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第 19 章 二次根式
19.2 二次根式的乘法
第 1 课时 二次根式的乘法
【素养目标】
1. 理解和掌握二次根式的乘法法则：√a×√b = √ab (a > 0,b > 0) . 经历
法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系。 (重点)
2. 理解和掌握积的算术平方根的性质： √ab = √a×√b (a > 0,b > 0).体
会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系。(重点)
3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高运
算能力，初步要求计算结果达到求简意识.(难点)
【情境导入】
【合作探究】
探究点1：二次根式的乘法法则
计算下列各式：
(1) √4×√9 =____×____=____; √4×9 =____.
(2) √16×√25 =____×____=____;√16×25 =____.
(3) √36×√49 =____×____=____;√36×49 =____.
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) √4×√9=√4×9 ;
(2) √16×√25=√16×25 ;
(3) √36×√49 = √36×49 ;
思考 能用字母表示你所发现的规律吗？
你能证明这个猜测吗？
第 1 页求证： √a×√b = √a×b ( a ≥ 0 , b ≥ 0) .
【知识要点】
一 般 地 ， 二 次 根 式 的 乘 法 法 则 是
√a × √b = √a×b ( a ≥ 0 , b ≥ 0)
二次根式相乘， ________不变， ________相乘。
【典例精析】
例1 计算：
√1 √2 √5
(1)√3×√5; (2) ×√27; (3) ×
3 5 8
.
【练一练】
1. 计算：
(1) √5×√7; (2) √2×√3×√5 .
总结：当三个及三个以上的二次根式相乘，
√a×√b×···×√k = √ab···k (a ≥ 0 , b ≥ 0 , k ≥ 0)
想一想 你还记得单项式乘单项式的法则吗？
试回顾如何计算 3a22a3 =______.
【练一练】
2. 计算：
( 1 ) .
(1) 2√5×3√7; (2) 4√2× − √3
2
第 2 页归纳：
当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项式的法则计算，
即 m√a×n√b = (mn)√ab ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
探究点2：积的算术平方根的性质
【知识要点】
一般地： √a×√b = √ab (a ≥ 0,b ≥ 0)
反过来： √ab = √a×√b (a ≥ 0,b ≥ 0)
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
例2 化简：
(1) √16×81 ; (2) √4a2b3 ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) .
【练一练】
3. 化简：
(1)√(−25)×(−144); (2)√12x2yz3 (x > 0,y > 0).
例3 计算：
(1) √14×√7; (2) 3√5×2√10; (3) √3x ×
√1
xy .
3
【归纳总结】
化简二次根式的步骤：
1. 把被开方数分解因式(或因数);
2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3. 如果因式中有平方式(或平方数), 应用关系式 √a2=|a| 把这个因式(或因数)开
出来，将二次根式化简。
【练一练】
4. 计算：
(1) (2) ( √18) .
2√3×5√21 3√3× −
4
第 3 页5. 小明家有一块长方形的地，它的长为2√3m , 宽为√6m ，求出它的面积。
当堂反馈
1. 化简 √8 的结果是( )
A. 2 B. 2√2 C. −2√2 D. ±2√2
2. 计算 √2×√10 的结果应是 ( )
A. ±√5 B. 2√5 C. 4√5 D. 20
3. 若 √x · √x−6 =√x(x−6) ，则 ( )
A. x ≥ 6 B. x ≥ 0 C. 0 ≤ x ≤ 6 D. x
为一切实数
4. 若 √a = m , √b = n ，则 √100ab = _______ (用含 m , n 的代
数式表示).
5. 计算：
(1) √32×
1
= _______;(2) √4x ·
√1
= _______
2 x
(3)√(−144)×(−169) = _______.
6. [教材变式]计算或化简：
√5 √ 27
(1) × ;
3 125
(2) ( 1 ) ;
9√18× − √54
6
(3) .
√18m2n (m > 0 )
第 4 页参考答案
探究点1：二次根式的乘法法则
思考 猜测： √a×√b = √ab ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
证明： 根据积的乘方法则， 有 (√a×√b) 2= (√a) 2× (√b) 2= ab.
∴ √a × √b 就是 ab 的算术平方根。又 ∵√ab 表示 ab 的算术平方根，
∴ √a×√b = √ab (a ≥ 0, b ≥ 0 ).
【知识要点】 根指数 , 被开方数
√1 √1
例1 解： (1)√3×√5=√15 . (2) ×√27= ×27=√9=3 .
3 3
√2 √5 √2 5 √1 1
(3) × = × = = .
5 8 5 8 4 2
【练一练】1. 解：(1) 原式 .
=√35 (2) 原式=(√2×√3)×√5=√6×√5=√30.
【练一练】2. 解： (1) .
2√5×3√7=(2×3)(√5×√7)=6√35
(2) ( 1 ) [ ( 1)] .
4√2× − √3 = 4× − (√2×√3)=−2√2×3=−2√6
2 2
探究点2：积的算术平方根的性质
例2 解： (1)√16×81=√16×√81=36 .
(2) √4a2b3 = √4·√a2·√b3 = 2·a·√b2·b = 2ab√b .
【练一练】3. 解：
(1)√(−25)×(−144)=√25×144=√25×√144=5×12=60;
(2)
√12x2yz3 = √x2·√12yz3 = x·√4z2·3yz = x·√4z2·√3yz = 2xz√3yz
例3 解： (1) .
√14×√7=√14×7=√72×2=√72×√2=7√2
第 5 页(2) ;
3√5×2√10=3×2√5×10=6√52×2=6√52×√2=6×5√2=30√2
(3)√3x· √1 xy = √ 3x· 1 xy = √x2y = √x2·√y = x√y .
3 3
【练一练】
4. 解： (1)原式 =2×5×√3×21 =10√32×7 = 30√7.
1 3 3 9
原式 = 3×( − )×√3×√18 = − ×√32×6 = − ×3×√6 = − √6 .
4 4 4 4
5. 解： 它的面积为：
2√3×√6=2√18=2√9×√2=6√2(m2)
答： 它的面积为 6√2m2 .
当堂反馈
1. B.
2. B.
3. A.
4. 10 mn.
5. (1) 2√2 ;(2) 2 ; (3) 156.
3
6. (1) 解： 原式 = . (2) 解：原式 =−27√3 . (3) 解：原式 = 3m√2n
5
.
第 6 页
