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专题 11.6 三角形（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻
两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木
框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【思路点拨】
分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可．
【解题过程】
解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间
的最长距离为8；
②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的
最大距离为10；
③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：B．
2．（2022春•江阴市校级月考）根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
1 1
①∠A+∠B＝∠C，②∠A= ∠B= ∠C，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．
2 3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
利用三角形内角和定理，进行计算求解即可．
【解题过程】
解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故①符合题意；
1 1
∵∠A= ∠B= ∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
2 3
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
5 2 3
∴∠A＝180°× =90°，∠B＝180°× =36°，∠C＝180°× =54°，
5+2+3 5+2+3 5+2+3
∴△ABC是直角三角形，
故③符合题意；
∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
11
∴ ∠A＝180°，
6
1080°
∴∠A= ，
11
540° 360°
∴∠B= ，∠C= ，
11 11
∴△ABC不是直角三角形，
故④不符合题意；
综上，符合题意得有3个，
故选：C．
3．（2022 春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC 中，将 CA 沿 DE 翻折，点 A 落在 F 处，∠CEF、
∠BDF、∠A三者之间的关系是（ ）A．∠CEF＝∠BDF+∠A B．∠CEF﹣3∠A＝∠BDF
C．∠CEF＝2（∠BDF+∠A） D．∠CEF﹣∠BDF＝2∠A
【思路点拨】
根据三角形内角和定理可得∠CEF＝∠A+∠AOE，∠AOE＝∠F+∠BDF，从而可得∠CEF＝
∠A+∠F+∠BDF，由折叠性质可得∠A＝∠F，从而可得∠CEF＝2∠A+∠BDF，即可求解．
【解题过程】
解：如图，
∵∠CEF＝∠A+∠AOE，∠AOE＝∠F+∠BDF，
∴∠CEF＝∠A+∠F+∠BDF，
由折叠性质可得：
∠A＝∠F，
∴∠CEF＝2∠A+∠BDF，
∴∠CEF﹣∠BDF＝2∠A，
故选：D．
4．（2021秋•长春期末）若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作
“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是
（ ）
A．45°或36° B．72°或36°
C．45°或72° D．45°或36°或72°
【思路点拨】
分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答
案．
【解题过程】解：①设三角形底角为α，顶角为2α，
则α+α+2α＝180°，
解得：α＝45°，
②设三角形的底角为2α，顶角为α，
则2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
∴2α＝72°，
∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，
故选：C．
5．（2021秋•汉寿县期末）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为 22，AM是边BC上的中线，
△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】
依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长
均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10．
【解题过程】
解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
22−BC−2 1
∴AC= =10− BC为整数，
2 2
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即AC的长可能值有4个，
故选：B．
6．（2022春•青岛期末）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．20
【思路点拨】
利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【解题过程】
解：∵BD是△ABC的边AC上的中线，
1 1
∴S ＝S = S = ×32＝16，
△ABD △BCD 2 △ABC 2
∵AE是△ABD的边BD上的中线，
1 1
∴S =S = S = ×16=8，
△ABE △ADE 2 △ABD 2
又∵BF是△ABE的边AE上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线，
1 1 1
∴S =S = S = ×8=4，S =S =S =S = S =8，
△BEF △ABF 2 △ABE 2 △CEF △ACF △ADE △CED 2 △ACE
则S阴影 ＝S
△BEF
+S
△CEF
＝4+8＝12，
故选：B．
7．（2022春•思明区校级期末）如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平
分线，两条平分线交于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ；…以此类推得到
1 1 1 1 2 2
∠A ，则∠A 的度数是（ ）
2022 2022
α α α α
A． B． C． D．90+
2 22022 22021 2
【思路点拨】
1 1
根据角平分线的定义可得∠A
1
BC=
2
∠ABC，∠A
1
CD=
2
∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A
1
CD＝∠A
1
BC+∠A
1
，整理即可求出∠A
1
的度数，同理求出
1
∠A ，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据此规律即可得解．
2 2
【解题过程】
解：∵A B是∠ABC的平分线，A C是∠ACD的平分线，
1 1
1 1
∴∠A
1
BC=
2
∠ABC，∠A
1
CD=
2
∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A
1
CD＝∠A
1
BC+∠A
1
，
1 1
∴
2
（∠A+∠ABC）=
2
∠ABC+∠A
1
，
1
∴∠A
1
=
2
∠A，
∵∠A＝α，
α
∴∠A
1
=
2
；
1 1 1 α
同理可得∠A
2
=
2
∠A
1
=
2
×
2
α =
22
，
α
∴∠A
n
=
2n
，
1
∴∠A
2022
=
22022
α．
故选：B．
8．（2022春•莱芜区期末）如图，∠A＝100°，∠B、∠C、∠D、∠E，∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝260°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【思路点拨】
分析题意∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可．
【解题过程】解：如图，连接AD，AB交CD于点M，AF交DE于点N，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DNA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵∠BAF＝100°，
∴∠DMA+∠DNA＝100°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴100°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝260°．
故选：B．
9．（2021秋•余杭区月考）如图，已知AB，CD是两条相交线段，连结AD，CB，分别作∠DAB和∠BCD
的平分线相交于点P，若∠D＝50°，∠B＝40°，则∠P的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【思路点拨】
1 1
设∠DAB＝2x，∠DCB＝2y，根据角平分线的定义得出∠DAP＝∠PAB= ∠DAB=x，∠DCP＝∠PCB=
2 2
∠DCB＝y，根据三角形内角和定理得出∠D+∠DAP+∠AMD＝180°，∠P+∠DCP+∠CMP＝180°，求出∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP，同理求出∠B+∠PCB＝∠P+∠PAB，得出方程50°+x＝∠P+y，40°+y＝∠P+x，
再求出答案即可．
【解题过程】
解：设∠DAB＝2x，∠DCB＝2y，
∵AP平分∠DAB，CP平分∠DCB，
1 1
∴∠DAP＝∠PAB= ∠DAB=x，∠DCP＝∠PCB= ∠DCB＝y，
2 2
∵∠D+∠DAP+∠AMD＝180°，∠P+∠DCP+∠CMP＝180°，
∵∠AMD＝∠CMP，
∴∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP，
同理∠B+∠PCB＝∠P+∠PAB，
∵∠D＝50°，∠B＝40°，
∴50°+x＝∠P+y，40°+y＝∠P+x，
相加得：50°+x+40°+y＝∠P+x+∠P+y，
解得：∠P＝45°，
故选：B．
10．（2022春•长沙期末）在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE
交BD于点G，交BC于点H，下列结论：
①∠DBE＝∠EFH；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③2∠EFH＝∠BAC﹣∠C；
④∠BGH＝∠ABE+∠C．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据BD⊥FD，FH⊥BE，∠FGD＝∠BGH即可判断①；
根据角平分线的定义和三角形的外角性质可判断②；
根据角平分线的定义和三角形内角和定理，可求出∠CBE，再根据垂直的定义，可求出∠CBD，再根据∠EBD＝∠CBD﹣∠CBE以及①的结论可判断③；
根据角平分线的定义和三角形的外角性质可判断④．
【解题过程】
解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠EFH＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠EFH，
故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BEF＝∠CBE+∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C＝2∠CBE+∠C，
∴∠BAF+∠C＝2∠CBE+2∠C＝2（∠CBE+∠C）＝2∠BEF，
故②正确；
③∵BE平分∠ABC，
1
∴∠CBE= ∠ABC，
2
∵∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC，
1 1
∴∠CBE= （180°﹣∠C﹣∠BAC）＝90°− （∠C+∠BAC），
2 2
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠C，
1 1
∵∠EBD＝∠CBD﹣∠CBE＝90°﹣∠C﹣90°+ （∠C+∠BAC）= （∠BAC﹣∠C），
2 2
∴2∠EBD＝∠BAC﹣∠C，
∵∠EBD＝∠EFH，
∴2∠EFH＝∠BAC﹣∠C，
故③正确；
④∵∠FEB＝∠EBC+∠C，∠ABE＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠BGH＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
故④正确；
故选：D．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春•崇阳县期末）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数可能是 540 ° 、
360° 、 180° ．
【思路点拨】
将一个四边形剪掉一个角，可以得到三角形，四边形，五边形，根据多边形的内角和的计算方法进行计算
即可．
【解题过程】
解：将一个四边形剪掉一个角，可以得到三角形，四边形，五边形，如图所示：
所以所得多边形的内角和的度数可能是540°、360°、180°，
故答案为：540°、360°、180°．
12．（2022春•香坊区校级期末）在△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，则∠C为 7 0 °．
【思路点拨】
将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解
即可．
【解题过程】
解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，
∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°，
由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，所以，∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°，
解得∠A＝50°，
∴∠C＝∠A+20°＝70°．
故答案为：70．
{x−a＜0，
13．（2022•莱州市一模）已知关于x的不等式组 至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边
2x−1≥7
的三角形，则a的整数解有 4 个．
【思路点拨】
依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，
进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【解题过程】
{x−a＜0①
解： ，
2x−1≥7②
解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个．
故答案为：4．
14．（2022春•晋江市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，
CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是 ①②③④ ．
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④CG是△ACD的角平分线．【思路点拨】
根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形
的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根
据等腰三角形的判定判断④即可．
【解题过程】
解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
∵CF是∠ACB的平分线，CF交AD于点G，
∴CG是△ACD的角平分线．故④正确；
故答案为：①②③④．
15．（2022春•晋江市期末）如图，D、E分别是△ABC的AC，AB边上的点，BD，CE相交于点O，若18
S
△OCD
＝1，S
△OBE
＝2，S
△OBC
＝3，那么S四边形ADOE ＝
7
．
【思路点拨】
连接DE，利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”性质，代入已知数据可求得S ，然
△DOE
2
x+ +2
x 3
后设S ＝x，得方程： = ，即可求得四边形ADOE的面积．
△ADE 2 4
1+
3
【解题过程】
解：连接DE，
S OD S OD 2
因为 △DOE= ， △OCD= ，将已知数据代入可得S = ，
S OB S OB △DOE 3
△BOE △OBC
S x AD 2
△AED= = x+ +2
设S △ADE ＝x，则由S △CED 1+ 2 CD， S △ABD= 3 = AD，
3 S 4 CD
△CBD
2
x+ +2
x 3
得方程 = ，
2 4
1+
3
40
解得：x= ，
21
2 18
所以四边形ADOE的面积＝x+ = ．
3 7
18
故四边形ADOE的面积是 ．
718
故答案为： ．
7
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2021秋•隆安县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解题过程】
解：（1）∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．
17．（2021秋•信州区校级期中）如图，在三角形 ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点
在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
【思路点拨】
（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所
以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣
2．解得AE＝1cm或2cm．【解题过程】
解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，
又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，
∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，
即BE＝AE+AC，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴10﹣AE＝AE+6，
∴AE＝2cm．
（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程
①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．
解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．
故AE长为1cm或3cm．
18．（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于
点D．
（1）求∠BDC的度数；
1
（2）试比较DA+DB+DC与 （AB+BC+AC）的大小，写出推理过程．
2
【思路点拨】
（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分线的定义求出∠CBD+∠BCD＝55°，然
后由三角形内角和定理即可得出答案；
（2）由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则 2（DA+DB+DC）＞
AB+BC+AC，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，1 1
∴∠ABD＝∠CBD= ∠ABC，∠ACD＝∠BCD= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠CBD+∠BCD= （∠ABC+∠ACB）= ×110°＝55°，
2 2
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°；
1
（2）DA+DB+DC＞ （AB+BC+AC），理由如下：
2
在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB①，
同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③，
①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，
1
∴DA+DB+DC＞ （AB+BC+AC）．
2
19．（2021秋•赣州期中）若三边均不相等的三角形三边 a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短
边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为 7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个
三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② （填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
【思路点拨】
（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况对16进行讨论即可求解．
【解题过程】
解：（1）①∵1+2＜4，
∴4cm，2cm，1cm不能组成“不均衡三角形”；
②∵18﹣13＞13﹣9，
∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”；
③∵19＝19，
∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”；
④∵9﹣8＜8﹣6，
∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），解得x＜3，
∵2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故不合题意舍去；
②2x+2＞16＞2x﹣6，
解得7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
经检验，当x＝10时，22，16，14可构成三角形；
③2x﹣6＞16，
解得x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，都可以构成三角形．
综上所述，x的整数值为10或12或13或14．
20．（2022春•南关区期末）【问题】
如图①，在△ABC中，∠A＝80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以
下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（ 三角形的内角和定理 ），
∴∠ABC+∠ACB＝ 180°﹣∠ A （等式性质）．
∵∠A＝80°（已知），
∴∠ABC+∠ACB＝ 100 ° （等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC= ∠ABC（角平分线的定义）．
2
1
同理，∠DCB＝ ∠ ACB ．
21
∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)= 50 ° （等式性质）．
2
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝ 130 ° （等式性质）．
【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．
α
则∠D＝（ 90 °+ ）．
2
【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若
∠E＝145°，则∠A＝（ 40 ° ）．
【思路点拨】
（1）由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，从而求得∠ABC+∠ACB＝100°，再角平分线的定义
1 1
可得∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，再次利用三角形的内角和可求∠D的度数；
2 2
（2）仿照（1）即可求解；
（3）结合（1）的过程，不难求∠A的度数．
【解题过程】
解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．
∵∠A＝80°（已知），
∴∠ABC+∠ACB＝100°（等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），1
∴∠DBC= ∠ABC（角平分线的定义）．
2
1
同理，∠DCB= ∠ACB．
2
1
∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)=50°（等式性质）．
2
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝130°（等式性质）．
1
故答案为：三角形的内角和定理；180°﹣∠A；100°； ∠ACB；50°；130°；
2
（2）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．
∵∠A＝α（已知），
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α（等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC= ∠ABC（角平分线的定义）．
2
1
同理，∠DCB= ∠ACB．
2
1 α
∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)=90°− （等式性质）．
2 2
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
α
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+ ；
2
α
故答案为：90°+ ；
2
（3）∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB，
1 1 1 1
∴∠CBD= ∠CBA，∠BCD= ∠BCA，∠CBE= ∠CBD，∠BCE= ∠BCD，
2 2 2 2
1 1
∴∠CBE= ∠CBA，∠BCE= ∠BCA，
4 4
∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠E＝145°，
∴∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠E＝35°，
1 1
∴∠CBE+∠BCE= ∠CBA+ ∠BCA＝35°，
4 4∴∠CBA+∠BCA＝140°，
∵∠CBA+∠BCA+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠CBA+∠BCA）＝40°．
故答案为：40°．
21．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射
线OM上运动，点A、B均不与点O重合．
【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．
①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ 2 5 °．
②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明
理由．
【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．
在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直
接写出∠ADB的度数的变化范围．
【思路点拨】
【探究】①先利用直角三角形两个锐角互余求出∠OBA，再利用角平分线的定义求出∠ABI即可；
②不变，理由与①类似；
【拓展】不变，利用三角形的外角求出∠ABM，再利用角平分线的定义求出∠ABC和∠BAD即可，可得
1
∠ADB= ∠AOB．
2
【解题过程】
解：【探究】①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，
1
∴∠ABI= ∠ABO＝25°；
2
故答案为：25；
②不变，∠AIB＝135°．
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
1 1
∴∠OBI=∠ABI= ∠OBA，∠OAI=∠BAI= ∠OAB，
2 2
∴
1 1 1 1 1
∠BIC=180°−∠IBA−∠IAB=180°− ∠OBA− ∠OAB=180°− (∠OBA+∠OAB)=180°− (180°−∠BOA)=180°−90°+ ∠BOA
2 2 2 2 2
∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠AOB＝90°，
1
∴∠AIB=90°+ ×90°=135°．
2
【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
1 1
∴∠CBA= ∠MBA，∠BAI= ∠BAO，
2 2
∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，
1 1 1 1 1
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD= ∠MBA− ∠BAO= （∠MBA﹣∠BAO）= ∠AOB= ×90°＝45°，
2 2 2 2 2
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
22．（2022春•丰县月考）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若
∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；
（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．
【解题过程】
解：（1）∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴α+β＝∠A+∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），
∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，
∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NDC＝180°﹣∠ADC，
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC
＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），
＝α+β
＝105°；
（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正确）．
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
1 1
∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，
2 2
1 1 1 1
∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= （∠MBC+∠NDC）= （α+β），
2 2 2 2
在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，
1
∴ （α+β）+180°﹣β+45°＝180°，
2
∴β﹣α＝90°．
（3）BE∥DF．
理由：如图2，过点C作CP∥BE，
则∠EBC＝∠BCP，
∴∠DCP＝∠BCD﹣∠BCP＝β﹣∠EBC，
由（1）知∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵α＝β，
∴∠MBC+∠NDC＝2β，
又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，
1
∴∠EBC+∠FDC= （∠MBC+∠NDC）＝β，
2
∴∠FDC＝β﹣∠EBC，
又∵∠DCP＝β﹣∠EBC，
∴∠FDC＝∠DCP，
∴CP∥DF，
又CP∥BE，
∴BE∥DF．
23．（2022春•南安市期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BC上，
（1）如图1，点E在线段AC上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝25°，则∠BAD＝ 5 0 °；
（2）如图2，AH平分∠BAD，点F在线段BD上，FH⊥AH交AD的延长线于点G，∠ACB与∠AGF的角
∠CFG
平分线交于点P，问 是否为定值，请说明理由；
∠P
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，∠P＝m°时，求∠CFG的度数（用m°的代数式表示）．
【思路点拨】
（1）先利用外角性质得到∠AED＝∠C+25°，再因为△ABC和△ADE都是等腰三角形，所以用含∠C的式
子表示出顶角，最后根据所求角是两个顶角的差，代入化简即可解答；
（2）延长GF交AB于点K．设∠P＝x，∠CFG＝y．先证明∠HGA＝∠HKA，再根据角平分线分得的角相
1
等和外角性质得 2∠2＝∠HKA＝∠B+∠BFK＝2∠1+y，所以∠2﹣∠1= y，根据“8”字型可得∠1+x＝
2
∠2+y，，联立两个等式，即可得解；
（3）延长FH交AB于点K，延长PG交BC于点N．设∠P＝x，∠BFK＝y．方法同（2）证得∠HGA＝
1
∠HKA，根据平角180°和三角形外角性质证出∠1+x＝y+180°﹣∠2，所以得∠1+∠2=90°− y，③，因
2
为∠BNP＝∠1+∠P，∠BNP＝∠BFK+∠FGN，所以∠1+x＝y+180°﹣∠2，即∠1+∠2＝180°+y﹣x，④，联
2
立③、④解得∠BFK= m°−60°，就可以表示出此角的邻补角．
3
【解题过程】
解：（1）∵∠AED是△CDE的外角，∠CDE＝25°，
∴∠AED＝∠C+∠CDE＝∠C+25°，
又∵∠ADE＝∠AED，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2∠AED＝180°﹣2（∠C+25°），
△ABC中，∵∠B＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣2∠C，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣2∠C﹣[180°﹣2（∠C+25°）]＝50°．
故答案为：50°；∠CFG 3
（2）是定值， = ，
∠P 2
理由如下：
如图2中，延长GF交AB于点K．
设∠P＝x，∠CFG＝y．
∵AH⊥GK，∠HAG＝∠HAK，
∴∠HAK+∠HKA＝90°，∠HAG+∠HGA＝90°，
∴∠HGA＝∠HKA，
∴2∠2＝∠HKA＝∠B+∠BFK＝2∠1+y，①
1
由①得：∠2﹣∠1= y，
2
∵∠1+x＝∠2+y，
∴2∠P＝3∠CFG．
∠CFG 3
故 = 是定值；
∠P 2
（3）如图3中，延长FH交AB于点K，延长PG交BC于点N．设∠BFK＝y．
同法可证：∠HGA＝∠HKA，
∴180°﹣2∠2＝∠B+∠BFK＝2∠1+y，②
1
由②，得∠1+∠2=90°− y，③
2∵∠BNP＝∠1+∠P，∠BNP＝∠BFK+∠FGN，
∴∠1+x＝y+180°﹣∠2，
∴∠1+∠2＝180°+y﹣x，④
由③④，得：
3
x− y=90°，
2
3
∴∠P− ∠BFK=90°，
2
∵∠P＝m°，
2
∴∠BFK= m°−60°，
3
2 2
∴∠CFG=180°−( m°−60°)=240°− m°．
3 3
