文档内容
22.1 二次函数的图象和性质
【提升训练】
一、单选题
1．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为 ，且经过点 ．下列说法：①
；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上的两点，则 ；
⑤ （其中 ）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于点 、点 ．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，它的
对称轴为直线 ．则下列选项中① ；② ；③ ；④ ：⑤当
（ 为实数）时， ，其中正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知二次函数 （ 、 是常数， ）的图象经过点 和 ，且当
时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．将二次函数 位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图像，这个新图像对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＞0 B．b2-4ac＜0 C．a+b+c＞0 D．点A的坐标为（﹣2，0）
7．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三
个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
8．二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ，② ，③
，④ ，正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在“探索函数 的系数 ， ， 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四
个点： ， ， ， ，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，
发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 的值最大为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数 的图像如图所示，点 在 轴的正半轴上，且 ，设
，则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，则其面积
．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 ，则此三角形面积的
最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，与x轴的另一个交点
为B，点C为抛物线顶点．下列结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＞0；③a＋b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC
是等腰三角形时，a＝ ．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13．已知二次函数 的图象经过第一象限的点 ，则一次函数 的图
象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．设 ， 分别是函数 ， 图象上的点，当 时，总有 恒成
立，则称函数 ， 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”．则下列结论：
①函数 ， 在 上是“逼近函数”；
②函数 ， 在 上是“逼近函数”；
③ 是函数 ， 的“逼近区间”；
④ 是函数 ， 的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
15．一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
16．二次函数 的图象过 四个点，下列说
法一定正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
17．若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（
）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4
A．4 B．3 C．2 D．1
19．二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）A．若 ， 是图象上的两点，则
B．
C．方程 有两个不相等的实数根
D．当 时， 随 的增大而减小
20．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知
△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分
为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（ ）
A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2
21．已知二次函数 ，其中 ，当 时，y的最大值与最小值的差为16，则
m的值为（ ）
A． B． C． D．2
22．已知函数 ，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或
23．已知抛物线 经过点A（1，0），B（5，0）两点， ， 是关于x的一元二次方程的两根，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
24．如图，正三角形 和正三角形 的边 ， 在同一条直线上，将 向右平移，直到
点 与点 重合为止，设点 平移的距离为 ， ， ．两个三角形重合部分的面积为 ，现
有一个正方形 的面积为 ，已知 ，则S关于 的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
25．如图，已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ，且对称轴为直线
，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，抛物线
一定经过 ；⑤ ．其中正确结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平
移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A． 或2 B． C．2 D．
27．已知二次函数 ，当 时， ，则m的取值范围为（
）
A． B． C． D．
28．二次函数 的图象如图所示，对称轴为 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
29．如图是二次函数 在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的是（ ）A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
30．已知抛物线 ，当 时，y的最大值为2，则当 时，y的最
小值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
二、填空题
31．如图，抛物线的解析式为 ，点 的坐标为 ，连接 ：过A 作 ，分别交y轴、
1
抛物线于点 、 ：过 作 ，分别交y轴、抛物线于点 、 ；过 作 ，分
别交y轴、抛物线于点 、 …：按照如此规律进行下去，则点 （n为正整数）的坐标是_________．32．如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一
点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正
方形时，线段CD的长为_________．
33．如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ；② ；③
；④当 时， ．其中正确的是________（填写序号）．34．如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点A，对称轴为直线 ，下面结论：
① ；
② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
35．如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 ，对称轴为直线 ，与
轴的交点 在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当 时， ；② ；
③对于任意实数 ， 始终成立；④ ，其中正确的结论的序号是
________．三、解答题
36．如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 和点 （点 在点 的右边），
且 ．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的
周长的最小值；
（3）如图2，点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3：5两部分，求点
的坐标．
37．二次函数 ．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点 作直线 轴，当直线 与抛物线只有一个公共点时，求 关于 的函数表达式；
（3）若对于每一个 值，它所对应的函数值都不小于1，求整数 的值．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于 两点，点 在 轴上，点 在 轴上，
点的坐标为 ，抛物线 经过点 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式 的解集；
（3）点 是抛物线上的一动点，过点 作直线 的垂线段，垂足为 点,当 时，求P点的坐
标．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得
到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程 的解为：__________；③若方程 有四个实数根，则 的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象？写出平移过程，
并直接写出当 时，自变量 的取值范围．
40．如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的
对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
41．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过
程．以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
﹣
x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 …
3﹣
y … 7 5 3 ﹣1 3 …
1
（1）如表是y与x的几组对应值，则a＝ ，k＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分点并绘制了部分图象，请把该函数的图象补充完整，并
写出该函数的一条性质： ；
（3）如图，在平面直角坐标系中作出了函数y＝﹣x＋2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集（结果保留1位小数，误差不超0.2）
42．已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a（a为常数，且a≠0）
（1）求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
43．如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交于点 和点 ，与y
轴交于点C．（1）求 的值；
（2）点 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 于点Q．
①当 时，求当P点到直线 的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求
出m的值．
44．如图，抛物线 与直线 交于点A(2，0)和点 ．
（1）求 和 的值；
（2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
（3）点 是直线 上的一个动点，将点 向左平移 个单位长度得到点 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 的横坐标 的取值范围．
45．在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点 ， 在抛物线上，且 ，则m的取值范围是 ；（直接写出结
果即可）
（3）当 时，函数y的最小值等于6，求m的值．
46．在平面直角坐标系xoy中，抛物线 ，顶点为P，直线 与抛物线交于
点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当 时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．
47．已知二次函数 （其中m为常数）．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）求证：:无论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两个公共点．
（3）当 时，该函数有最大值3，求m的值．48．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程 的根，则 _____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于 的方程 的根，求 的值；
（3）若它的一个实数根是关于 的方程 的根，求 的最小值．
49．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B与点C的坐标分别为
， ，点M是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作 轴于点D，交抛物线于点E，
求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若在线段MB上存在点P，使得 为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
50．如图，二次函数 的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且 ．当 时， ．求m的取值范围．51．在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）．
（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．
（2） 已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，
结合函数的图象，求a的取值范围．
备用图
52．如图，二次函数 的图象与 轴分别交于点 （点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ，且经过点 ．（1）求 的值．
（2）将点 向下平移 个单位至点 ，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ．若
，求 的值．
53．二次函数 的顶点 是直线 和直线 的交点．
（1）当 时， 的值均随 的增大而增大，求 的取值范围．
（2）若直线 与 交于点 ．
①当 时，二次函数的最小值为 ，求 的取值范围．
② 和 为二次函数上的两个点，当 时，求 的取值范围．
54．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点
C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此
二次函数图象上，求m，n的值．55．如图1，抛物线 与 轴交于点 ， ，点 为抛物线顶点，连接 ，
， 与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求该抛物线解析式，并写出顶点 的坐标；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ，当 时，请直接写
出点 的横坐标；若不存在，说明理由．
