文档内容
八年级数学（上）第一学期学期期末模拟试卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2023春•湘潭县期末）为了普及科学抗疫知识，卫生部门设计了一些宣传图片，下列图案中，是轴对
称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称
图形，
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2．（2022春•邗江区期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
√1 1
A．−❑√2 B．❑√12 C．❑ D．
5 ❑√2
【思路引领】先化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、−❑√2符合最简二次根式的定义，正确；
B、❑√12=2❑√3被开方数中含有未开尽方的因数或因式，错误；
√1 ❑√5
C、❑ = 被开方数中含有分母，错误；
5 51 ❑√2
D、 = 分母中含有被开方数，错误；
❑√2 2
故选：A．
【总结提升】此题考查最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于 2，也不是最简二
次根式．
3．（2023春•洪洞县期末）每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，
杨絮纤维的直径约为0.0000108m，该数值用科学记数法表示为（ ）
A．1.08×10﹣4 B．1.08×10﹣5 C．﹣1.08×105 D．108×10﹣6
【思路引领】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，
n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：0.0000108＝1.08×10﹣5．
故选：B．
【总结提升】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
ab
4．（2022春•余姚市期末）将 中的a，b都扩大3倍，则分式的值（ ）
a+b
A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．不变
【思路引领】利用分式的基本性质进行计算，即可解答．
3a⋅3b 9ab 3ab
= =
【解答】解：由题意得： ，
3a+3b 3(a+b) a+b
ab
∴将 中的a、b都扩大3倍，则分式的值扩大3倍，
a+b
故选：A．
【总结提升】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（2022秋•如皋市校级期末）如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼
成一个长为（m+2n），宽为（2m+n）的大长方形，那么需要C类卡片张数为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【思路引领】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案．
【解答】解：依题意，（m+2n）（2m+n）＝2m2+5mn+2n2，
∵C类卡片的面积为mn，
∴需要C类卡片张数为5，
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本
题的关键．
1 1 1 2a+3ab−2b
6．（2020春•苍梧县期末）已知 − = ，则分式 的值是（ ）
a b 3 a−ab−b
7 11 9 7
A．− B．− C． D．−
2 2 4 4
1
【思路引领】根据已知条件得出a﹣b=− ab，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
3
1 1 1
【解答】解：∵ − = ，
a b 3
b−a 1
∴ = ，
ab 3
∴ab＝﹣3（a﹣b），
2a+3ab−2b 2(a−b)+3ab 2(a−b)−9(a−b) 7
∴ = = =− ．
a−ab−b a−b−ab a−b+3(a−b) 4
故选：D．
【总结提升】此题考查了分式的加减，解题关键是用到了整体代入的思想．
2 m
7．（2023秋•慈利县期中）若关于x的分式方程 =3− 有增根，则m的值是（ ）
x−4 x−4
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【思路引领】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4．
2 m
【解答】解：分式方程 =3− 两边同时乘x﹣4去分母，得
x−4 x−4
2＝3（x﹣4）﹣m，由分式方程的最简公分母是x﹣4，
∴分式方程的增根是x＝4．
把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m，
∴m＝﹣2．
故选：D．
【总结提升】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增
根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（2022春•渭南期末）在学校组织的八年级春季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一
座600m高的山，乙组的攀登速度是甲组的1.3倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少20min．如果设甲组
的攀登速度为xm/min，那么下面所列方程中正确的是（ ）
600 600 600 600
A． = +1.3 B． = −20
x x+20 1.3x x
600 600 600 600
C． =1.3× D． = +20
x x+20 1.3x x
【思路引领】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.3x m/min，根据时间＝路程÷速度，
结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少20min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.3x m/min，
600 600
依题意得： = −20．
1.3x x
故选：B．
【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（2022秋•海门市期末）已知2a﹣3＝b，4a2﹣3ab+b2＝11，则2a2b﹣ab2的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．11
【思路引领】利用消元法求出a，b的值，可得结论．
【解答】解：∵b＝2a﹣3，4a2﹣3ab+b2＝11，
∴4a2﹣3a（2a﹣3）+（2a﹣3）2，＝11，
整理得2a2﹣3a﹣2＝0，
∴（2a+1）（a﹣2）＝0，
∴2a+1＝0或a﹣2＝0，
1
∴a＝2或− ，
2
当a＝2时，b＝1，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，1
当a=− 时，b＝﹣4，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，
2
∴2a2b﹣ab2＝6．
故选：B．
【总结提升】本题考查完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，属于中考常考题型．
10．（2021秋•固始县期末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连
接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，
△BED周长的变化规律是（ ）
A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【思路引领】由“ASA”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得 BD＝CF，BE＝CD，可得
△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解答】解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，故选：D．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△BED≌△CDF是本题
关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1
11．（2023春•涟水县期末）要使式子 有意义，则x的取值范围是 x ≠﹣ 5 ．
x+5
【思路引领】根据分式有意义的条件得出x+5≠0，再求出答案即可．
1
【解答】解：要使式子 有意义，必须
x+5
x+5≠0，
解得：x≠﹣5．
故答案为：x≠﹣5．
【总结提升】本题考查了分式有意义的条件，能熟记分式有意义的条件是解此题的关键，注意：式子
A
中分母B≠0．
B
12．（2022秋•海阳市校级期末）因式分解：4﹣a（4﹣a）＝ （ 2 ﹣ a ） 2 ．
【思路引领】先去掉括号，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：4﹣a（4﹣a）
＝4﹣4a+a2
＝（2﹣a）2．
故答案为：（2﹣a）2．
【总结提升】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式分解因式是解此题的关键，注意：
a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
13．（2022春•沂源县期末）已知等式√5−x ❑√5−x成立，化简|x﹣6| 的结果为 4 ．
❑ = +❑√(x−2) 2
x−3 ❑√x−3
【思路引领】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【解答】解：∵等式√5−x ❑√5−x成立，
❑ =
x−3 ❑√x−3
{5−x≥0)
∴ ，
x−3＞0解得：3＜x≤5，
∴|x﹣6|
+❑√(x−2) 2
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
故答案为：4．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关
键．
14．（2022秋•如皋市校级期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝42°，∠C＝30°，∠BAD＝50°，则∠BAE
＝ 5 8 °．
【思路引领】根据三角形内角和定理得出∠BAC＝108°，根据全等三角形的性质得出∠DAE＝∠BAC，
根据∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD，即可求解．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝108°，
∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝108°﹣50°＝58°，
故答案为：58．
【总结提升】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
x+m 2m
15．（2023春•龙马潭区期中）关于x的分式方程 − =3的解为正实数，则实数m的取值范围是
x−2 x−2
m ＜ 6 且 m ≠ 2 ．
【思路引领】先根据解分式方程的方法和步骤，求出该方程的解，再根据其解为正实数以及分式有意义
的条件，即可得出m的取值范围．
x+m 2m
【解答】解：∵ − =3，
x−2 x−2
∴x+m﹣2m＝3（x﹣2），
∴x+m﹣2m＝3x﹣6，∴x﹣3x＝﹣6+m，
∴﹣2x＝﹣6+m，
6−m
∴x= ，
2
∵原分式方程的解为正实数，
6−m
∴ ＞0，解得：m＜6，
2
∵原分式方程有意义，
6−m
∴x≠2，则 ≠2，解得：m≠2，
2
∴m的取值范围为：m＜6且m≠2．
【总结提升】本题主要考查了解分式方程，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握解分
式方程的方法和步骤．
1 1
16．（2022秋•海门市期末）已知a+ =❑√10，则a− 的值为 ±❑√6 ．
a a
1 1 1
【思路引领】将已知等式两边平方得a2+2+ =10，据此得出a2﹣2+ =6，即（a− ）2＝6，再开方
a2 a2 a
即可得出答案．
1
【解答】解：∵a+ =❑√10，
a
1
∴a2+2+ =10，
a2
1
∴a2+ =8，
a2
1 1
∴a2﹣2+ =6，即（a− ）2＝6，
a2 a
1
则a− =±❑√6，
a
故答案为：±❑√6．
【总结提升】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全
平方公式．
17．（2023秋•东西湖区期中）在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC
的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 2 ．
【思路引领】设P到△ACB的三边的距离为x，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：设P到△ACB的三边的距离为x，
1 1 1
由三角形的面积公式得， ×5×12= ×5×x+ ×12×x+×13×x，
2 2 2
解得，x＝2，
故答案为：2．
【总结提升】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．
18．（2019秋•新洲区期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD
与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是 1 0
【思路引领】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线的性质得到DM＝DN，根据三角形的面积
公式得到BD：DC＝2：3，根据题意列式计算得到答案．
【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM＝DN，
1 1
∴S△ABD ：S△ADC ＝BD：DC= •AB•DN： •AC•DM＝AB：AC＝2：3，
2 2
3 1
设△ABC的面积为S，则S△ADC = S，S△BEC = S，
5 2
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
3 1
∴ S− S＝1，
5 2
∴S＝10，
故答案为：10．【总结提升】本题考查是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距
离相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
5 x−3
19．（1）化简：(x+2− )÷ 并求值，其中x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的解．
x−2 3x2−6x
【思路引领】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后根据一元二次方程x2+3x﹣1＝0，可以得到
x2+3x＝1，整体代人后即可解答本题．
x2−4 5 x−3
【解答】解：原式=( − )÷
x−2 x−2 3x(x−2)
(x+3)(x−3) 3x(x−2)
= ⋅
x−2 x−3
＝3x（x+3）
＝3（x2+3x），
∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
∴原式＝3．
【总结提升】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
1
（2）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x﹣y）（x+y）﹣2（x﹣2y）（x+2y），其中x= ，y＝﹣2．
2
【思路引领】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式，以及平方差公式计算得到最简结果，把x与
y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣2x2﹣2xy+xy+y2﹣2x2+8y2＝3xy+10y2，
1
当x= ，y＝﹣2时，原式＝﹣3+40＝37．
2
【总结提升】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 1
20．（10分）已知 x= ，y= ，求下列代数式的值．
2−❑√3 2+❑√3
（1）x2﹣2xy+y2．
y x
（2） + ．
x y
【思路引领】（1）先将x，y进行分母有理化，然后根据完全平方公式，即可；
（2）先将x，y进行分母有理化，再求出x+y和xy的值，然后根据完全平方公式求出x2+y2，再将所求y x y2+x2
式子变形为 + = ，再整体代入即可．
x y xy
1 1
【解答】解：（1）∵x= =2+❑√3，y= =2−❑√3，
2−❑√3 2+❑√3
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝[（2+❑√3）﹣（2−❑√3）]2
＝（2❑√3）2
＝12；
1 1
（2）∵x= =2+❑√3，y= =2−❑√3，
2−❑√3 2+❑√3
∴xy＝（2+❑√3）（2−❑√3）＝1，
（x+y）2＝[（2+❑√3）+（2−❑√3）]2＝16，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣2×1＝14，
y x y2+x2 14
∴ + = = =14．
x y xy 1
【总结提升】此题考查了二次根式的乘除法，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思
想，本题属于基础题型．
21．（10分）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2．
A 1
（1）若 = ，求C的值；
B 5
2B+C
（2）在（1）的条件下，且 为整数，求整数x的值．
B
A 1
【思路引领】（1）把代数式A＝x+y，B＝x2﹣y2代入 = ，求出x﹣y的值，再整理化简C代数式，
B 5
整体代入即可求解；
2B+C 2B+C
（2）把代数式B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入 ，再根据 为整数即可求解．
B B
A 1
【解答】解：（1）∵将A＝x+y，B＝x2﹣y2代入 = 得：
B 5
x+ y 1
= ，
x2−y2 5
x+ y 1
∴ = ，
(x+ y)(x−y) 51 1
∴ = ，
x−y 5
∴x﹣y＝5，
∴C＝x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝52
＝25；
2B+C
（2）将B＝x2﹣y2，C＝x2﹣2xy+y2代入 中得：
B
2B+C 2(x2−y2 )+x2−2xy+ y2
=
B x2−y2
(x−y)(2x+2y+x−y)
=
(x−y)(x+ y)
3x+ y
=
x+ y
x+ y+2x
=
x+ y
2x
＝1+ ，
x+ y
∵x﹣y＝5，
∴y＝x﹣5，
2x
∴原式＝1+
2x−5
2x−5+5
＝1+
2x−5
5
＝1+1+ ，
2x−5
2B+C
∵ 为整数，
B
5
∴ 也是整数，
2x−5
∴①2x﹣5＝﹣5，则x＝0，
②2x﹣5＝﹣1，则x＝2，
③2x﹣5＝1，则x＝3，④2x﹣5＝5，则x＝5，
∴整数x的值为：0或2或3或5．
【总结提升】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式化简求值的方法是解题的关键，应用了整体代
入得数学思想．
22．（10分）野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙
好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有五张三角形的铁皮（如图1所示），她想选择
其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼．
（1）五张铁皮中，用序号为 ② 的铁皮烙饼，不用刀切即可翻身正好落在“锅”中；
（2）在余下的铁皮中选出只需要切一刀（沿直线切饼，下同），然后把两小块饼都翻身，它们正好也
能落在“锅”中的铁皮，画出切割线，标上角的度数．
（3）小明最后拿到的是一张如图2图形的三角形铁皮，它既不是等腰三角形又不是直角三角形，也不
知道各个角的度数，请在图2中画出刀痕的位置（不超过3刀），也能使饼翻身后正好落在“锅”中．
（不要写画法，但要用适当的记号或文字作简要说明）
【思路引领】（1）找到等腰三角形的铁皮借口求解；
（2）烙好一面后把饼翻身，这块饼仍然正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重合，则铁锅
的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形；
（3）根据题意作出图形即可．
【解答】解：（1）五张铁皮中，用序号为②的铁皮烙饼，不用刀切即可翻身正好落在“锅”中；
（2）如图所示：故答案为：②；
（3）如图3，作出任意两边的垂直平分线交于一点，分别连接交点与三个顶点得到三个等腰三角形．
【总结提升】此题主要考查了生活中的轴对称现象，作出图中等腰三角形，利用等腰三角形的轴对称性
得出是解题关键．
23．（10分）列方程解应用题：“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水
稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水
稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B
块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？
【思路引领】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，由题意：A块试验田种植
面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，
6750 6750
根据题意，得： − =5，
x 1.8x
解得：x＝600，
经检验：x＝600是所列方程的解，且符合题意，
则1.8x＝1.8×600＝1080，
答：杂交水稻的亩产量是1080千克．【总结提升】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（12分）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点（D不与B、C重合），连接AD，以AD
为边作∠ADE＝∠ADF，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图1，若点D是BC的中点，求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠ADE＝∠ADF＝60°，猜测AE与AF的数量关系？并证明你的结论．
【思路引领】（1）证明△ADE≌△ADF（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝AF；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，作AH⊥DE，交DE的延长线于点H，证明△AHE≌△AMF（AAS），
由全等三角形的性质得出AE＝AF．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADE和△ADF中，
{∠EAD=∠FAD
)
AD=AD ，
∠ADE=∠ADF
∴△ADE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
（2）解：AE＝AF，
证明：如图，过点A作AM⊥DF于点M，作AH⊥DE，交DE的延长线于点H，
∵AD平分∠EDF，AH⊥DE，AM⊥DF∴AH＝AM，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF＝360°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，
∵∠AED+∠AEH＝180°，
∴∠AEH＝∠AFD，
在△AHE和△AMF中，
{∠AEH=∠AFD
)
∠H=∠AMF ，
AH=AM
∴△AHE≌△AMF（AAS），
∴AE＝AF．
【总结提升】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加
恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（13分）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式
3 3x
与 互为“3阶分式”．
x+1 1+x
3 10x 15
（1）当x＝ 不为− 的实数 时，分式 与 互为“5阶分式”；
2 3+2x 3+2x
2x 2y
（2）设正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
x+ y2 y+x2
a 2b
（3）若分式 与 互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值．
a+4b2 a2+2b
【思路引领】（1）根据分式有意义的条件即可得出；
2x 2y
（2）根据题意得出xy＝1，可以用表示y，代入 + ，求证计算结果为2即可；
x+ y2 y+x2
a 2b
（3）列出等式∴ + =1，再根据分式的运算法则计算并探索．
a+4b2 a2+2b
3 10x 15
【解答】解：（1）当x＝不为− 的实数时，分式 与 互为“5阶分式”；
2 3+2x 3+2x
3
故答案为：不为− 的实数．
21
（2）证明：由题意得xy＝1，则y= ，
x
1 2x 2y
把y= 代入 + 得：
x x+ y2 y+x2
2
2x x 2x3 2
原式= + = + =2，
x+
1 1
+x2
x3+1 x3+1
x2 x
2x 2y
∴ 与 互为“2阶分式”．
x+ y2 y+x2
a 2b
（3）分式 与 互为“1阶分式”，
a+4b2 a2+2b
a 2b
∴ + = 1，
a+4b2 a2+2b
a3+2ab 2ab+8b3 1，
+ =
(a+4b2 )(a2+2b) (a+4b2 )(a2+2b)
a3+2ab+2ab+8b3 1，
=
a3+2ab+4a2b2+8b3
即2ab＝4a2b2，
又∵a，b为正数，
1
∴ab=
2
1
故ab的值为 ．
2
【总结提升】此题考查了解分式方程，以及负整数指数幂，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，6）、C（6，0），∠ABC+∠ADC＝
180°，BC⊥CD．
（1）求证：∠ABO＝∠CAD；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．【思路引领】（1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；
（2）过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，作 AE⊥CD 的延长线于点 E，作 DG⊥x 轴于点 G，证明
△ABF≌△ADE、△ABO≌△DAG，利用面积和可得四边形ABCD的面积；
（3）作 EH⊥BC 于点 H，作 EG⊥x 轴于点 G，根据角平分线的性质得到 EH＝EG，证明
△EBH≌△EOG，得到EB＝EO，根据等腰三角形的判定定理解出即可．
【解答】解：（1）如图1，在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°．
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°．
∴∠BAD＝90°．
∴∠BAC+∠CAD＝90°．
又∵∠BAC+∠ABO＝90°．
∴∠ABO＝∠CAD．
（2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G．
∵A（﹣3，0），B（0，6），C（6，0），
∴OA＝3，OB＝OC＝6．
∴∠BCO＝45°．
又∵BC⊥CD，
∴∠BCO＝∠DCO＝45°．
又∵AF⊥BC，AE⊥CD，
∴AF＝AE，∠FAE＝90°．
∴∠BAF＝∠DAE，
∴△ABF≌△ADE（SAS）．∴AB＝AD．
又∵∠AGD＝∠BOA＝90°，
∴△ABO≌△DAG．
∴DG＝AO＝3，AC＝AO+OC＝9．
1 1 81
∴S四边形ABCD = AC•（BO+DG ）= ×9×(6+3)= ．
2 2 2
（3）如图3，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，
∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，
∴EH＝EG．
又∵∠BCO＝∠BEO＝45°，
∴∠EBC＝∠EOC．
∴△EBH≌△EOG（AAS）．
∴EB＝EO．
又∵∠BEO＝45°，
∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°．
∵∠OBC＝45°，
∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°．
∴BF＝BO＝6．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、图形与坐标特点，难度适中，
掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
