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专题 07 整式的加减压轴题专项训练
1．当 时， ；当 时，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 ，代入式子得到 ，把 代入后变形，再代入即可求出最后结
果．
【详解】解：将 ，代入式子得： ，
将 ，代入式子得： ，
故选： ．
【点睛】本题考查了代数式求值，能够求出式子的值整体代入是解答本题的关键．
2．一列数 ， ， … ，其中 ， ， ，…， ，则
（ ）
A． B．1 C．2020 D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特
点，然后即可求得所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
， ，
即这列数依次以 ， ，2循环出现，， ，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化特点，明确题意、发现数字的变化特点是解题的关键．
3．一只小球落在数轴上的某点 处，第一次从 处向右跳1个单位到 处，第二次从 向左跳2
个单位到 处，第三次从 向右跳3个单位到 处，第四次从 向左跳4个单位到 处…，若小
球按以上规律跳了 次时，它落在数轴上的点 处所表示的数恰好是 ，则这只小球的
初始位置点 所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据跳动规则，分奇数、偶数探索出遵循的基本规律，确定计算即可．
【详解】解：设点 所表示的数是a，
则点 所表示的数是 ，
点 所表示的数是 ，
点 所表示的数是 ，
点 所表示的数是 ，
∴点 所表示的数是 ，
∵点 处所表示的数恰好是 ，
∴ ，
解得， ，故选：B．
【点睛】本题考查了数字中的规律问题，根据序号的奇数，偶数分类探索规律是解题的关键．
4．如图，将一枚跳棋放在七边形 的顶点 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2023次．移
动规则是：第 次移动 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在 处，第二次移动2个顶点，
跳棋停留在 处）．按这样的规则，在这2023次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A． 、 B． 、 C． 、 、 D． 、 、
【答案】C
【分析】设顶点 分别是0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了 次后走
过的总格数是 ，然后根据题目中所给的第 次移动 个顶点得规则，可
得到不等式，即可得到答案．
【详解】解：设顶点 分别是0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了 次后走过的总格数是 ，
所以应停在 格，这时 为整数，且使 ，分别取
时， ，发现第2，4，5格没有停棋，
若 ，
设 （ ）代入可得：
，
由此可知，停棋的情形与 相同，
所以第2，4，5格没有停棋，即顶点 、 、 棋子不可能停到，
故选：C．【点睛】本题主要考查了整式加减的探究规律，解题的关键是弄清题意，总结归纳出题目中的规律．
5．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式
对x取任意有理数都成立，例如给x赋值 时，可求得
．请再尝试给x赋其它的值并结合学过的方程知识，求得 的值为 ．
【答案】41
【分析】根据题干给出的信息，令 ，得出 ，令 ，得出
，把 代入得出 ，即可求出
结果．
【详解】解：令 ，则 ，
即 ，
∴ ，
令 ，则 ，
即 ，
把 代入得：
，
整理得： ，
解得： ．
故答案为：41．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是理解题意，得出 ，．
6．已知单项式 与 是同类项，则代数式 的值是 ．
【答案】2023
【分析】根据同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求得 ，再整体
代入计算即可．
【详解】解：根据同类项的定义得： ， ，
即 ，
∴ ．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了同类项的定义，代数式的求值，掌握同类项的定义是解题的关键，即：所含字
母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
7．已知 ， 互为相反数， ， 互为倒数， ， 的绝对值为2，则
的值为 .
【答案】 或
【分析】首先根据题意求出 、 、 、 、 的值，然后代入所求式子进行计算即可得.
【详解】解： ， 互为相反数， ， 互为倒数， 的绝对值为 ，
， ， ， ， ，
即 ， ， ， ， ，
当 时， ，
当 时，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了相反数、倒数、绝对值的性质、有理数的混合运算等，熟练掌握运算法则并运
用分类讨论思想是解本题的关键．8．探索下列式子的规律： ， ， ，……，请计算：
．
【答案】
【分析】先根据规律写出 ， ， ，…… ，
，再将等式左右同时叠加得出： ，两边同
时除以3，得出 ，即可得出答案．
【详解】解：根据式子的规律：
，
，
，
……
，
，
将以上等式左右同时叠加得出： ，
两边同时除以3，得出 ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字的规律，根据题目找出规律是解题的关键．
9．当 ， 时，代数式 ，那么当 ， 时，代数式
的值为 ．
【答案】1998
【分析】先把 ， 代入 ，整理得 ，再把 ， 代入 ，整理得 ，变形为 ，再整体代入即可求解．
【详解】解：把 ， 代入 得 ，
整理得 ，
把 ， 代入 得
．
故答案为：1998
【点睛】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体代入是解
题关键．
10．等边 在数轴上的位置如图所示，点 、 对应的数分别为0和 ，若 绕着顶点顺
时针方向在数轴上连续翻折，翻转1次后，点 所对应的数为1；则翻转 次后，点 所对应的
数是 ．
【答案】
【分析】根据翻折，发现B所对应的数依次是： 即第一次和第二次对应的
是1，第四次和第五次对应的是4，第七次和第八次对应的是7，即：第 ， 次翻折对应
的数字为： ，根据这一规律进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴翻转 次后，点 所对应的数是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字类规律探究问题；通过图形，抽象概括出数字规律是解题的关键．11．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如 ，
）．“智慧数按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，
16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2021个“智慧数”是 ．
【答案】2697
【分析】根据题意观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组
的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1．归纳可得第n组的第二个数为 ，
又因为 ，所以第2021个智慧数是第674组中的第2个数，从而得到
．
【详解】解：观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第
一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1．
归纳可得第n组的第二个数为 ，
∵ ，
∴第2021个智慧数是第674组中的第2个数，
即为 ．
故答案为：2697．
【点睛】本题考查了探索规律的问题，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案．
12．若一个三位正整数 （各个数位上的数字均不为0），若满足 ，则称这个三
位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数
n；记 ，则 ，对于一个“合九数”m，若 能被8整除，则满足
条件的“合九数”m的最大值是 ．
【答案】 171
【分析】按照 的定义计算即可；设 ,则 ,由题可
得 ，由 能被8整除，即 是8的整数倍，得到 ，即b
最大时，“合九数”m最大，得到结果．【详解】解： ，
设 ，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即
，
∵ 能被8整除，
∴ 是 的整数倍，
又 的整数，
∴ ，
即： ，
∵b最大时，“合九数”m最大，
所以当 时，m最大为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键．
13．渠县同心百货、繁鑫文印两家惠民文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每
张4元．为促销，同心百货商店推出的优惠方案是：买1支毛笔送2张宜纸，繁鑫文印商店的优惠
方案是：按总价的九折优惠．小丽同学想购买5支毛笔，x张宜纸 ．
(1)用含x的代数式填空：①若到同心百货商店购买，应付_______元；②若到繁鑫文印商店购买，
应付______元；
(2)若小丽同学要买50张宣纸，选择哪家文具商店购买更划算？请说明理由．若购买200张呢？
【答案】(1) ，
(2)若小丽同学要买50张宣纸，选择同心商店购买更划算；若小丽同学要买50张宣纸，选择繁鑫文印商店购买更划算，理由见解析：
【分析】（1）根据所给的两个商店的优惠标准列式求解即可；
（2）根据（1）所求分别代入 ， 求出两个商店的费用即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，若到同心百货商店购买，应付 元；
若到繁鑫文印商店购买，应付
故答案为： ， ；
（2）解：若小丽同学要买50张宣纸，选择同心商店购买更划算；若小丽同学要买200张宣纸，选
择繁鑫文印商店购买更划算，理由如下：
当 时， ， ，
∵ ，
∴若小丽同学要买50张宣纸，选择同心商店购买更划算；
当 时， ， ，
∵ ，
∴若小丽同学要买200张宣纸，选择繁鑫文印商店购买更划算．
【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
14．已知关于 的多项式 ，其中 ， ， ， 为互不相等的整数．
(1)若 ，求 的值；
(2)在（1）的条件下，当 时，这个多项式的值为 ，求 的值；
(3)在（1）、（2）条件下，若 时，这个多项式 的值是 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由 是互不相等的整数， 可得这四个数由 ， ， ， 组成，
再进行计算即可得到答案；
（2）把 代入 ，即可求出 的值；
（3）把 代入 ，再根据 ，即可求出 的值．【详解】（1）解： ，且 是互不相等的整数，
为 ， ， ， ，
；
（2）解：当 时，
，
；
（3）解：当 时，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出 这四个数以及
之间的关系．
15．根据不等式的性质，可以得到：若 ，则 ，若 ，则 ，若 ，则
．这是利用“作差法”比较两个数成两个代数式值的大小，已知 ，
，请你运用前面介绍的方法比较整式A与B的大小．
【答案】
【分析】依据作差法列出代数式，然后去括号、合并同类项即可．
【详解】解：因为 ，所以
所以
【点睛】本题主要考查的是比较代数式的大小，掌握作差法比较两个代数式大小是解题的关键．
16．求值
(1)化简求值： ，其中x，y满足 ；
(2)已知多项式 与 差的值与字母x无关，求代数式
的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）有两重括号，从里往外去括号，每去掉一层括号后合并同类项，最后化简；再根据
非负数的和为零，这几个非负数全为零求出x与y的值，代入化简后的代数式中求值即可；
（2）先作差，整理成关于x的多项式，根据题意可求得a与b的值，再代入所求代数式中求值即
可．
【详解】（1）解：原式
＝ ；
， ， ，
， ，
∴ ， ，原式
；
（2）解：原式
；
差的值与字母x无关，
， ，
， ，
．
【点睛】本题是整式加减混合运算，求代数式的值，正确运算是解题的关键．
17．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
其中500元部分给予八折优惠，
500元或超过500元
超过500元部分给予七折优惠
(1)若王老师一次性购物600元，他实际付款___________元．若王老师实际付款160元，那么王老
师一次性购物可能是___________元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款___________元，
当x大于或等于500元时，他实际付款___________元（用含x的代数式表示并化简）；
(3)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（ ），用
含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当 元时，王老师两天一共节省
了多少元？【答案】(1)470，160或200
(2) ，
(3) ，195
【分析】（1）500元按8折计算，超出的7折计算，实际付款160元，分两种情况讨论：一次性购
物160元，没有优惠；一次性购物超过200元，有八折优惠；
（2）当x小于500元但不小于200时，他实际付款按8折计算，大于或等于500元时．他实际付款，
500这部分按8折计算，超出的 这部分7折计算；
（3）根据（2）的思路表示第一天购物实际付款和第二天购物实际付款．
【详解】（1）解： （元），
实际付款160元，有两种可能：
一是一次性购物160元，没有优惠；
二是一次性购物超过200元，则有八折优惠，则原价为 （元）．
所以，王老师一次性购物可能是160或200元．
（2）解：当x小于500元但不小于200时，实际付款 （元）
x大于或等于500元时，实际付款： （元）
（3）因为第一天购物原价为a元
则第二天购物原价为 元，则
第一天购物优惠后实际付款 （元）
第二天购物优惠后实际付款 （元）
则一共付款 （元）
当a=250元时，实际一共付款 （元）
一共节省 （元）
【点睛】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握要正确列代数式，只有分清数量之间的关系，
表示超出的部分是解题关键．
18．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价不超过 的部分 a元/
超过 但不超过 的部
1．5a元/
分
超过 的部分 2a元/
(1)当 时，某户一个月用了 的水，求该户这个月应缴纳的水费．
(2)设某户月用水量为 ，当 时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）．
(3)当 时，甲、乙两户一个月共用水 ，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月
用水 ，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）．
【答案】(1) ；(2)
(3)当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一
个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元
【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（3）分当 时，当 时，当 时，三种情况根据所给的收费标准讨论求
解即可．
【详解】（1）解： 元，
∴该户这个月应缴纳的水费为 元；
（2）解： 元，
∴当 时，该户应缴纳的水费为 元；
故答案为： ；
（3）解：∵ ，∴ ，
当 时，甲用水量超过 但不超过 ，乙用水量超过 ，∴
元；
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量超过 但不超过 ，
∴
元，
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量不超过 ，
∴ 元；
综上所述，当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，
乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费
元．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解
题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
