文档内容
第 01 讲 平行四边形的性质和判定
【题型1 根据平行四边形的性质求边长】
【题型2根据平行四边形的性质求角度】
【题型3根据平行四边形的性质求周长】
【题型4 平行四边形的判定】
【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】
【题型6 平行四边形的性质与判定综合】
【题型7：三角形中位线】
【题型8：平行线之间的距离与平行四边形的综合】
考点1：平行四边形的性质
1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
【题型1 根据平行四边形的性质求边长】
【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OB＝OD，OA＝OC＝ AC＝6，
∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝ ＝ ＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：C．
【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形 ABCD中，∠A的平分线AE
交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝6，
∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．
故选：C．
【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形 ABCD中，∠ABC的平分线交
AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC＝∠FCB，
又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
同理可证：AE＝AB，
∵AB＝4，AD＝BC＝5，
∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．
故选：C．
【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若
BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝12，
∵BF：FD＝1：3，
∴EB：AD＝BF：FD，
∴EB：12＝1：3，
∴EB＝4，
∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．
故选：C．
【题型2根据平行四边形的性质求角度】
【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形 ABCD中作如下摆放，
设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：D．
【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在 ▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝
（ ）
A．80° B．40° C．70° D．140°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，
故选：D．
【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）
A．155° B．130° C．125° D．110°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．
故选：B．
【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分
∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）
A．55° B．50° C．40° D．35°
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ ∠ABC＝35°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝35°，
∵DF∥BE，
∴∠EDF＝∠AEB＝35°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，
故选：D．
【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形 ABCD中，AE平分∠BAD交
BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．
A．11 B．18 C．20 D．22
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE＝4，
∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），
故选：D．
【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC
分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝5，EC＝4时，如图1，
则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，
则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，
∴平行四边形ABCD的周长为26或28，
故选：B．
【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连▱结CE，则△CDE的周长为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD周长为18，
∴▱AD+CD＝9，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．
故选：B．
【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD
相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 ▱ 2 2 ．【答案】22．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝ AC，BO＝OD＝ BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝24，
∴OC+BO＝12，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．
故答案为：22
考点2：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边
形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【题型4 平行四边形的判定】
【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC
【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判
定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形
是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形
是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【变式 4-1】（2022 秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是
（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角互补，另一组对角相等
【答案】C
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形
B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形
C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形
D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．
故选：C．
【变式 4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形 ABCD 中，AB∥DC，要使四边形
ABCD成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）
A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠D＝180°
C．∠A+∠D＝180° D．∠A+∠B＝180°
【答案】D
【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，
选项C只能推出AB∥DC，
选项D中两角是同旁内角，
∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：D．
【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块
为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该
是（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．②③
【答案】C
【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两
边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，
∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与
原来相同的平行四边形玻璃，
故选：C．
【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】
【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC
上，且∠BAF＝∠DCE． ▱
求证：（1）△ABF≌△CDE．
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，
在△ABF和△CDE中，
，∴△ABF≌△CDE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，BF＝DE，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且
BE＝DF． ▱
求证：（1）AE＝CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABE＝∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE＝CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADE＝∠CBF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°．
∵在△ADE与△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°．
∴AE∥CF．
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝
DE．证明： ▱
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【题型6 平行四边形的性质与判定综合】
【典例6】（2023春•温州月考）如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且
AE＝CF． ▱
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求 ABCD的周长．
▱
【答案】（1）见解析；
（2）32．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝6，
∵BE＝4，
∴AB＝AE+BE＝10，
∴ ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．
【变式▱6-1】（2023春•成都期末）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF
＝CE，连接BE，DE，BF，DF． ▱
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）30°．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE， ▱
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，
∴ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，
∵AB＝DC＝DF，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAC＝80°，
∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝ （180°﹣80°）＝50°，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．
【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上
两点，BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）24．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE＝DF，
又BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AG＝4，
∵BC＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．
【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝
∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若 ，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2 ．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BCD．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴∠EAD＝∠BDA，
∴∠EAD＝∠DBC，
在△EAD和△DBC中，
，
∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，
∵AB＝DE．
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵DE＝CD＝AB，
∴FD是CE的中线，
∵EF⊥BC，
∴DF＝ CE＝ ＝2 ．
考点3：三角形的中位线
三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样，
连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
【题型7 三角形中位线】
【典例7】（2023秋•绥化期末）如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点
D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（
）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】C
【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的边AB，AD＝5，∴AD＝DB＝5，AE＝EB，
∴点E是AB的点，
∵F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴ ．
∵CD＝9，DB＝5，
∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，
∴ ．
故选：C．
【变式7-1】（2023秋•双阳区期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边
选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距
离为（ ）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ AB，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B
【变式7-2】（2023秋•驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中
点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF
的长是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝ BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝ AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【变式7-3】（2023秋•万州区期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交
DE于点F，若AC＝6，BC＝14，则DF的长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝14，AC＝6，
∴DE＝ BC＝ ×14＝7，AE＝CE＝ AC＝ ×6＝3，DE∥BC，
∴∠CFE＝∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠CFE，
∴EF＝CE＝3，∴DF＝DE﹣EF＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
考点4：平行线之间的距离与平行四边形的综合
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之
间的距离
性质：平行线之间距离处处相等
【题型8 平行线之间的距离与平行四边形的综合】
【典例8】（2023春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b
之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定
【答案】A
【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），
直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）；
当直线c在直线a、b外部时，如图（2），
直线a、c间的距离为7+3＝10（cm），
∴直线a、c间的距离是4或10cm．
故选：A．
【变式8-1】（2023春•秦皇岛期末）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，
当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（ ）A．向左移动变小 B．向右移动变小
C．始终不变 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，
∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变，
故选：C．
【变式8-2】（2023春•思明区校级期中）如图，直线 l ∥l ，l 和AB的夹角∠DAB＝
1 2 1
135°，且AB＝50mm，则两平行线l 和l 之间的距离是（ ）
1 2
A．25 B．50 C．50 D．25
【答案】D
【解答】解：如图，过点A作AC⊥l 于点C，
2
∵直线l ∥l ，AC⊥l ，
1 2 2
∴∠DAC＝90°，
∵∠DAB＝135°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
2AC2＝502，
∴AC＝25 ．
∴两平行线l 和l 之间的距离为25 ．
1 2故选：D．
【变式8-3】（2023春•温州校级期中）如图，已知l ∥l ，AB∥CD，CE⊥l ，FG⊥l ，下
1 2 2 2
列说法错误的是（ ）
A．l 与l 之间的距离是线段FG的长度
1 2
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是l 与l 两条平行线间的距离
1 2
D．AC＝BD
【答案】C
【解答】解：A、∵FG⊥l 于点G，
2
∴l 与l 两平行线间的距离就是线段FG的长度，故本选项正确；
1 2
B、∵l ∥l ，CE⊥l 于点E，FG⊥l 于点G，
1 2 2 2
∴四边形CEGF是平行四边形，
∴CE＝FG，故本选项正确；
C、∵CE⊥l 于点E，
2
∴l 与l 两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误；
1 2
D、∵l ∥l ，AB∥CD，
1 2
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，故本选项正确；
故选：C．
一．选择题（共11小题）
1．（2023•江南区校级三模）如图，在 ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为（ ）
▱A．40 B．50 C．100 D．130
【答案】D
【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠B＝50°，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠C＝130°，
故选：D．
2．（2023春•开州区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上
确定点 O，分别取 OA，OB 的中点 C，D，量得 CD＝6m，则 A，B 之间的距离是
（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
【答案】D
【解答】解：∵C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△ABO的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6m，
∴AB＝12m，
故选：D．
3．（2023春•叙州区期末）如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点O、A、C的坐标
分别是（0，0），（3，0），（1，2），则点B的坐标是▱（ ）A．（2，4） B．（4，2） C．（5，3） D．（4，3）
【答案】B
【解答】解：∵ OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，
2）， ▱
∴OA＝BC＝3，B点纵坐标与C点纵坐标相同，
∴顶点B的坐标是（4，2），
故选：B．
4．（2022秋•周村区期末）如图， ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A＝（ ）
▱
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠A＝130°，
故选：D．
5．（2022秋•沂源县期末）学习了平行四边形的相关知识后，小明采用下列方法钉制了一
个平行四边形框架：如图，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，然后用木条
将AB、BC、CD、DA分别钉起来．此时四边形ABCD即为平行四边形，这样做的依据
是（ ）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【解答】解：将两根木条AC、BD中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行
四边形．
得出AO＝CO，DO＝BO，则四边形ABCD就是平行四边形，
故这样做的依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故选：D．
6．（2022秋•海阳市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E
是AD中点，若AC＝8，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】B
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴ ，
∵点E是AD中点，
∴ ，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝2（AO+OE+AE），
∵△AOE的周长＝AO+OE+AE＝10，
∴AC+AD+CD＝20，
∴AD+CD＝20﹣8＝12，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝24；
故选：B．
7．（2023•临高县校级三模）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝10，BC＝16，则EF的长为（ ）
A．8 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AB＝10，BC＝16，
∴BD＝AD＝5，DE＝ BC＝8，DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3，
故选：C．
8．（2023秋•碑林区校级期中）如图所示，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAD的平
分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则▱CF的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠F＝∠DAF，
∴AD＝BC＝DF＝5，∴CF＝DF﹣CD＝2，
故选：B．
9．（2023•东莞市校级一模）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点
F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴FE＝ AC＝4，
∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，
故选：B．
10．（2023•城厢区校级开学）如图，直线l ∥l ，l 和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝
1 2 1
4mm，则两平行线l 和l 之间的距离是（ ）
1 2
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，作AC⊥BC，
∵直线l ∥l ，l 和AB的夹角∠DAB＝135°，
1 2 1
∴∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝ ×AB＝2 ．
故选：D．
11．（2023春•孝义市期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作
OE⊥BD交AD于点E，连接BE．若▱ ABCD的周长为20，则△ABE的周长为（ ）
▱
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解答】解：∵在 ABCD中，对角线相互平分，
∴O是BD中点， ▱
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，即EB＝ED，
∴△ABE的周长为AB+BE+AE＝AB+DE+AE＝AB+AD，
∵ ABCD的周长为20，
∴▱AB+AD＝10，即△ABE的周长为10，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
12．（2023春•秦淮区期中）在 ABCD中，若∠A＝3∠B，则∠C＝ 13 5 °．
【答案】见试题解答内容 ▱
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝3∠B，∴∠A＝∠C＝135°．
故答案为：135．13．（2022秋•烟台期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分
线AE交BC于E点，则EC的长为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
14．（2022秋•乳山市期末）如图， ABCD中，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，BD＝
20，BE＝7，AE＝4，则AC的长等▱于 1 0 ．
【答案】10．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO＝ BD＝10，
∵BE＝7，
∴EO＝3，∴AO＝ ＝ ＝5，
∴AC＝10，
故答案为10．
15．（2023春•罗定市期末）如图，在 ABCD中，AD＝8，E为AD上一点，M，N分别为
BE，CE的中点，则MN的长为 4▱ ．
【答案】4．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝8，
∵M，N分别为BE，CE的中点，
∴MN是△EBC的中位线，
∴MN＝ BC＝4．
故答案为：4．
16．（2023 秋•灯塔市校级期末）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，▱连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE
的周长是 4+ 2 ．
【答案】4+2 ．
【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝
10，
∴OC＝OA＝ AC＝3，OD＝OB＝ BD＝5，
∵AC⊥CD，OE⊥AC，∴∠ACD＝90°，AE＝CE，
∴CD＝ ＝ ＝4，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝AE＝ AD＝ ，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+ + ＝4+2 ，
∴故答案为：4+2 ．
17．（2022秋•岱岳区期末）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（0，
0）、（2，3）、（5，3），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点 D的坐
标是 （﹣ 3 ， 0 ）或（ 3 ， 0 ）或（ 7 ， 6 ） ．
【答案】（﹣3，0）或（3，0）或（7，6）．
【解答】解：A、B、C三点的坐标分别为（0，0）、（2，3）、（5，3），
当AB为平行四边形ABCD的对角线时，AC平移到D B，根据平移规律可得D （﹣3，
1 1
0），
当AC为平行四边形ABCD的对角线时，AB平移到D C，根据平移规律可得D （3，
2 2
0），
当BC为平行四边形ABCD的对角线时，AB平移到CD ，根据平移规律可得D （7，
3 3
6）．
故答案为：（﹣3，0）或（3，0）或（7，6）．
18．（2023•漳州开学）如图，圆的周长是18.84cm，则平行四边形的面积是 2 4 cm2．
【答案】24．
【解答】解：由图形可知，圆的直径为两条平行线之间的距离，也是平行四边形的高，
设圆的直径为d cm，∵圆的周长是18.84cm，
∴当 取3.14时，则3.14d＝18.84，
解得πd＝6，
S平行四边形 ＝4×6＝24（cm2），
故答案为：24．
19．（2023•叶县模拟）如图， ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，交AD于点
E，CF平分∠BCD，交AD于▱点F，交BE于点O，点G，H分别是OF和OE的中点，
则GH的长为 1 ．
【答案】1．
【解答】解： ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AB＝CD＝3▱，BC＝AD＝4，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BCF＝∠DCF，
∴∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，
∴AB＝AE＝3，DC＝DF＝3，
∵AE+DF＝AD+EF，
∴EF＝2，
∵点G，H分别是OF和OE的中点，
∴GH是△OEF的中位线，
∴GH＝ EF＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共2小题）
20．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝
DE，连接BF．
（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；
（2）求证：BF＝DC．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB＝2DE，AD＝CD
∵EF＝DE
∴DF＝2DE
∴AB＝DF，且AB∥DF
∴四边形ABFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABFD是平行四边形
∴AD＝BF，且AD＝CD
∴BF＝DC
21．（2022秋•岱岳区期末）如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是
BG，CG的中点．
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）BG＝2GE．理由见解析．
【解答】（1）证明：∵BE、CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF＝ BC，
∵P、Q分别是BG、CG的中点，
∴PQ是△BCG的中位线，∴PQ∥BC且PQ＝ BC，
∴EF∥PQ且EF＝PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形；
（2）解：BG＝2GE，理由如下：
∵四边形EFPQ是平行四边形，
∴GP＝GE，
∵P是BG中点，
∴BG＝2PG，
∴BG＝2GE．
