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专题 1.5 新定义问题
【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘
方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为
0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把
5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
1
（1）直接写出计算结果，f（4， ）＝ ，f（5，3）＝ ；
2
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出
“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结
果用含a，n的式子表示）
1 1
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4， ）×f（5，﹣2）×f（6， ）．
3 2
【思路点拨】
（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；
（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．【解题过程】
1 1 1 1 1
解：（1）f（4， ）= ÷ ÷ ÷ =4，
2 2 2 2 2
1
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3= ；
27
1
故答案为：4； ．
27
1 1
（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3= ，f（3，6）＝6÷6÷6= ，
81 6
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
1
（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（ ）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．
a
1 1
（4）f（5，3）×f（4， ）×f（5，﹣2）×f（6， ）
3 2
1 1
= ×9×（− ）×16
27 8
2
=− ．
3
1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数 a和b，规定a☆b＝ab﹣b2．如
（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ）
3 3
A．﹣3 B．1 C． D．−
2 2
2．（2021秋•东港区期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a※b＝2a；当a＜b
时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ）
A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10
1
3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则 *[3*（﹣1）]的
2值为（ ）
1
A．﹣1 B．﹣9 C．− D．0
2
4．（2021秋•洪山区期末）定义：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝
log N．例如：因为72＝49，所以log 49＝2；因为53＝125，所以log 125＝3．则下列说法中正确的有（
a 7 5
）个．①log 6＝36；②log 81＝4；③若log （a+14）＝4，则a＝50；④log 128＝log 16+log 8；
6 3 4 2 2 2
A．4 B．3 C．2 D．1
2 2 3 3
5．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1− =2×1× −1，2− =2×2× −1，给出定义如下：我
3 3 5 5
2
们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，
3
3
），（2， ）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）
5
4 4 6 7
A．（﹣3， ） B．（4， ） C．（﹣5， ） D．（6， ）
7 9 11 13
6．（2020秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶
n n
数时，结果为 ；（其中k是使 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：
2k 2k
若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（ ）
A．68 B．78 C．88 D．98
|a b|
7．（2021秋•大连月考）我们对任意四个有理数 a，b，c，d定义一种新的运算： =ad﹣bc．则
c d
|−4 −2|
的值为 ．
3 1
8．（2021秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图 表示a﹣b+c，图形 表示﹣x+y
﹣z，则 + 的值为 ．
a+1 1 1
9．（2020秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a*b= ，则（ * ）*2＝ ．
b 3 210．（2021秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数 a、b，当a≤b时，都有a△b＝
2
a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝ ；(− )△(−3)= ．
3
{x2−2y，x＞y
11．（2021秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x⨂y ，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝
= 1，x= y
−2xy，x＜y
﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．
12．（2021•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：
（1）xΘy＝4x+y，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11；
（2）[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4；
1 19
根据以上规则，计算[1Θ(− )]+[(−2)Θ ]= ．
2 4
13．（2021 秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 a☆b
a+b+|a−b|
= ．
2
（1）计算：（﹣6）☆5＝ ．
（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有
理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是 ．
14．（2021秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3⨂5
＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．
（1）计算3⨂（﹣5）的值．
（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．
15．（2021秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：
（1）（﹣3）⨂6的值；
3
（2）[2⨂（− ）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．
2
16．（2021秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运
算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝
+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．
（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号
，异号 ，并把绝对值 ；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得 ．
（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝ ．
（ 3 ） 若 （ 1﹣a ） ※ （ b﹣3 ） ＝ 0 ． 计 算 ：
1 1 1 1 1
+ + + + 的值．
a×b (a+2)×(b+2) (a+4)×(b+4) (a+6)×(b+6) (a+8)×(b+8)
17．（2021秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数 a，b满足等式a﹣b＝ab．那么称
3 12 3 9 3 9 3
a，b是“关联有理数对”，记作（a，b）．如：因为3− = − = ，3× = ．所以数对（3， ）
4 4 4 4 4 4 4
是“关联有理数对”．
1 5 5
（1）在数对①（1， ）、②（﹣1，0）、③（ ， ）中，是“关联有理数对”的是 （只填序
2 2 7
号）；（2）若（m，n）是“关联有理数对”，则（﹣m，﹣n） “关联有理数对”（填“是”或“不
是”）；
（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．
18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由
定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．
理解运用：
（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝ ，d（1）＝ ；
（2）“劳格数”有如下运算性质：
m
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（ ）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：
n
d(a3
) ；（a为正数）
=
d(a)
（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；
（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．a−c b−c
19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b， ， ，将这三
2 3
1−3
个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于 1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3， =−1，
2
−2−3 5 5
=− ，所以1，﹣2，3的“分差”为− ．
3 3 3
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是
；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来
越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 1 2
第二排 4 3
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 ．
（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为
两排，使其“M值”为18，求d的值．
