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专题3 巧用运算规律简化有理数的计算（解析版）
类型一 归类——同号相加，同分母相加
1．（2023春•吉林月考）计算：﹣16﹣（﹣12）﹣24+18．
【答案】﹣10
【思路引领】先去括号，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：﹣16﹣（﹣12）﹣24+18
＝﹣16﹣24+18+12
＝﹣10．
【总结提升】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于能够正确去括号．
3 4
2．（2023春•黄浦区期中）计算：3 −(2.4−1 )+(−1.6)．
7 7
【答案】1．
【思路引领】根据有理数的加减混合运算计算即可．
3 4
【解答】解：原式＝3 −2.4+1 −1.6
7 7
3 4
＝（3 +1 ）﹣（2.4+1.6）
7 7
＝5﹣4
＝1．
【总结提升】本题考查了有理数的混合运算，根据加法的交换律结合律计算是关键．
类型二 凑整——将和（积）为整数的相加
5 1 1
3．（2022秋•汉寿县期中）计算： +(− )−(−1 )−2.5．
6 2 6
【答案】﹣1．
【思路引领】先把减法转化成加法，进行加法运算即可．
5 1 1
【解答】解： +(− )−(−1 )−2.5
6 2 6
5 1 1
= +(− )+(+1 )−2.5
6 2 6
5 1 1
= − +1 −2.5
6 2 6
5 1 1
= +1 − −2.5
6 6 2＝2﹣3
＝﹣1．
【总结提升】此题考查了加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023秋•石鼓区校级月考）计算：4.5×1.25×（﹣8）．
【答案】﹣45．
【思路引领】根据乘法结合律简便计算即可求解．
【解答】解：4.5×1.25×（﹣8）
＝4.5×[1.25×（﹣8）]
＝4.5×（﹣10）
＝﹣45．
【总结提升】考查了有理数的乘法，注意灵活运用运算定律简便计算．
5 4 1
5．（2023秋•湖州月考）计算：（﹣3）× ×（﹣1 ）×(− )
6 5 4
【答案】见试题解答内容
【思路引领】有理数乘法运算，先确定符号，再将带分数化成假分数，然后进行约分等运算．
5 4 1
【解答】解：（﹣3）× ×（﹣1 ）×(− )
6 5 4
5 4 1
＝（− ）×（﹣1 ）×(− )
2 5 4
9 1
= ×(− )
2 4
9
=−
8
【总结提升】此题主要考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握．
类型三 变顺序——逆向思维，方便约分和计算
7 11 1 1
6．（2022秋•惠城区月考）计算：45×(−25)× ×(− )÷ ×(−1 )．
8 15 4 7
【答案】﹣3300．
【思路引领】先确定符号．把除法化为化为乘法，带分数化为假分数，最后计算出结果．
7 11 1 1
【解答】解：45×（﹣25）× ×（− ）÷ ×（﹣1 ）
8 15 4 7
7 11 8
＝﹣（45×25× × ×4× ）
8 15 77 8 11
＝﹣（ × ×45× ×25×4）
8 7 15
＝﹣3300．
【总结提升】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法的交换律和结合律的熟练应用，把除法化为乘法是
解题关键．
7．（2020秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算：
8 8 8
（﹣9）×31 −（﹣8）×（﹣31 ）﹣（﹣16）×31 ；
29 29 29
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；
8
【解答】解：（1）原式＝31 ×（﹣9﹣8+16）
29
8
＝31 ×（﹣1）
29
8
＝﹣31 ；
29
【总结提升】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 1 1 1 1
8．（2022秋•惠东县月考）计算：31 ×41 −11 ×41 ×2﹣9.5×11 ．
3 2 3 2 3
【答案】见试题解答内容
【思路引领】把中间一项的乘2写成两个项的和，然后分别利用乘法分配律的逆运用进行计算即可得解．
1 1 1 1 1
【解答】解：31 ×41 −11 ×41 ×2﹣9.5×11
3 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1
＝31 ×41 −11 ×41 −11 ×41 −9.5×11
3 2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 1
＝41 ×（31 −11 ）﹣11 ×（41 +9.5）
2 3 3 3 2
1 1
＝41 ×20﹣11 ×51
2 3
1 1
＝（41+ ）×20﹣（11+ ）×51，
2 3
1 1
＝41×20+ ×20﹣11×21− ×51，
2 3
＝820+10﹣231﹣17，
＝582．【总结提升】本题考查了有理数的乘法，灵活性较强，难点在于把乘以2的项写成两个项的和，利用运
算定律可以使计算更加简便．
类型四 组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目
1 1 1 1 1 1 1
9．（2022秋•冷水滩区月考）计算：（1− ）+（ − ）+（ − ）+……（ − ）．
2 2 3 3 4 2005 2006
2005
【答案】 ．
2006
【思路引领】根据有理数的加减计算即可．
1 1 1 1 1 1 1
【解答】解：（1− ）+( − )+（ − ）+…+（ − ）
2 2 3 3 4 2010 2011
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +•••+ −
2 2 3 3 4 2005 2006
1
＝1−
2006
2005
= ．
2006
【总结提升】此题考查有理数的加减，关键是根据法则进行计算．
10．计算：1﹣3×2+5+7﹣9×2+11+13﹣15×2+17+…+2011﹣2013×2+2015+2017．
【思路引领】原式＝（1﹣3×2+5）+（7﹣9×2+11）+…+（2011﹣2013×2+2015）+2017，求解即可．
【解答】解：1﹣3×2+5+7﹣9×2+11+13﹣15×2+17+…+2011﹣2013×2+2015+2017
＝（1﹣3×2+5）+（7﹣9×2+11）+…+（2011﹣2013×2+2015）+2017
＝2017．
【总结提升】本题考查数字的变化规律，通过观察所求的式子，适当的将式子进行分组求和是解题的关键．
类型五——拆分，相互抵消，化繁为简
11．（2022秋•邻水县期末）数学张老师在多媒体．上列出了如下的材料：
5 2 3 1
计算：−5 +(−9 )+17 +(−3 )．
6 3 4 2
解 ： 原 式
5 2 3 1 5 2 1 3 1 1
=[(−5)+(− )]+[(−9)+(− )]+(17+ )+[(−3)+(− )]=[(−5)+(−9)+(−3)+17]+[(− )+(− )+(− )+ ]=0+(−1 )=−1
6 3 4 2 6 3 2 4 4 4
2 4 1
上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方式计算：(−2021 )+(−2022 )+4044+ ．
7 7 7
【考点】有理数的加减混合运算．
版权所有【专题】实数；运算能力．
2
【答案】 ．
7
【思路引领】根据题目所提供的计算方法，写成几个整数的和以及几个分数的和即可．
2 4 1
【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（− ）]+[（﹣2022）+（− ）]+4044
7 7 7
2 4 1
＝（﹣2021﹣2022+4044）+（− − + ）
7 7 7
5
＝1+（− ）
7
2
= ．
7
【总结提升】本题考查有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的关键．
15
12．（2022秋•宿豫区期中）用简便方法计算：−19 ×8．
16
1
【答案】−159 ．
2
1
【思路引领】先把所求的算式变形为(20− )×(−8)，再利用乘法分配律计算即可．
16
15
【解答】解：−19 ×8
16
15
=19 ×(−8)
16
1
=(20− )×(−8)
16
1
=20×(−8)− ×(−8)
16
1
=−160+
2
1
=−159 ．
2
【总结提升】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算顺序和运算法则是关键．
13．（2022 秋•魏都区校级月考）学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算
24
39 ×(−5)，看谁算的又快又对．
25999 999 4
小瑞很快给出了他的解法：原式=− ×5=− =−199 ．
25 5 5
小晨经过思考后也给出了他的解法：
24
原式=(39+ )×(−5)
25
24
＝39×（﹣5）+ （ ﹣ 5 ）
25
24
＝﹣195+ −
5
4
＝ ﹣ 19 9 ．
5
（1）请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理？
（2）你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？
15
（3）用你认为最合适的方法计算：29 ×(−8)．
16
24 24 4
【答案】（1） ，﹣5，− ，﹣199 ；
25 5 5
（2）有，具体见解析；
1
（3）原式＝﹣239 ．
2
【思路引领】（1）通过乘法分配律计算即可；
1
（2）可以根据原式＝（40− ）×（﹣5）进一步计算即可；
25
15 1
（3）根据29 ×(−8)=（30− ）×（﹣8）进一步计算即可．
16 16
24
【解答】解：（1）原式=(39+ )×(−5)
25
24
＝39×（﹣5）+ ×(−5)
25
24
＝﹣195+（− ）
5
4
＝﹣199 ，
5
24 24 4
故答案为： ，﹣5，− ，﹣199 ；
25 5 5（2）有，可以这样计算：
1
原式＝（40− ）×（﹣5）
25
1
＝40×（﹣5）− ×（﹣5）
25
1
＝﹣200+
5
4
=−199 ；
5
15
（3）29 ×(−8)
16
1
＝（30− ）×（﹣8）
16
1
＝30×（﹣8）− ×（﹣8）
16
1
＝﹣240+
2
1
＝﹣239 ．
2
【总结提升】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．
14．阅读下面的解答过程．
计算： ．
解：因为 ，
所以原式＝
＝
＝
＝ ．
根据以上解题方法计算：
（1） ＝ ﹣ （n为正整数）；（2） ．
（3） ．
【思路引领】（1）由观察得 ；
（2）将 变形为 1﹣（ + + +…+ ）＝1﹣（ + +
+…+ ）形式就可以解决了；
（3） ＝ （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝
（ ﹣ ）＝ × ＝ ．
【解答】解：（1）由题意得 ；
（2）
＝1﹣（ + + +…+ ）
＝1﹣（ + + +…+ ）
＝1﹣（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝1﹣（1﹣ ）
＝1﹣1+
＝ ；
（3）
＝ （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝ （ ﹣ ）
＝ ×
＝ ．
【总结提升】此题考查了算式规律的归纳能力，关键是归纳出基本计算规律并能变式运用．
类型六 换位——将被除数与除数颠倒位置
1 1 1
15．（2019秋•成安县期末）阅读下列材料：计算50÷（ − + ）．
3 4 12
1 1 1
解法一：原式＝50÷ −50÷ +50÷ =50×3﹣50×4+50×12＝550．
3 4 12
4 3 1 2
解法二：原式＝50÷（ − + ）＝50÷ =50×6＝300．
12 12 12 12
1 1 1
解法三：原式的倒数为（ − + ）÷50
3 4 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝（ − + ）× = × − × + × = ．
3 4 12 50 3 50 4 50 12 50 300
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 一 是错误的．请你选择合适的解法解答下列
问题：
1 1 3 2 2
计算：（− ）÷（ − + − ）
42 6 14 3 7
【答案】见试题解答内容
【思路引领】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案；
根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．
【解答】解：没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一．
1 5 3
原式＝（− ）÷（ − ）
42 6 6
1
＝（− ）×3
42
1
=− ．
14
【总结提升】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律．16．（2023秋•鄂托克旗期末）小华在课外书中看到这样一道题：
1 1 1 7 1 1 1 7 1 1
计算： ÷（ + − − ）+（ + − − ）÷ ．
36 4 12 18 36 4 12 18 36 36
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利
地解答了这道题
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．
【答案】见试题解答内容
1 1 1 7 1 1 1 7 1 1
【思路引领】（1）根据倒数的定义可知： ÷（ + − − ）与（ + − − ）÷ 互
36 4 12 18 36 4 12 18 36 36
为倒数；
1 1 7 1 1
（2）利用乘法的分配律可求得（ + − − ）÷ 的值；
4 12 18 36 36
（3）根据倒数的定义求解即可；
（4）最后利用加法法则求解即可．
【解答】解：（1）前后两部分互为倒数；
（2）先计算后一部分比较方便．
1 1 7 1 1 1 1 7 1
（ + − − ）÷ =（ + − − ）×36＝9+3﹣14﹣1＝﹣3；
4 12 18 36 36 4 12 18 36
1 1 1 7 1 1
（3）因为前后两部分互为倒数，所以 ÷（ + − − ）=− ；
36 4 12 18 36 3
1 1
（4）根据以上分析，可知原式=− +(−3)=−3 ．
3 3
1 1 1 7 1
【总结提升】本题主要考查的是有理数的乘除运算，发现 ÷（ + − − ）与（
36 4 12 18 36
1 1 7 1 1
+ − − ）÷ 互为倒数是解题的关键．
4 12 18 36 36
类型七 设参——利用整体思想
17．（2020秋•广信区期中）阅读理解：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
计算(1+ + + )×( + + + )−(1+ + + + )×( + + )时，若把( + + + )与（
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 51 1 1
+ + )分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1
解：设( + + )为A，( + + + )为B，
2 3 4 2 3 4 5
1
则原式＝B（1+A）﹣A（1+B）＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A= ．请用上面方法计算：
5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
①(1+ + + + + )( + + + + + )−(1+ + + + + + )( + + + + )
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
②(1+ + ⋯+ )( + ⋯+ )−(1+ + ⋯+ )( + ⋯+ )．
2 3 n 2 3 n+1 2 3 n+1 2 3 n
【答案】见试题解答内容
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【思路引领】（1）根据题意设（ + + + + ）为A，（ + + + + + ）为B，原式变形后
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7
计算即可求出值；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）根据题意设（ + + + + +⋯+ ）为A，（ + + + + + +⋯+ ）为B，原式
2 3 4 5 6 n 2 3 4 5 6 7 n+1
变形后计算即可求出值．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【解答】解：（1）设（ + + + + ）为A，（ + + + + + ）为B，
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7
1
原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A= ；
7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）设（ + + + + +⋯+ ）为A，（ + + + + + +⋯+ ）为B，
2 3 4 5 6 n 2 3 4 5 6 7 n+1
1
原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A= ．
n+1
【总结提升】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键．
针对训练
18．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22019，
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22019，
将等式两边同时乘2，得2S＝2+22+23+24+…+22020，
用下式减去上式得2S﹣S＝22020﹣1，
即S＝1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1，
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+…+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n．（其中n为正整数）
【答案】（1）1+2+22+23+…+210＝211﹣1；
3n+1−1
（2）1+3+32+33+34+…+3n= ．
2
【思路引领】（1）根据题目中的例子，可以计算出1+2+22+23+…+210的值；
（2）根据题目中的例子，可以计算出1+3+32+33+34+…+3n的值．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+…+210，
则2S＝2+22+23+…+210+211，
2S﹣S＝211﹣1，
S＝211﹣1，
即1+2+22+23+…+210＝211﹣1；
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n．
则3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1，
3S﹣S＝3n+1﹣1，
2S＝3n+1﹣1，
3n+1−1
S= ，
2
3n+1−1
即1+3+32+33+34+…+3n= ．
2
【总结提升】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变
化特点，利用类比的方法解答．
