．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，
CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA=15mm，DO=24mm，
DC=10mm，则点A与点B之间的距离为（ ）
A．20mm B．30mm C．40mm D．50mm
8．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候
常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若
在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米
9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树CD的高度，山
坡OM与地面ON的夹角∠MON=30°，站立在水平地面上，身高1.5米的小明，在地面上的影长BP为1
米，此刻大树CD在斜坡上的影长DQ为4米，则大树的高度是 米．
10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔4米有一
棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边12米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电
线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米．
11．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运
动．如图是一张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌ABCD，某球员击位于AB的中点E处的球，球沿EF
射向边AD，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出
发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示）12．（23-24九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在水平地面上的影
子如图中线段BC所示，小亮的身高如图中线段DE所示，路灯灯泡在射段OM上(B，O，E三点共线）．
若两人的身高均为1.5m，他们相距12m，灯光下的影子长分别为2m和4m，则灯泡的高度为
m．
13．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，小李身高AB=1.6m，在路灯O的照射下，影子不全落在地
面上．小李离路灯的距离AP=6.6m，落在地面上影长AC=0.9m，留在墙上的影高CD=1m，则路灯OP
高为 ．
14．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=2.4m，蹲下来，
则身影AC=1.05m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度
为 ．
15．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1是杭州亚运会跳水场馆的实景图，图2是学生根据实景图构建的
跳台模型示意图．已知跳台立柱OA=10m，垂直于地面，跳台AB=6m，平行于地面，裁判坐在垂直于地面的高架座椅CD上，座椅高CD=1.2m，眼睛与座位的竖直距离DE=0.8m，裁判望向起跳点B的仰角α
与望向立柱底部O点的俯角β互余，则裁判与立柱之间的水平距离OC的长为 ．
16．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，人在路灯下沿直线行走，则其影子顶部所经过的路线为 ．
（①直线②曲线，填序号）
17．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知
识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造
相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到BC=a，CE=b，DE=c．问：海关大楼高AB高为多少？（用a，b，c表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法
准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相
似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到EG=16.8m，DF=1.6m，GN=1.8m，DE=1.45m，请你求出海关大楼AB的高
度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误
差的原因是什么？
18．（2024·浙江·二模）
探究不同裁剪方式的面积大小问题
图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为BC=15cm，
素材1 AC=20cm，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不
一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方
式裁剪，且AH=8cm．
素材2小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在直角△ABC纸板上裁下一个矩形CDEF，矩形的四个
顶点都在△ABC的边上；
素材3
步骤2：取剩下的纸板△ADE裁下一个正方形GHJI，正方形的
四个顶点都在△ADE边上；且满足矩形CDEF的CF边长是正方
形GHJI边长的两倍小0.9cm．
问题解决
任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2 请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长．
19．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的
侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，
OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．
发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；
探究：若EF=32cm，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?
20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB
的高度比路灯CD的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD，行
走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B）．
如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．（1）求路灯CD的高度．
（2）若小明身高EF是影子FM与FN的比例中项，求此时t的值．
（3）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN= （用含t的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N
在地面上移动的速度为 米/秒．
