文档内容
期中押题重难点检测卷（提高卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题
的关键．
【详解】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确；
对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确；
对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确；
故选：C．
2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的运算及性质是解题的关键；因此此题
可根据二次根式的运算进行排除选项．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、 ，原计算错误，故不符合题意；
C、 ，计算正确，故符合题意；
D、 ，原计算错误，故不符合题意；
故选C．
3．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角
三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．欲求证是否为直角三
角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，据此进行逐项分析即可作答．
【详解】解：A、 ， ，故A不符合题意；
B、 ， ，故B符合题意；
C、 ， ，故C不符合题意；D、 ， ，故D不符合题意；
故选：B．
4．（河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价一数学试卷）《算法统宗》是
由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人
齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：
“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步 尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋
千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长 为 尺，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
设秋千绳索的长 为 尺，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：根据题意，设秋千绳索的长 为 尺，
则 ；
故选：C
5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．将 化为 ，然后把 ， 代入求值即可．
【详解】解：
，
∵ ， ，
∴原式 ，
故选： ．
6．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，如图长方形 中， ，将此长方
形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意，设 ，则 ，在 中由勾股定理得到 ，则
，结合三角形面积的计算公式即可求解．
【详解】解：根据折叠可得， ，
∴设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
整理得， ，解得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
故选：D ．
7．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴、化简二次根式、整式的加减等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先
根据数轴的性质可得 ， ，从而可得 ， ， ，再化简二次根式
和绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知， ， ，
∴ ， ， ，
∴
，
故选：A．
8．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在矩形 中， ， ，P是 上不与A
和D重合的一个动点，过点P分别作 和 的垂线，垂足为E，F，则 的值为 （ ）A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解
题的关键．连接 ，利用勾股定理列式求出 ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出 ，然
后根据 列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴解得 ，
故选： ．9．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 为
边上任意一点，连接 、将 沿 方向平移至 ，连接 、 ，则当 取得最小值时，
的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到 边的长度，根据平行四边形的性质，
得知 最短即为 最短，利用垂线段最短得到点 的位置，再根据 得到 的长度，继而
得到 的长度，从而即可得解．
【详解】解： ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
最短也就是 最短，
过 作 的垂线 ，垂足为 ，连接 ，
∵垂线段最短，
∴当点P在点 处时， 最小，即 最小，∵
即
∵
，
则 的最小值为 ，
，
，
∴当 取得最小值时， 的长为 ．
故选：C．
10．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为8的正方形 中，点E，F分别是边 ，
上的动点，且满足 ， 与 交于点O，点M是 的中点，G是边 上的点， ，
则 的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】A
【分析】先证明 ，得到 ，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定
理解答即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M是 的中点，
∴ ，
延长 到点N，使得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴当D，F，N三点共线时， 取得最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最小值是 ，
故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方
形的性质，勾股定理是解题的关键．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）化简 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了分母有理化，根据分子和分母同时乘上 ，运用平方差公式进行运算，从而化简
原式为 ，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）平行四边形 中， ， ，则平行四边形
的周长为 ．
【答案】28
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答的关键．
由平行四边形的对边相等即可求得其周长．
【详解】∵平行四边形 中， ， ，
∴平行四边形的周长为 ．
故答案为：28．
13．（河南省商丘、济源市部分学校2024-2025学年八年级下学期阶段性评价一数学试卷）如图，在数值
转换机中输入 ，第1次输出的结果为 ；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．直接按照程序规定的计算法则结合二次根式的乘法运算法则
计算即可．
【详解】解：第1次， ；
第2次， ；
第3次， ；
第4次， ；
第5次， ；
第6次， ；
故答案为： ．
14．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
点 、 、 都在格点上，若 是 的边 上的高，则 ．【答案】
【分析】本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，二次根式的化简，先利用割补
法求出 的面积，再利用勾股定理求出 的长，再利用三角形面积公式求出 即可．
【详解】解： ，
由勾股定理得 ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）图1是某区域的监控警示图标，图2是抽象出的几何模型，已
知 为直角，若 段长 ， 段比 段长 ，则 段的长度为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，掌握勾股定理是解题关键．设 段的长度为 ，
则 段的长度为 ，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设 段的长度为 ，则 段的长度为 ，
由勾股定理得： ，则 ，
解得： ，
即： 段的长度为8 ，
故答案为：8．
16．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为 的正方形 中，点 、点 分别是 、
上的点，连接 、 、 ，满足 ＝ ．若 ＝ ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
在 上截取 ，连接 ，证明 ， ，可得 ，在
中，根据勾股定理求出 ，进而可以求出结果．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
， ， ，
在 中，根据勾股定理，
得 ，
，
解得 ，
，
的长为 ．
17．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图， 中， ， ， 的平分线与线
段 交于点 ，且有 ，点 是线段 上的动点（与A、B不重合），连接 ，当 是
等腰三角形时，则 的长为 ．
【答案】 或12
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的定义，掌握以上知识，
数形结合，分类讨论思想是解题的关键．
根据含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义得到 ， ，
，当 时， ；当 时，解得 ；由此即可求解．【详解】解： ，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
如图，作 于 ，
在Rt 中， ，
，
，
，
在Rt 中， ，
，
在 中， ，
，
当 时，
∴ ；当 时，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，即
∴ ，
解得， ，
点 与A、B不重合，
，
综上所述：当 是等腰三角形时， 的长为 或12．
故答案为： 或12．
18．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，在边长为6的正方形 中， 为对角线 上一点，
连接 ，过点 作 的垂线交 边所在的直线于点 ，连接 ，交对角线 所在直线于点 ，若
，则线段 ．
【答案】 或
【分析】根据 分两种情况①当点 在线段 上时，②当点 在 延长线上时，作辅助线，结
合正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，证明三角形全等，结合全等三角形性质建立方程求解，即可解题．
【详解】解：①当点 在线段 上时，
过点 作 ，
四边形 为正方形，
， ，
四边形 为矩形，
，
，
为正方形对角线，
，
，
，
设 ，又正方形 边长为6，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
同理可证， ，
又 ，
，解得 ，，
②当点 在 延长线上时，
由①同理可得 ，
又 ，
，
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，
解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，并结合全等三角形性质建立方程．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算；
（1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可；
（2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
20．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）先化简，再求值： ；其中 ．
【答案】 ，
【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出 ，再把 代入化简，
即可得答案．此题主要考查了分母有理化，分式的混合运算，分式运算时需注意先算括号、再算乘除、最
后算加减；加减运算时通分是最重要的一步，乘除运算时要先将分子分母进行因式分解；正确进行分式的
混合运算是解题关键．
【详解】解：
，当 时，原式 ．
21．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西 方向上，小岛B位于港口
C的北偏东 方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
(1)求小岛A与港口C的距离；
(2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距
离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里
(2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A
【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）过点C作 于点D，首先利用等面积法求出 ，然后利用勾股定理求出 ，进
而求解即可．
【详解】（1）解：由题意得 ， ， ．
在 中， ，
∴ ．
答：小岛A与港口C的距离为150海里；
（2）解：过点C作 于点D，
当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （小时）．
答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A．
22．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中，点E、F在 上， ，
．
(1)求证： ；
(2)连接 、 ，求证： ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）先根据平行四边形的性质得 ，则 ，再得出 ，
证明 ，即可作答．
（2）根据全等三角形的性质得 ，则 ，结合一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形，即可作答．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ．
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
23．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分
也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方
式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 ．
(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 ， ，则空白部分的面积为 ．
(2)如图3，长方形 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，即可求解；
（2）根据勾股定理求得 ，进而设 ，则 ， ，
在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，
∵ ， ，
∴空白部分的面积 ；故答案为： ．
（2）解：∵折叠，
∴ ，在 中，∵ ， ，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
∴
解得：
即
24．（24-25八年级上·广东广州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入
微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中形与数互相配合的重要性．“数形
结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，
抽象问题具体化．
例如：已知 （数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分
别为3、4，计算结果为斜边 （图形形式）长度为5，如图1；同理计算 （数的形式）
可以看成直角边长度分别为 、8，结果为斜边 （图形形式）长度为 ，如图2．
利用数形结合的思想解决下面问题：
已知 ，请求出 的最小值．【答案】130
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．取线段 ，
使 ，在 上任取一点 ，设 ， ，构造直角三角形，使 ，且
， ，则 ，可得当点 ， ， 三点共线时， 的值最
小，最小值等于 的长，构造直角三角形计算即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，取线段 ，使 ，在 上取一点 ，设 ， ，构造 ，
，使 ，且 ， ，
则 ， ， ，
则 ，
当点 ， ， 三点共线时， 的值最小，
即 的值最小，最小值等于 的长，
过点 作 交 延长线于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
．
的最小值为130．
25．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知矩形 中， ， ，将矩形
绕点 逆时针旋转得到矩形 ，点 ， 的对应点分别为点 ．(1)如图1，当点 落在边 上时，求 的长；
(2)当点 ， ， 在一条直线上时，设 与 的交点为 ，求 的长；
(3)如图2，设点 为边 的中点，连接 ， ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否
存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据两边之和大于第
三边确定h的最大值成为解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，由勾股定理可得
，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：连接 ，根据矩形的性质可得 ， ， ，再运用勾
股定理可得 ，然后根据折叠的性质可得 、 ，最后由勾股定理可得
，即 ，再证明 可得 ，即 ，最后根据勾股定理
列方程求解即可；
（3）如图：连接 ，作 于点M，由折叠性质和矩形的性质可得 ，
， ，然后根据中点的定义以及勾股定理可得 ；当 与 共线且
时， 面积最大，先求出 ，进而求得面积的最大值．【详解】（1）解：∵矩形 中， ， ，
∴ ，
∵将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，点 落在边 上，
∴
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：连接 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，点 ， ， 在一条直线上，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ．
（3）解：如图：连接 ，作 于点M，
∵将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，
∴ ， ， ，
∵点 为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
当 与 共线且 时， 面积最大，
，
，
∴ 的最大值为 ．
26．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称
性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．(1)【活动一】在矩形 中，现将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，如果 ， ，
求 的长．
(2)【活动二】如图 ，在矩形 中，点 从 边的中点 出发，沿着 匀速运动，速度为每
秒 个单位长度，到达点 后停止运动，点 是 上的点， ，设 的面积为 ，点 运动的
时间为 秒， 与 的函数关系如图 所示．
图 中 ， ，图 中 ．
点 在运动过程中，将矩形沿 所在直线折叠，当 时，折叠后顶点 的对应点 落在矩形的一边
上．
【答案】(1)
(2) ， ， ； 秒或 秒或 秒
【分析】（1）由折叠的性质得 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定
理得： ，即 ，解出 的值即可求解；
（2） 从图 看出：点 从 到 ，面积逐渐增大，点 从 到 ，面积不变，故再从图 看出：
， ，再计算即可；
分三种情况： 在 上，且在 左方，或 在 上，且在 右方，或 在 上，再运用勾股定理
计算即可．
【详解】（1）解： 在矩形 中，现将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
， ， ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，，
解得： ，
即 ；
（2）解： 从图 看出：点 从 到 ，面积逐渐增大，点 从 到 ，面积不变，
故再从图 看出： ， ，
，
故答案为： ， ， ；
如图 ，过 作 交 于点 ，
由翻折得 ， ，
， ，
，
在 中， ，
，
；
如图 ：
由翻折得 ，
，
，，
，
当点 从 运动到图 为止时， ，
在 中， ，
，
；
如图 ：
由翻折得 ，
，
，
，
，
，
由翻折得 ，
，
，
，
综上所述， 的值为 秒或 秒或 秒，
故答案为： 秒或 秒或 秒．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握
以上知识点是解答本题的关键．
