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专题 09 几何中动角问题的两种考法
类型一、判断角的数量之间的关系
例．如图所示，O是直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
（1）如图①，若 ，求 的度数；
（2）在图①，若 ，直接写出 的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的 绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的
度数之间的关系，说明理由．
【答案】（1）14°；（2） ；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE− ∠AOF＝90°
【详解】解：（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝ ∠BOC，∠COD＝90°．
∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．即∠DOE＝14°；
（2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，
∴∠DOE＝90°− ＝ ．故答案是： ；
（3）①∠AOC＝2∠DOE．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．
∴∠AOC＋2（90°−∠DOE）＝180°．
化简，得∠AOC＝2∠DOE；②2∠DOE− ∠AOF＝90°．
理由：∵ ，
∴2∠AOF＋∠BOE＝ （∠AOC−∠AOF），
∴2∠AOF＋∠BOE＝ ∠AOC− ∠AOF．
又∵∠AOC＝2∠DOE，
∴ ∠AOF＝∠DOE−∠BOE，
∴ ∠AOF＝∠DOB．
∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．
∴ ∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．
∴ ∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°．
化简，得2∠DOE− ∠AOF＝90°．
【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；
(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结
论直接写在你画的图的下面）
【答案】(1)60°；(2) ，理由见解析
(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°【解析】(1)解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°，
∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案为：60°
(2)解： ，理由如下：
∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC
∵OE平分∠BOC，∴
∵∠COD=90°，∴
(3)：如图3-1所示，当OD在∠AOB内部时，
∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；
如图3-2所示，当OD在∠AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，
∴2∠DOE-∠AOC= 180°+2∠COE-90°-2∠COE =90°；如图3-3所示，当OD在∠AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°；
如图3-4所示，当OD在△AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°；
综上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°．
【变式训练2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使 ，将一个直角三角形的直角
顶点放在点O处．（注： ）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则 ________ ；（2）如图②，将直角三角板DOE转到如图位置，当OC恰好平分 时，求 的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在 的内部，直接写出 和
的数量关系_________．
【答案】（1）20；（2）25°；（3）∠COE-∠BOD=20°
【详解】解：（1）如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20；
（2）如图②，∵OC平分∠EOD，∠DOE=90°，∴∠COD= ∠DOE=45°，
∵∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=25°；
（3）∠COE-∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【变式训练3】已知 ， ， ， 分别平分 ， ．
(1)如图1，当 ， 重合时， 度；
(2)若将 的从图1的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且 ．
①如图2，用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由；
②在 旋转过程中，请用等式表示 与 之间的数量关系，并直接写出答案．
【答案】(1) ；(2)① ；② 时， ； 时，【解析】(1) ， 重合，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
；
(2)① ；理由如下：
平分 ， 平分 ，
，
，
，
；
②由①得： ， ，
当 时，如图2所示：
，
，
，∴当 时，如图3所示：
，
，
；
∴
综上所述， 时， ； 时，
【变式训练4】如图，已知 ，将一个直角三角形纸片( )的一个顶点放在点 处，现将
三角形纸片绕点 任意转动， 平分斜边 与 的夹角， 平分 .
（1）将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若 ，则
_______；
（2）将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若射线 恰好平分 ，若
，求 的度数;
（3）将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中
和 的数量关系？并说明理由.【答案】（1） ；（2） ；（3） ，证明见解析
【详解】解：（1）∵ 平分斜边 与 的夹角， 平分 ．
∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴设
∴ ，
∵
∴ ，∴ ，故答案为:
（2）∵ ，∴设
∵射线 恰好平方 ，∴
∴
∵ 平分斜边 与 的夹角， 平分 ．∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴ ，∴
∵ ，∴ ，∴
(3) ,证明如下：当OC与OA重合时，设∠COD=x,则
∵ON平分∠BOD
∴
∴ ，∴
当OC在OA的左侧时
设∠AOD=a，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b
∵ON平分∠BOD，∴
∵OM平分∠AOC，∴
∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON当OD与OA重合时，∵ON平分∠AOB，∴
∵OM平分∠AOC，∴ ，∴
综上所述
类型二、定值问题
例．已知将一副三角尺（直角三角尺 和 ）的两个顶点重合于点 ， ，
（1）如图1，将三角尺 绕点 逆时针方向转动，当 恰好平分 时，求 的度数；
（2）如图2，当三角尺 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果
三角尺 在 内绕点 任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，
说明理由．
【答案】（1） ；（2）不变．
【详解】解：（1） 平分 ， ，
；图1 图2
（2）不变． 平分 ， 平分
，
【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向
旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同
时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）
（1）当t=2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；∠MOC的度数为
（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；
（3）当0＜t＜6时，探究 的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定
值？
【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值为 秒或10秒；（3）当0＜t＜ 时，的值不是定值；当 ＜t＜6时， 的值是3．
【详解】（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，
∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，
故答案为：144°，114°，60°；
（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）
①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，
解得t= ，
②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为 秒或10秒；
（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t= ，
①如图所示，当0＜t＜ 时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴ （不是定值），
②如图所示，当 ＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
∴ =3（定值），
综上所述，当0＜t＜ 时， 的值不是定值；当 ＜t＜6时， 的值
是3．
【变式训练2】已知将一副三角板（ ）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．
将直角三角板 绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时， _______度；如图2，若要 恰好平分 ，
则 _______度；
（2）如图3，当三角板 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果
三角板 在 内绕点O任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，
说明理由．
（3）当三角板 从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线 平分 、射线
平分 （ ），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持
不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时 的度数是
多少）．
【答案】（1）60，75；（2） ，理由见详解；（3）①当 时， ；②
当 时， 或120°，③当 时， ；④当 时，
或60°；⑤当 时，
【详解】解：（1）由题意得： ，∴ ，
∵ 恰好平分 ，∴ ，∴ ；故答案为60，75；
（2） 的度数不发生变化，理由如下：
∵射线 平分 ，射线 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）设旋转角度为 ，根据题意可得： ，
∵射线 平分 ，射线 平分 ，∴ ，
①当 时，如图所示：∴ ，
②当 时，即 为平角，可分为：
当点M在OB上，如图所示：
∴ ，
∴ ；
当点M在BO的延长线时，如图所示：
∴ ；
③当 时，如图所示：∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
④当 时，则 ，如图所示：
∴当ON平分在∠BOD的左边时，则 ，当ON平分在∠BOD的右边时，则 ；
⑤当 时，如图所示：
∴ ，
∴ ．类型三、求值问题
例.如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板（ ）
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．（注：本题旋
转角度最多 ．）
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过 秒后，
______度（用含 的式子表示），若 恰好平分 ，则 ______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转，如图3，经过 秒后， ______度（用含 的式子表示）若 平分 ，求 为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 平分 ？（直接写结果）
【答案】（1） ，5；（2） ， ；（3）经过 秒 平分
【解析】（1） ，∵ ，∴
∵ 平分 ， ，∴ ，∴
∴ ，解得： 秒
（2） 度，∵ ， 平分 ，∴
∴ ，∴ 解得： 秒
（3）如图：∵ ，
由题可设 为 ， 为 ，
∴
∵ ， ，
解得： 秒
答：经过 秒 平分 ．
【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝ ；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝ ；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方
向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？
【答案】（1）∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；
理由见解析，α＝54°；②23秒
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：145°，40°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；
②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°，
答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．
【变式训练2】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部， ， ．
（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当 ， 时， ______， ______， ______；
② ______（用含有 或 的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有 或 的代数式表示）
(3)如图（4），当 ， 时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同
时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1) ；(2) ， ；(3) 分钟时，∠MON的度数是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当 ， 时， ，
，
② ，故答案为：
(2)① OM平分∠POB，ON平分∠POA，
② OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案为： ，
(3)根据题意
OM平分∠POQ， ，如图，当 在 的外部时，
MON的度数是40°
ON平分∠POA， ， ，则 旋转了
分，即 分钟时，∠MON的度数是40°如图， 在 的内部时，
，即 ，
此情况不存在，综上所述， 分钟时，∠MON的度数是40°
【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线 上，现将射线 绕点O沿顺时针方向以每秒 的速
度旋转，同时射线 绕点O沿逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图2，设旋转时间为 ．
（1）用含t的代数式表示： _______ ， _______ ．
（2）在运动过程中，当 时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线 平分由射线 、射线 、射线 中的任意两条
射线组成的角（大于 而小于 ）？
【答案】（1） ， ；（2）当 时， 或40或80；（3）存在，当直线 平
分由射线 、射线 、射线 中的任意两条射线组成的角时， 或36或54或72．【解析】（1）由题意得：射线 的运动路程为 ，射线 的运动路程为 ，∴ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ；故答案为 ， ；
（2）由题意可得射线 与射线 相遇的时间为： ，解得： ，
∴当射线 与射线 相遇前， 时，如图所示：
∴ ，解得： ，
当射线 与射线 相遇后，且射线 还没有过直线 时， ，如图所示：
，解得： ，
当射线 过了直线 时， ，如图所示：
，解得： ，综上所述：当 时， 或40或80；
（3）存在，理由如下：
由 ， ， ，则可分：
①若直线 平分 时，如图所示：
∴ ， ，∴ ，解得： ；
若直线 平分 时，如图所示：
∴ ，∴ ，解得： ；
②若直线 平分 时，如图所示：
∴ ，∴ ，解得： ；
若直线 平分 时，如图所示：∴ ， ，
∴ ，解得： ；
综上所述：当直线 平分由射线 、射线 、射线 中的任意两条射线组成的角时， 或36
或54或72．
课后训练
1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使 ．将一直角三角板的直角顶点放
在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在 的内部，且恰好平分 ．问：此时
直线ON是否平分 ？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON
恰好平分 ，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在 的内部时， 的度数是多少？
【答案】(1)平分，理由见解析；(2)10或40；(3)30°
【解析】(1)解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），
∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
(2)解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分 ，
即旋转60°时，ON平分∠AOC，
再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，
由题意得，6n＝60°或6n＝240°，
∴n＝10或40；
故答案为：10或40；
(3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
2．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，
∠BOC＝10°，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针
匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF
重合时停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋
转时间）．(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．
(2)当射线OP平分∠AOC时，直接写山它的旋转时间．
(3)若射线OQ的转速为3度/秒，当∠POQ＝70°时，直接写出射线OP的旋转时间．
(4)若∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射
线OQ的旋转速度．
【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4) 或 或 或 ．
【解析】(1) ∠EOF=180°，射线OP的速度为1°/s，则时间为180÷1=180s；
(2) ∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，
当射线OP平分时∠AOC，∠AOP=∠POC= ∠AOC=35°，
此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∴旋转的时间为：55÷1=55s．
(3) ∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°，
设射线OP旋转的时间为t秒，
由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40，
射线OQ旋转至射线OF重合时停止，
∴.射线OQ最多旋转30秒，
当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止，
此时∠POQ=∠FOP=30°，
之后射线OP继续旋转 ，
则∠POQ=∠FOP=70°，此时t=70s，
故答案为：5s或70s．
(4)①当射线OP在∠AOB内部时，
∠POA=2∠POB，∠AOB=60°，
∴∠POA=40°，∠FOP=60°，故射线OP旋转的时间为60s，
若 ，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，
∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷60= （°/s)，
若 时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，
此时射线OQ的旋转速度为30÷60= （°/s）；
②当射线OP在∠EOB内部时，
∠PDA=2∠POB，∠AOB=60°，
∠POA=120°，∠FOP=140°，
故射线OP旋转时间为140秒，
若 时，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，
∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷140= （°/s)，
若 时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，
此时旋转速度为：30÷140= （°/s)，
综上，符合条件的旋转速度为 或 或 或 ．
3．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度数；
(2)如图1，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)；
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出
你的结论，并说明理由．(4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC=α，则∠DOE的度数
为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由．
【答案】(1)24°；(2) ；(3)∠DOE= ∠AOC，理由见解析；(4)180 °-
【解析】(1)∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°
∵OE平分∠BOC
∴∠COE = ∠BOC= 66°
又∵∠COD是直角
∴∠COD = 90°
∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°- 66°= 24°
(2)由（1）得，
故答案为：
(3)答：∠DOE= ∠AOC．理由如下:
∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC =180°-∠AOC
∵OE平分∠BOC
∴∠COE = ∠BOC= (180°-∠AOC)= 90°- ∠AOC
又∵∠COD是直角
∴∠COD = 90°
∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°-(90°- ∠AOC)= ∠AOC
∴∠DOE= ∠AOC
(4) OE平分是直角
故答案为： ；
4．如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板（ ）的直
角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．（注：本题旋转角度
最多 ．）
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过 秒后， ______
度（用含 的式子表示），若 恰好平分 ，则 ______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，
如图3，经过 秒后， ______度（用含 的式子表示）若 平分 ，求 为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 平分 ？（直接写结果）
【答案】（1） ，5；（2） ， ；（3）经过 秒 平分
【详解】（1）
∵ ，∴
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，∴
解得： 秒
（2） 度，∵ ， 平分∴ ，∴ ，∴ 解得： 秒
（3）如图：
∵ ，
由题可设 为 ， 为
∴
∵
，解得： 秒
答：经过 秒 平分 ．
5．已知: 和 是直角．
（1）如图，当射线 在 内部时，请探究 和 之间的关系；
（2）如图2，当射线 射线 都在 外部时，过点 作射线 ，射线 ，满足， ，求 的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线 ，使得 ，若不存在，请
说明理由，若存在，求出 的度数．
【答案】（1） ，详见解析；（2） ；（3） 的度数是 或
【详解】解：（1） ，
证明： 和 是直角，
，
，
，
同理： ，
，
；
（2）解：设 ，则 ，，
，
，
，
，
，
，
，
答： 的度数是 ；
（3）①如图，当射线 在 内部时，
，
，
如图，当射线 在 外部时，
，
，综上所述， 的度数是 或 ．
6.已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）在图1中，当∠COF＝36°时，则∠BOE＝ ，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝ ；以此判断
∠COF和∠BOE之间的数量关系是 ；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？
若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°，理
由见解析
【解析】（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝36°，
∴∠EOF=90°-36°=54°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF =108°，
∴∠BOE=180°-108°=72°；同理可求∠BOE=2m°；
由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF．
故答案为：72°；2m°；∠BOE=2∠COF；
（2）∠BOE=2∠COF不会变化，其证明过程是：
设∠AOC=x°，则∠AOE=(90-x)°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF= ∠AOE=(45- x)°，
∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45- x)°=(45+ x)°，
∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，∴∠BOE=2∠COF．
（3）∠BOE+2∠COF=360°，其理由是：
设∠AOC=x°，则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE=( x-45)°，
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-( x-45)°=( x+45)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°，
∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2( x+45)°=360°．
故答案为：（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°
