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第 02 讲 与圆有关的性质——圆心角定理
课程标准 学习目标
1. 能够认识并判断圆心角
①圆心角的认识
2. 掌握圆心角定理，能够熟练的用圆心角定理解决相
②圆心角定理
应的题目
知识点01 圆心角的认识
1. 圆心角的认识：
顶点为 圆心 且角的两边为 半径 的角叫做圆心角。
2. 圆心角的大小范围：
圆心角α的大小范围为 0° ＜ α ＜ 360° 。
题型考点：①圆心角的认识与理解。
【即学即练1】
1．下图中∠ACB是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∠ACB不是圆心角；
B、∠ACB是圆心角；C、∠ACB不是圆心角；
D、∠ACB不是圆心角；
故选：B．
知识点02 圆心角定理
1. 圆心角定理：
在 同圆和等圆 中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 也相等。
2. 圆心角定理的推论：
在 同圆或等圆 中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的另
外两组量都分别相等。
圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。
3. 弧的度数：
弧的度数等于它所对的 圆心角 的度数。
题型考点：①利用圆周角定理求角度。圆周角定理的相关证明。
【即学即练1】
2．如图， O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于 ．
⊙
【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝ ．
故答案为：2
【即学即练2】
3．如图，在半径为6的 O中，弦AB的长为6，求圆心角∠AOB的度数和点O到AB的距离．
⊙【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA＝OB＝AB＝6，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OC＝OA•sin60°＝6× ＝3 ．
【即学即练3】
4．如图，已知AB是 O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（ ）
⊙
A．40° B．60° C．80° D．120°
【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°
∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°
∴∠AOE＝60°．
故选：B．
【即学即练4】
5．如图，在 O中， ＝ ，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ °．
⊙
【解答】解：∵在 O中， ＝ ，
⊙∴ ＝ ，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°．
故答案为：40．
【即学即练5】
6．如图，在 O中，若点C是 的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
⊙
A．40° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是 的中点，
∴∠BOC＝ ∠AOB＝40°，
故选：A．
【即学即练6】
7．已知：如图，A、B、C、D在 O上，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠DOB．
⊙
【解答】解：∵弦AB＝CD（已知），
∴ ＝ ；
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，即∠AOC＝∠BOD．
题型01 圆心角定理及其推论
【典例1】
如图，AB是 O的直径， ＝ ＝ ，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（ ）
⊙
A．35° B．55° C．75° D．95°
【解答】解：∵ ，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．
故选：C．
【典例2】
如图，在 O中 ，∠AOB＝45°，则∠COD＝（ ）
⊙
A．60° B．45° C．30° D．40°
【解答】解：∵ ＝ ，
∴∠COD＝∠AOB＝45°．
故选：B．
【典例3】
如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中 OD是∠AOB的角平分线，∠AOE＝
∠AOC，则∠DOE等于（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：∵半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，
∵OD是∠AOB的角平分线，
∴∠AOD＝ ∠AOB＝60°，
∵∠AOE＝ ∠AOC，
∴∠AOE＝ ×120°＝40°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝100°，
故选：A．
【典例4】
如图，AB是 O的直径， ，∠AOE＝78°，则∠COB的度数是 ．
⊙
【解答】解：∵∠AOE＝78°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣78°＝102°，
∵ ，
∴ ，
故答案为：34°．
【典例5】
如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，若BC＝CD＝DA＝4，则 O的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．4 B．6 C．8 D．9
【解答】解：如图，连接OC、OD．
π π π π
∵AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，BC＝CD＝DA＝4，
∴ ＝⊙＝ ， ⊙
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4，
∴ O的周长＝2×4 ＝8 ．
故选：C．
⊙ π π
【典例6】
如图，AB是 O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为
．
⊙
【解答】解：∵∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，∠BOC＝∠COD＝60°，
∴∠BAC＝ BOC＝30°，
∴∠OEA＝180°﹣∠BAC﹣∠AOD＝90°，
∴AO＝2OE＝OD，
∵DE＝1，
∴2OE﹣OE＝1，
∴OE＝1，
∴AE＝2，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．1．下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故（1）不符合题意；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）不符合题意；
（3）长度和度数相等的两条弧是等弧，故（3）不符合题意；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，故（4）不符合题意．
∴正确的有0个．故选：A．
2．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
【解答】解：连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，
∴∠BCD＝ ×2（180°﹣60°）＝120°．
故选：C．
3．如图，AB是 O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝45°， ，则弦AB的长为（ ）
⊙
A．4 B． C． D．
【解答】解：∵OC⊥AB于H，
∴AH＝BH，
在Rt△AOH中，∠AOC＝45°，
∵OH＝2，
∴AH＝OH＝2，
∴AB＝2AH＝4．
故选：A．
4．如图，已知在 O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（ ）
⊙A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD
C． D．O到AB、CD的距离相等
【解答】解：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧DC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等，
所以B、C、D选项正确，
故选：A．
5．如图，在 O中， ＝2 ，则下列结论正确的是（ ）
⊙
A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
【解答】解：取 的中点E，连接AE，BE，
∵在 O中， ＝2 ，
∴ ⊙＝ ＝ ，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：C．
6．如图，AB为半圆O的直径，点C、D为 的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）A．25° B．30° C．50° D．60°
【解答】解：∵点C、D为 的三等分点，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝150°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，
故选：B．
7．如图，AB为 O的直径， ，∠BOD＝42°，则∠AOC的度数为（ ）
⊙
A．90° B．96° C．98° D．100°
【解答】解：∵ ，
∴∠COD＝∠BOD＝42°，
∵AB为 O的直径，
∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝180°﹣42°﹣42°＝96°．
⊙
故选：B．
8．如图，在半径为 的 O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（
）
⊙
A． B． C．4 D．2
【解答】解：连接 OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝
∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OE＝FP，EP＝OF，
∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，
∴AF＝BF＝4，
由勾股定理得：OF＝ ＝ ＝2，
同理OE＝2，
即FP＝OE＝2，
在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP＝ ＝ ＝2 ，
故选：B．
9．如图，AB是 O的直径， ＝ ，∠COD＝52°，则∠AOD的大小为 ．
⊙
【解答】解：∵ ＝ ，
∴∠COD＝∠BOC＝52°，
∴∠AOD＝180°﹣∠COD﹣∠BOC＝76°，
故答案为：76°．
10．如图，已知AB、CD是 O的直径， ＝ ，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为 度．
⊙
【解答】解：∵∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∵ ＝ ，
∴∠AOE＝∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，
故答案为：64．
11．半径为2cm的 O中，弦长为2 cm的弦所对的圆心角度数为 ．
【解答】解：如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，
⊙∴AD＝ AB＝ （cm），
∵cosA＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
故答案为：120°．
12．如图，在 O中， ＝ ，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④
＝ ，正确⊙的是 （填序号）．
【解答】解：在 O中， ＝ ，
∴AB＝CD，故①正确；
⊙
∵BC为公共弧，
∴ ＝ 故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
13．如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．
（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；
（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．
【解答】解：（1）连接OA，如图，设 O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，
⊙∵CD平分AB，
∴AE＝BE＝3，CD⊥AB，
在Rt△OAE中，32+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝ ，
即 O的半径为 ；
（2）连接OB，如图，
⊙
∵DE＝3EC，
∴OC+OE＝3EC，
即OE+CE+OE＝3CE，
∴OE＝CE，
∴OE＝ OC＝ OA，
在Rt△OAE中，∵sinA＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
即弦AB所对的圆心角的度数为120°．
14．如图，在 O中，AB＝AC．
（1）若∠B⊙OC＝100°，则 的度数为 °；
（2）若AB＝13，BC＝10，求 O的半径．
⊙
【解答】解：（1）∵在 O中，∠BOC＝100°，
⊙∴∠BAC＝50°，
∵ ＝ ，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴ ＝130°，
故答案为：130；
（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝5，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝12；
在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，
解得OB＝ ，即 O的半径是 ．
15．如图，在 O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及 O上，并且
⊙
∠POM＝45°，若AB＝1．
⊙ ⊙
（1）求OD的长；
（2）求 O的半径．
⊙
【解答】解：（1）如图，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴DC＝BC＝AB＝1，∠DCO＝∠ABC＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴CO＝DC＝1，
∴OD＝ CO＝ ＝ ；
（2）BO＝BC+CO＝BC+CD＝1+1＝2，
连接AO，
则△ABO 为直角三角形，
于是 AO＝ ．
即 O的半径为 ．
⊙
