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专题 05 轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）
专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期
中、
期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短
路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。适合于培训机构的老师给学生作培训
时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 轴对称图形
1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．
2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A．a=3，b=－5 B．a=－3，b=5 C．a=3，b=5 D．a=－3，b=1
【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．
3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（ ）
A．3：55 B．8：05 C．3：05 D．8：55
【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称
知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线
的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．
4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片 沿 折叠后 与 的交点为 ， 、 分别在 、
的位置上，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【详解】解： 四边形 是长方形，∴AD BC，∴ ，由折叠的性质得：
， ，又∵AD BC， ，
，故选：B．
题型二 垂直平分线的性质与判定
1. 垂直平分线的定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．
2. 垂直平分线的性质
垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．
3.垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5．（2015·湖北）如图， ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则 BDC的
周长是（ ） △ △
A．8 B．9 C．10 D．11
【详解】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长
=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．
6.（2017·湖北）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的
度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．75°【详解】∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．
7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°
＝40°故选：B．
8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接
EC．
（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．
【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5．
9．（2021·北京）如图所示， 是 的角平分线， 是 的垂直平分线，交 的延长线于点
F，连结 ，求证： ．【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋
∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，
∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．
10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，
过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．
【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，
∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，
在Rt△PBN和Rt△PCM中， ，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．
11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分
线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中， ，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中， ，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的
延长线于N．
（1）证明：BM＝CN；
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．
【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝
DN，
∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝
DN，
在 Rt△DMA 和 Rt△DNA 中， ，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，
∵∠BAC＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝
110°，
∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝ BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，
∴∠DCB＝35°．
13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD= ∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
14．（2019·广东）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
【详解】证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，
OE=OE，
∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC=OD；
（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．
题型三 尺规作图15．（2022·辽宁）已知在 中，点 为线段 边上一点，则按照顺序，线段 分别是 的
（ ）
A．①中线，②角平分线，③高线 B．①高线，②中线，③角平分线
C．①角平分线，②高线，③中线 D．①高线，②角平分线，③中线
【详解】解：①由作图方法可知，AD是BC边上的垂线，即AD为△ABC的高；②由作图方法可知AD是
∠BAC的角平分线；③由作图方法可知D在BC的垂直平分线上，即AD是BC的中线；故选D．
16．（2022·山东）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交
于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 的周长为12， ，则 的周长
为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【详解】根据题意可知MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD．∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12．
∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD=7，所以△ADC的周长为7．
17．（2022·福建）如图，已知 ABC．
△
(1)求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：如图，线段AD，线段AE即为所求．
（2）解：∵∠CAB=180°-∠B-∠C=80°，AE平分∠CAB，∴∠CAE= ∠CAB=40°，∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=25°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=15°．
18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．
（1）已知：线段AB，作出线段AB的垂直平分线MN．
（2）已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．
【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；
（2）如图（2），OC为所作；
19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．
求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．
理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，
∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．
题型四 最短路径问题
20.（青竹湖）如图，在△ 中， ， 、 是△ 的两条中线， 是 上一个动点，
则下列线段的长度等于 最小值的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．
21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小
值时，∠APB的度数是（ ）
A．40° B．100° C．140° D．50°
【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交
OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．
22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．
(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△AOB，并直接写出点A 和点B 的坐标；（不写画法，保留画图
1 1 1 1
痕迹）
(2)在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．
（1）解：如图所示，即为所求，
由图形知， ， ；
（2）解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴的交点，即为点 ，
23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P （x ，y ）、P （x 、y ），其两点间的距离P P
1 1 1 2 2 2 1 2＝ 问题解决：已知A（1，5），B（7，3）
（1）试求A、B两点的距离；
（2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使 PA+PB的长度最短，求出PA+PB的最短长
度．
（3）在x轴上有一点M，在y轴上有一点N，连接A、N、M、B得四边形ANMB，若四边形ANMB的
周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB的最小周长．
【解答】解：（1）∵A（1，5）、B（7，3），
∴AB＝ ＝ ＝2 ，
即A、B两点的距离为：2 ；
（2）如右图1所示，
作点A关于x轴的对称点A′，∵A（1，5）、B（7，3），∴A′（1，﹣5），
∴A′B＝ ＝10，即PA+PB的最短长度是10；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′于y轴交于点N，与
x轴交于点M，如图2所示，
∵A（1，5）、B（7，3），∴A′（﹣1，5），B′（7，﹣3），∴AB＝2 ，A′B′＝ ＝8 ，∴四边形ANMB的最小周长是8 +2 ．
题型五 等腰三角形的性质与判定
1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高重合。（简称：三线合一）
24．已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．14或16
【解答】解：（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，周长＝4+4+5＝14；
（2）当6是腰时，符合三角形的三边关系，周长＝4+6+6＝16．故选：D．
25．（2022·四川）如图，已知 中， ， ， 和 的平分线相交于点 ，过点
作 的平行线，分别交 ， 于 ， ，则 的周长是__________．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∵EF BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，∴EB=ED，FD=FC，
∵AB=6，AC=8，∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=14，
∴△AEF的周长为：14．
26．（2020·北京）等腰 ABC的一个角为30°，则其顶角度数为__________．
【详解】解：一：当等腰△三角形的顶角为30°；
二：当等腰三角形的底角为30°时，其顶角= ，
故答案为：30°或120°．
27．（2021·广西）如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，
则∠B的度数是（ ）A．45° B．60° C．50° D．55°
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵MN是AE的垂直平分线，∴AC＝EC，∴∠CAE＝∠E，∵AB＋BC＝BE，BC＋EC＝BE，
∴AB＝EC＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝2∠E，∴∠B＝2∠E，
∴∠BAC＝180°−∠B−∠ACB＝180°−4∠E，∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝180°−4∠E＋∠E＝105°，
解得：∠E＝25°，∴∠B＝2∠E＝50°，故选：C．
28．（2022·贵州）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．36° D．70°
【详解】设∠A=x，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=x，∴∠BDC=2x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，x+2x+2x=180°，解得：x=36°，
∴∠A=36°，故选：C．
29.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣50°）＝65°；当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB＝ ∠BAD＝25°，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
30．（2022·江苏）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和
BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：
(1)△AHE≌△BCE；
(2)AH=2BD．
【详解】（1）证明：∵AD是高，BE是高，∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠EBC=∠CAD，又∵AE＝BE，∠AEH=∠BEC，∴△AEH≌△BEC(ASA)；
（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD是高，
∴BC=2BD，∴AH＝2BD ．
31．（2020·北京）已知：在 ABC中，∠ABC=45°， 于点D，点E为CD上一点，且DE=AD，
连接BE并延长交AC于点F，△连接DF．求证：BE=AC．
【详解】证明：∵ ，∴ ，∵ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，在 和 中，
，∴ （SAS），∴ ．
32．（2021·重庆）在 中， ， ，点 为 的中点， 、 分别在 、
上，且 ．(1)求证： ；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
在 中， ， ，点 为 的中点， ， ， ，
在 与 中， ， ≌ ， ；
（2）解：等腰直角三角形．理由如下：由（1）知 ≌ ， ，
， ，
是等腰直角三角形．
33．（2021·河北）如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点
O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
（1）求证：OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．【详解】（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO，∴∠DAC=∠OAB，
在 AOB与 ADC中，
△ △
，∴△AOB≌△ADC，∴OB=DC；
（2）∵∠BOC=130°，∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC，∴∠ADC+∠AOC=230°，又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=90°，∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；
（3）当CD=CO时，
∴∠CDO=∠COD= =70°，
∵△AOD是等腰直角三角形，∴∠ODA=45°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，
又∠AOB=∠ADC=α，∴α=115°；当OD=CO时，∴∠DCO=∠CDO=40°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，∴α=85°；当CD=OD时，
∴∠DCO=∠DOC=40°，∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，∴α=145°，
综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时， AOD是等腰三角形．
34．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝B△E，AD＝BC，DE与BC交于点G，CF平分∠DCE．
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）试判断CF、DE的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD∥EB，∴∠A＝∠B，在△ACD和△BCE中， ，∴△ACD≌△BEC
（SAS），∴CD＝EC，∴△CDE是等腰三角形．
（2）解：结论：CF⊥DE，理由如下：∵△CDE是等腰三角形，CF平分∠DCE
由“三线合一”可知，CF⊥DE．
题型六 等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质：三边相等；三个角都等于60∘；30∘角所对的直角边是斜边的一半。
2、等边三角形的判定：三条边相等；两个角等于60∘；两边相等 + 一个60∘的角。
35．（2021·山东）如图，已知直线 ，将等边三角形如图放置．若 ，则 等于（ ）
A．17° B．22° C．27° D．32°
【详解】解：如下图所示，过三角形左边的顶角，作直线 ，直线 将三角形的顶角分成两个角，
分别是 和 ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
故选：B．
36．（2021·四川）如图，点D、E分别在等边三角形ABC的边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE相
交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．60° B．55° C．45° D．30°
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC，又∵BD=CE，∴△BCE≌△ABD
（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠APE=∠BAD+∠ABP，∴∠APE=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°，故选A．
37．（2021·福建）下列说法错误的是（ ）
A．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合
C．三角形三条边上的中垂线的交点到三个顶点的距离相等
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
【详解】解：A选项中，根据角的轴对称性质可得，正确；B选项中，等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，错误；
C选项中，三角形三条边上的中垂线的交点为三角形的外接圆圆心，到三个顶点的距离相等，正确；
D选项中，有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确，故选：C．
38．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边
上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（2），（4）推
出等边三角形，而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：B．
39．（2021·四川）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=___．
【详解】作EG⊥OA于G，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°．∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2．
40．（2021·重庆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝
1，则BC的长是_____．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝BD+CD＝1+2＝3，故答案为3．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC中点，DE⊥AB于E，AD＝4，求线段BE的长度．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝ ×（180°﹣120°）＝30°，∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠B＝30°，∴AE＝ AD＝ ×4＝2，AB＝2AD＝2×4＝8，∴BE＝AB
﹣AE＝8﹣2＝6．
42．（2021·云南）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作
EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
43．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于
点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝18cm，求CM的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；
（2）解：∵△PMN是等边三角形，∴PM＝MN＝NP，
在△PBM、△MCN和△NAP中， ，
∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），∴PA＝BM＝CN，PB＝CM＝AN，∴BM+PB＝AB＝18cm，
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝18cm，∴PB＝6cm，
∴CM＝6cm．
44．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接
DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO＝12，求OE的长．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，又∵AE＝CD，
在△ABE与△CAD中， ，∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）由上得∠ABE＝∠CAD AD＝BE，∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝60°；
（3）∵BQ⊥AD，∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，又∵AD＝BE，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
45．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝
1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）求AD的长．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，又∵AE＝CD，
在 ABE与 CAD中，
△ △
，∴△ABE≌ CAD（SAS）
△
（2）由（1）得∠ABE＝∠CAD AD＝BE，∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝60°；
（3）∵BQ⊥AD，∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，又∵AD＝BE，∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
46．（2019·重庆）如图，P为等边 ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D．
△
（1）求证：DP＝DB；
（2）求证：DA+DB＝DC；
【详解】(1) ∵AH是PC的垂直平分线∴PA＝PC＝AB∵AD平分∠PAB∴∠PAD＝∠BAD
在 PAD和 BAD中， ∴△PAD≌△BAD（SAS）∴DP＝DB
△ △
(2) 在CP上截取CQ＝PD，连接AQ∵AP＝AC∴∠APD＝∠ACQ
在 APD和 ACQ中， ∴△APD≌△ACQ（SAS）∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD
△ △
∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°
∴△ADQ为等边三角形，∴AD＝DQ，∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB。
