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专题 1.2 绝对值
【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴
上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离
是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．
【思路点拨】
（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；
（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．
【解题过程】
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）
＝5，故答案为：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案为：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案为：6．
1．（2022•高邮市模拟）若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
【思路点拨】
根据绝对值的意义得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原点和4的距离和是8的数，分两种情况求出x的值即可．
【解题过程】
解：∵|x|+|x﹣4|＝8，
∴当x＞4时，x+x﹣4＝8，
解得x＝6，
当x＜0时，﹣x+4﹣x＝8，
解得x＝﹣2，
故选：C．
2．（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
【思路点拨】
由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特
点进行计算即可．
【解题过程】
解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，
当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．
3．如果有理数a，b，c满足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拨】
通过对式子|a+c|＝3的变形，确定已知之间的关系，再进行分类讨论，结合对所求式子的变形，找到已知
所求之间的关系，再进行求解．
【解答过程】
解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝3，
∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，
∴a﹣b＝1，b+c＝2或a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，
分两种情况讨论：
①若a﹣b＝1，b+c＝2，则两式相加，得a+c＝3，
∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|3+2×2|＝7；
②若a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，则两式相加，得a+c＝﹣3，
∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|﹣3+2×（﹣2）|＝7．
故选：C．
|a+b| 2|b+c| 3|c+a|
4．（2021秋•洛川县校级期末）已知：m= + + ，且abc＞0，a+b+c＝0．则m
c a b
共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】
根据绝对值的意义分情况说明即可求解．
【解题过程】
解：∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
|−c| 2|−a| 3|−b|
m= + +
c a b
∴分三种情况说明：
当a＜0，b＜0，c＞0时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，
当a＜0，c＜0，b＞0时，m＝﹣1﹣2+3＝0，
当a＞0，b＜0，c＜0时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，∴m共有3个不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值为0．
∴x＝3，y＝0，
∴x+y＝3．
故选：B．
{ x，(x＞0)
5．我们知道 ，所以当x＞0时， x x ；当x＜0时， x x ．下列
|x|= 0，(x=0) = =1 = =−1
|x| x |x| −x
−x，(x＜0)
结论序号正确的是（ ）
a b
①已知a，b是有理数，当ab≠0时， + 的值为0或±2；
|a| |b|
2a b
②已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则 + 的值为±1；
|a| |b|
b+c a+c a+b
③已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则 + + =−1或3；
|a| |b| |c|
|abc| |a| |b| |c|
④已知a，b，c是非零的有理数，且 =−1，则 + + 的值为1或﹣3；
abc a b c
a b c abc
⑤已知a，b，c是非零的有理数，a+b+c＝0，则 + + + 的所有可能的值为0．
|a| |b| |c| |abc|
A．①③④ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②④
【思路点拨】
关于绝对值化简的问题，就要严格利用绝对值的定义来化简，要考虑全面，有时可以用特殊值法．
【解题过程】
解：①因为ab≠0，所以有以下几种情况：
a＞0，b＜0，原式值是0；
a＞0，b＞0，原式值是2；
a＜0，b＞0，原式值是0；
a＜0，b＜0，原式值是﹣2．
故①正确；
②∵|ab|＝﹣ab，a，b是不为0的有理数，
∴ab＜0，有以下两种情况：
a＞0，b＜0，此时原式值是1；
a＜0，b＞0，此时原式值是﹣1，
故②正确；③已知a，b，c是有理数且a+b+c＝0，abc＜0，
则b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
−a −b −c
∴原式化为 + +
|a| |b| |c|
a，b，c两正一负，有四种情况：
a＞0，b＞0，c＜0，原式值为﹣1；
a＞0，b＜0，c＞0，原式值为﹣1；
a＜0，b＞0，c＞0，原式值为﹣1；
故③错误；
|abc|
④∵ =−1，
abc
∴abc＜0，分四种情况（同③）
∴原式值是﹣1和3，
故④正确；
⑤分两种情况：
a b c
当一正两负时， ， . 有一个1，两个﹣1，
|a| |b| |c|
abc
而abc＞0，所以 =1，此时和为1+1﹣1﹣1＝0；
|abc|
a b c
当一负两正时， ， . 有一个﹣1，两个1，
|a| |b| |c|
abc
而abc＜0，所以 =−1，此时和为﹣1+1+1﹣1＝0．
|abc|
故⑤正确．
故选：C．
2021 2021
6．（2021秋•常州期末）已知x= ，则|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是 ．
2022 2022
【思路点拨】
根据x的值，判断x﹣2，x﹣1，x+1，x+2的符号，再根据绝对值的定义化简后即可得到答案．
【解题过程】
2021
解：∵x= ，即0＜x＜1，
2022
∴x﹣2＜0，x﹣1＜0，x+1＞0，x+2＞0，
∴|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|＝2﹣x﹣（1﹣x）+x+x+1﹣x﹣2
＝2﹣x﹣1+x+x+x+1﹣x﹣2
＝x
2021
= ，
2022
2021
故答案为： ．
2022
7．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 202 1 ．
【思路点拨】
利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．
【解题过程】
解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，
由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到
1012的距离；
结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，
∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，
故答案为：2021．
8．（2021春•杨浦区校级期末）已知a，b，c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝
0 或 2 ．
【思路点拨】
因为a、b、c都为整数，而且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，所以|a﹣b|与|c﹣a|只能是0或者1，于是进行分类讨
论即可得出．
【解题过程】
解：∵a、b、c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，
∴有|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1
①若|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0，
则a﹣b＝±1，a＝c，
∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|a﹣b|＝1，
∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝1+1+0＝2，
②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，则a＝b，c﹣a＝±1，
∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|c﹣a|＝1，
∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝0+1﹣1＝0，
故答案为：0或2．
9．（2021秋•大田县期中）三个整数a，b，c满足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，则|a|+|b|+|c|的最大
值为 3 4 ．
【思路点拨】
根据a+b+c＝0，a＜b＜c，可得a＜0，c＞0，a+b＜0，则|a|＞|b|，再由|a|＜10，a，b，c都是整数，得到|a|
≤9，则|b|≤8，根据|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，即可得到|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，由
此求解即可．
【解题过程】
解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，a+b＜0，
∴|a|＞|b|，
∵|a|＜10，a，b，c都是整数，
∴|a|≤9，
∴|b|≤8，
∵|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，
∴|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，
∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17＝34，
故答案为：34．
10．（2021秋•雁塔区校级期中）如果|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，则a﹣b的最大值等于 ﹣ 2 ．
【思路点拨】
根据题意可得|a+3|+|a﹣2|＝5，|b﹣4|+|b﹣7|＝3，此时﹣3≤a≤2，4≤b≤7，可求得﹣10≤a﹣b≤﹣2，即可求解．
【解题过程】
解：|a+3|+|a﹣2|≥5，|b﹣4|+|b﹣7|≥3，
∴|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|≥8，
∵|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，
∴|a+3|+|a﹣2|＝5，|b﹣4|+|b﹣7|＝3，
∴﹣3≤a≤2，4≤b≤7，
∴﹣10≤a﹣b≤﹣2，∴a﹣b的最大值等于﹣2，
故答案为：﹣2．
11．（2021 秋•江岸区校级月考）设有理数 a，b，c 满足 a＞b＞c，这里 ac＜0 且|c|＜|b|＜|a|，则
a+b b+c a+c 2a+b+c
|x− |+|x− |+|x+ |的最小值为 ．
2 2 2 2
【思路点拨】
根据ac＜0可知a，c异号，再根据a＞b＞c，以及|c|＜|b|＜|a|，即可确定a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c在数轴
a+b b+c a+c a+b b+c a+c
上的位置，而|x− |+|x− |+|x+ |表示到 ， ，− 三点的距离的和，根据数轴即可
2 2 2 2 2 2
确定．
【解题过程】
解：∵ac＜0，
∴a，c异号，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
又∵|c|＜|b|＜|a|，
∴﹣a＜﹣b＜c＜0＜﹣c＜b＜a，
a+b b+c a+c a+b b+c a+c
又∵|x− |+|x− |+|x+ |表示到 ， ，− 三点的距离的和，
2 2 2 2 2 2
b+c
当x在 时距离最小，
2
a+b b+c a+c a+b a+c 2a+b+c
即|x− |+|x− |+|x+ |最小，最小值是 与− 之间的距离，即 ．
2 2 2 2 2 2
2a+b+c
故答案为： ．
2
12．（2020秋•海曙区期末）已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c＝2021，其中a≤b≤c，则|a﹣b|+|b
﹣c|+|c﹣a|的最大值是 134 6 ．
【思路点拨】
根据绝对值的性质化简式子，再确定a，b，c的值，由此解答即可．
【解题过程】
解：由题意知b≥a，则|a﹣b|＝b﹣a，
b≤c，则|b﹣c|＝c﹣b，a≤c，则|c﹣a|＝c﹣a，
故|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝b﹣a+c﹣b+c﹣a＝2（c﹣a），
上式值最大时，即c最大，且a最小时，（即c﹣a最大时），
又a+2b+3c＝2021，
2021＝3×673+2，
故c的最大值为673，
此时a+2b＝2，a≤b，且a，b均为自然数，a＝0时，b＝1，此时a最小，
故2（c﹣a）的最大值即c＝673，a＝0时的值，即：2×（673﹣0）＝1346．
故答案为：1346．
13．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四个结论：①y没有最小值；②有无穷多个x的值，使y取到
最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有两个值．其中正确的是 （填序号）．
【思路点拨】
依据绝对值的几何意义，|x﹣1|可以看成是x与1的距离，|x+1|可以看出是x与﹣1的距离，这样y可以看
成两个距离之和，即在数轴上找一点 x，使它到1和﹣1 的距离之和等于y．要从三个情形分析讨论：①x
在﹣1的左侧；②x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）；③x在1的右侧．
【解答过程】
解：∵|x﹣1|是数轴上x与1的距离，|x+1是数轴上x与﹣1的距离，
∴y＝|x﹣1|+|x+1|是数轴上x与1和﹣1的距离之和．
∴当x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）时，y的值总等于2．如下图：
当x在﹣1的左侧时，y的值总大于于2．如下图：
当x在1的右侧时，y的值总大于于2．如下图：
综上，y有最小值2，且此时﹣1≤x≤1．
∴①③不正确，②正确．
∵使y＝2.5的x有﹣1，25和1，25两个值，
∴④正确．
故答案为②④．14．有理数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值为 ，最小值为 ．
【思路点拨】
将|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|拆分开来看，从而分别得到他们的最值小均为3，而根据已知知道，它们的和
为6，从而得到|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|的值均为3，从而得到a和b的取值范围，进而可以求出a2+b2的
最大值和最小值．
【解答过程】
解：|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，
∴|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，
∵|a+1|表示a到﹣1的距离，
|2﹣a|表示a到2的距离，
∴|a+1|+|2﹣a|≥3，
又∵|b+2||表示b到﹣2的距离，
|b+5|表示b到﹣5的距离，
∴|b+2|+|b+5|≥3，
又∵|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，
∴|a+1|+|2﹣a|＝3，|b+2|+|b+5|＝3，
此时﹣1≤a≤2，﹣5≤b≤﹣2，
∴a2的最大值为4，最小值为0，
b2的最大值为25，最小值为4，
∴a2+b2的最大值为29，最小值为4．
故答案为：29，4．
b+1 b+2 b+3
15．（2021秋•梁子湖区期中）已知|ab﹣2|与|b﹣2|互为相反数，求 − + 的值．
a+1 a−2 a+3
【思路点拨】
根据绝对值的非负性求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解题过程】
解：根据题意得|ab﹣2|+|b﹣2|＝0，
∵|ab﹣2|≥0，|b﹣2|≥0，
∴ab﹣2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，
3 4 5
∴原式= − +
2 −1 43 5
= +4+
2 4
27
= ．
4
16．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五
个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．
（1）填空：a﹣c ＜ 0，b﹣a ＞ 0，b﹣d ＜ 0（填“＞“，“＜“或“＝“）；
（2）化简：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e的值．
【思路点拨】
（1）根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e，再比较即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；
（3）先求出b、e的值，再代入求出即可．
【解题过程】
解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e，
∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0，
故答案为：＜，＞，＜；
（2）原式＝|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|
＝﹣a+c﹣2（b﹣a）﹣（d﹣b）
＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b
＝a﹣b+c﹣d；
（3）|a|＝|e|，
∴a、e互为相反数，
∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，
∴b＝﹣3，e＝6，
∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．
17．（2021秋•铜山区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，请回
答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为 4 ；
（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d为 | x +5 | ；（3）若x表示一个有理数，且x大于﹣3且小于1，则|x﹣1|+|x+3|＝ 4 ；
（4）若x表示一个有理数，且|x+2|+|x+3|＞1，则有理数x的取值范围为 x ＜﹣ 2 或 x ＞﹣ 3 ．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算；
（2）根据数轴上两点间距离公式列式；
（3）根据绝对值的意义进行化简计算；
（4）根据绝对值的意义和数轴上两点间的距离进行分析求解．
【解题过程】
解：（1）d＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
∴数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为4，
故答案为：4；
（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d＝|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，
故答案为：|x+5|；
（3）∵﹣3＜x＜1，
∴x﹣1＜0，x+3＞0，
∴|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，
故答案为：4；
（4）|x+2|+|x+3|表示数轴上数x到数﹣2和数﹣3的距离之和，
∵﹣2﹣（﹣3）＝1，且|x+2|+|x+3|＞1，
∴x＜﹣2或x＞﹣3，
故答案为：x＜﹣3或x＞﹣2．
18．x取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取最小值，最小值是多少？
【思路点拨】
利用绝对值的几何意义分析：x为数轴上的一点，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|表示：点x到数轴上的
1997个点（1、2、3、…、1997）的距离之和，进而分析得出最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999
﹣1997|求出即可．
【解题过程】
解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，
则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；
所以：
当 1≤x≤1997时，|x﹣1|+|x﹣1997|有最小值 1996；当 2≤x≤1996时，|x﹣2|+|x﹣1996|有最小值 1994；
…
当 x＝999时，|x﹣999|有最小值 0．
综上，当 x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|能够取到最小值，
最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|
＝998+997+996+…+0+1+2+998
(1+998)×998
= ×2
2
＝997002．
19．（2021秋•金乡县期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，
我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解
决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学
思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，
当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：
8 −3
（1） = 1 ． = ﹣ 1
|8| |−3|
a a b
（2） = 1 或﹣ 1 （a≠0）， + = 2 或 0 （其中a＞0，b≠0）
|a| |a| |b|
a b c abc
（3）若abc≠0，试求 + + + 的所有可能的值．
|a| |b| |c| |abc|
【思路点拨】
（1）根据绝对值的定义即可得到结论；
（2）分类讨论：当a＞0时，当a＜0时，当b＞0时，当b＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论；
（3）分类讨论：①当a＞0，b＞0，c＞0时，
②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，③当a，b，c三个字母中有一个字母
大于0，其它两个字母小于0时，④当a＜0，b＜0，c＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论．
【解题过程】
8 −3
解：（1） =1， =−1，
|8| |−3|
故答案为：1，﹣1；
a a
（2）当a＞0时， =1；当a＜0时， =−1；
|a| |a|a b a b
当b＞0时， + =1+1＝2；当b＜0时， + =1﹣1＝0；
|a| |b| |a| |b|
故答案为：1或﹣1，2或0；
a b c abc
（3）①当a＞0，b＞0，c＞0时， + + + =1+1+1+1＝4，
|a| |b| |c| |abc|
a b c abc
②当a，b，c三个字母中有一个字母小于 0，其它两个字母大于0时， + + + =−
|a| |b| |c| |abc|
1+1+1﹣1＝0，
a b c abc
③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时， + + + =1﹣1
|a| |b| |c| |abc|
﹣1+1＝0，
a b c abc
④当a＜0，b＜0，c＜0时， + + + =−1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，
|a| |b| |c| |abc|
a b c abc
综上所述， + + + 的所有可能的值为±4，0．
|a| |b| |c| |abc|
20．（2021秋•江岸区期中）阅读下列材料．
{ x(x＞0)
我们知道|x| ，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|
= 0(x=0)
−x(x＜0)
x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点
值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜
﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）
﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+
（x﹣2）＝2x﹣1．
{−2x+1(x＜−1)
∴|x+1|+|x﹣2| ，通过以上阅读，解决问题：
= 3(−1≤x＜2)
2x−1(x≥2)
（1）|x﹣3|的零点值是x＝ 3 （直接填空）；
（2）化简|x﹣3|+|x+4|；
（3）关于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接写出x+y的最小值为 ﹣ 5 ．
【思路点拨】
（1）根据零点值的概念领x﹣3＝0，求解；（2）仿照材料例题分x＜﹣4；﹣4≤x＜3；x≥3三种情况结合绝对值的意义化简求解；
（3）仿照材料例题，分原式为|x﹣3|+|x+4|与|y﹣2|+|y+1|两部分进行分析求其最小值．
【解题过程】
解：（1）令x﹣3＝0，解得：x＝3，
∴|x﹣3|的零点值是x＝3，
故答案为：3；
（2）令x﹣3＝0，x+4＝0，
解得：x＝3，x＝﹣4，
①当x＜﹣4时，
原式＝3﹣x﹣4﹣x＝﹣2x﹣1，
②当﹣4≤x＜3时，
原式＝3﹣x+x+4＝7，
③当x＞3时，
原式＝x﹣3+x+4＝2x+1，
{−2x−1(x＜−4)
综上，|x﹣3|+|x+4|
= 7(−4≤x＜3)
；
2x+1(x＞3)
（3）令x﹣3＝0，x+4＝0，y﹣2＝0，y+1＝0，
解得：x＝3，x＝﹣4，y＝2，y＝﹣1，
由（2）可得，
当x＜﹣4时，|x﹣3|+|x+4|＝﹣2x﹣1，
又∵x＜﹣4，
∴﹣2x＞8，则﹣2x﹣1＞7，
当x＞3时，|x﹣3|+|x+4|＝2x+1，
又∵x＞3，
∴2x＞6，则2x+1＞7，
∴当﹣4≤x＜3时，|x﹣3|+|x+4|取得最小值为7，
同理，可得当﹣1≤y＜2时，|y﹣2|+|y+1|取得最小值为3，
∴当|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10时，
﹣4≤x＜3，﹣1≤y＜2，
∴此时x+y的最小值为﹣4+（﹣1）＝﹣5，故答案为：﹣5．
