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考点 13 数列概念及通项公式（核心考点讲与练）
一、数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照 一定 次 序 排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a ＞a
n＋1 n
项与项 递减数列 a ＜a 其中n∈N
n＋1 n +
间的大
常数列 a ＝a
n＋1 n
小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项
摆动数列
小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{a}的第n项a 与n 之间的关系可以用一个式子a＝f(n)来表示，那么这个公式叫
n n n
做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{a}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a 与它的前一
n n
项a (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
n－1
5.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{a}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
n
列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.若数列{a }的前n项和为S ，通项公式为a ，则a ＝
n n n n
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这
些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位
置序号.
4.S 与a 关系问题的求解思路
n n
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
①利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解；
n n n－1 n n－1
②利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
5.由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a 且a－a ＝f(n)，可用“累加法”求a，即a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋(a－a)＋
1 n n－1 n n n n－1 n－1 n－2 3 2 2 1
a.
1
(2)已知a 且 ＝f(n)，可用“累乘法”求a，即a＝ · ·…· · ·a.
1 n n 1
(3)已知a 且a ＝qa＋b，则a ＋k＝q(a＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a＋k}．
1 n＋1 n n＋1 n n
(4)形如a ＝ (A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
n＋1
6.在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对
称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
7.用错位相减法求和时，应注意
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意
n n与 的关系
1. （2022湖北省新高考） 已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，若 ，则
__________．
【答案】96
【分析】由题意易得 ，两式相减可得数列 从第二项开始成等比数列，进而可得
结果.
【详解】因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
又因为 ， ，得 ，
所以数列 从第二项开始成等比数列，
因此其通项公式为 ，
所以 ，
故答案为：96.
由递推公式求通项
1.（2022河南省顶级名校9月开学联考）若数列 满足： ，则数列
的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】利用整体相减的方法即可计算出数列 的通项公式
【详解】由 ①得，当 时 ②
由① ②得
当 时 也满足上式
故选：D
2.（2022辽宁省盘锦市高级中学9月月考）已知数列 满足 ， ，且 = +
- （n≥2），则数列 的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】化简题设条件得到 ，得出数列 是以 为首项， 为公
差的等差数列，求得则 ，再利用叠加法，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，数列 满足 （ ），
两侧同除 ，可得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，所以
（ ），
当 时， 适合上式，
所以 ，所以数列 的通项公式 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记
等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键.
分组求和
1.（2022湖北省武汉市部分学校9月质量检测）设数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的表达式.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）利用分组求和法以及等差数列的前 和公式即可求出结果.
【详解】（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，因此 ，
所以
，
经检验， 时成立，所以 ；
（2） ，
所以
2.（2022安徽省江淮十校高三上学期第一次联考）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，
（t为常数）．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和为 ．
【答案】（1） ；（2） ．【分析】(1)令 ,解得: ,再由 ,即可求出 ,
(2)根据(1)的结论,再利用并项求和,即可求解.
【详解】解：（1）令 ， ，可得 ，所以
时， ，可得
所以 （ ），又因为 满足上式，所以
（2）因为
所以
裂项相消法求和
1.（2022河南省部分名校高三上学期8月份摸底）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据数列 与 的关系，消去 ，即可证明数列 是等比数列；（2）根据（1）的结果，知 ，再利用裂项相消法求和.
【详解】解：（1）由 ，得 ，①
于是得 ， ②
②-①得 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以
.
错位相减求和
1.（2021高三数学冲刺原创卷）已知 是首项为1的单调递增的等差数列，其中 ， ，
成等比数列． 的前 项和为 ，且 ， ．(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)根据等比数列的性质及已知条件，求出等差数列的公差 ，再利用等差数列的通项公式即可求
解；(2)根据数列的递推公式求出数列 的通项公式，再利用错位相减法及等比数列的求和公式即可求解．
【详解】(1)因为 是首项为1的单调递增的等差数列，所以 ，
设数列 的公差为 且 ，
则 ， ，
．
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍负），
所以 ．
(2)因为 ，①
所以 ，②由①-②得 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 是从第二项开始的等比数列，
则数列 的通项公式为
由（Ⅰ）知
则 ，③
，④
③-④得
，
所以 ．
2.（2022河南省顶级名校高三上学期9月联考）已知数列 、 满足： 且 ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）数列 满足： ，其中 ，若数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】（1） ； ；（2） ．【分析】（1）由递推关系可构造等比数列 ，即可求出 ，代入 化简即可得 ；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由 ，令 ，得 ，
是以 为首项，以 为公比的等比数列．
，即 ．
．
（2）由题意知 ，
①
②
①-②得， ，
．
1.（2020年新课标Ⅰ）数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【详解】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属
于较难题.
2.（2020年新课标Ⅰ）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求
解能力，属于基础题.
3.（2021年全国高考乙卷）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【 分 析 】 （ 1 ） 由 已 知 得 , 且 ， 取 , 得 , 由 题 意 得,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为
公差的等差数列，且 ．下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，
进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为
最优解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法
四利用归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
一、单选题
1．（2022·浙江嘉兴·二模）已知数列 满足 ， ， 为数
列 的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出 ，通过放缩得到 ，再通过分析法证得
，结合裂项相消即可证得 ，又由 证得 即可.
【详解】当 ， 时，因为 ，所以 ，
又因为 ，
且 ，
下证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证
令 ，即证 ，当 ， 时，不等式恒成立.
因此， ，
所以，
又因为 ，
故选：D.
【点睛】本题关键点在于分析法的应用，通过分析法证得 ，又由放缩得到
，进而通过裂项相消证得 ，最后由 证得
即可.
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，则当 取得最大值时 的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】利用作商法可得 ，讨论n的取值判断 与1的大小关系，即可得 最大时
的值.
【详解】
∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴根据选项，当 时， 取得最大值.
故选：A．
二、多选题3．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 对于 恒成立，若
定义 ， ，则以下说法正确的是（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D．存在 使得
【答案】BC
【分析】利用退位相减法可得数列的通项及 即可判断A选项，按照给出的定义求出 即可判断B选项，
数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.
【详解】当 时， ，
当 时，由 ，得 ，故 ，即 ，
所以数列 为等比数列，首项 ，公比 ，故 ，
A选项错误；
则 ，所以 ，
，B选项正确；
当 时， ，
假设当 时， 成立，当 时，由 可得
，则
， ， ，
， ，将上式相加可得
，又 ，则 ，故
，即 时也成立，
故 ，C选项正确；
D选项，当 时，由 知不成立，
当 时，由C选项知： ，则 ，
， ， ， ，上式相加得
，又由上知， ，则
，可得 ，又由可得 ， ，即
，D选项错误；
故选：BC.
【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D
选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.
三、填空题
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知数列 ， ，对于任意正整数m，n，都满足 ，
则 ______．
【答案】
【分析】令 ,得 ，用累加法求出 ，由此利用裂项相消求和求出
的值.
【详解】令 ，得 ，所以 ，则
， ，……， ， ，
所以当 时，
，
又 满足上式，所以
所以 ，.
故答案为： .
5．（2022·江西景德镇·三模（理））已知数列 和正项数列 ，其中 ，且满足
，数列 的前n项和为 ，记 ，满足 ．对于某个给定 或 的
值，则下列结论中：① ；② ；③若 ，则数列 单调递增；④若
，则数列 从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______．
【答案】①②③
【分析】求得 的范围判断①；求得 的值判断②；判定出数列 单调性判断③；由数列 第三
项小于第二项否定④.
【详解】由 ，可知 ，则 ，又
则 ，解之得 .则①判断正确；
由 ，可得 ，则 ，则
又由 ，可知 ，则
则由 ，则 或 （舍）则 或 （舍）. 则②判断正确；
由 ，可知 ，则
若 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，则
由 ，可得 ，则
又 ，则数列 单调递增. 则③判断正确；
由 ，可得
由 ， ，
则当 时， ，
即数列 的第三项小于第二项.
则数列 从第二项起单调递增的说法判断错误.
故答案为：①②③
四、解答题
6．（2022·重庆八中模拟预测）已知 是公差不为零的等差数列 的前n项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 ，数列化 的前2n项和为 ，若 ，求正整数n的最小
值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设等差数列的公差为 .由题意，列方程组求 ，即求通项公式；
（2）求得 ，由裂项相消法求 ，解不等式可得 的最小值.
(1)公差 不为零的等差数列 ，由 ， ，解得 .
又 ，可得 ，
所以数列 是以1为首项和公差的等差数列，
所以 .
(2)解：由（1）可知 ，
，
，
所以 的最小值为505.
7．（2022·福建·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 是等差数列，且 ， ，设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据 ，作差得到 ，即可得到 是以1为首项，2为公
比的等比数列，从而得到通项公式；
（2）首先求出 的通项公式，即可得到 ，利用错位相减法求和即可；
(1)解：因为 ，所以 ，
两式相减，可得 ，整理得 ，
∵ 时， ，∴ ，
所以公比 ，即数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ；
(2)解：易知 ， ，所以公差 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
则 ，
两式相减可得 .
即
8．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知数列 前n项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求证： ．
【分析】（1）由已知得 ， ，两式相除整理得 ，从而可
证得结论，（2）由（1）可得 ，再利用累乘法求 ，从而 ，
然后利用放缩法可证得结论
(1)因为 ，所以 ，
所以 ，
两式相除，得 ，整理为 ，
再整理得， ．
所以数列 为以2为首项，公差为1的等差数列．
(2)因为 ，所以 ，
由（1）知， ，故 ，
所以 ．
所以
．
又因为 ，
所以 ．
9．（2022·广东广州·二模）问题：已知 ，数列 的前n项和为 ，是否存在数列 ，满足
，__________﹖若存在．求通项公式 ﹔若不存在，说明理由．
在① ﹔② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①： ；选②： ；选③：
【分析】选①：利用 与 的关系得到关于 的递推公式，再由递推公式求 ，然后可得通项 ；选②：
利用 与 的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.
【详解】选①：
，即 是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当 时，
显然， 时，上式不成立，所以 .
选②：当 时， ，即
所以
整理得
又 ，
所以 从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列
当 时， ，即显然， 时，上式成立，所以
选③：
又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
10．（2022·浙江嘉兴·二模）设等差数列 的前n项和为 ，数列 是首项为1公比为 的等
比数列，其前n项和为 ，且 ，对任意 恒成立.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解；
（2）利用（1）得出 的通项公式，再利用错位相减法求出 ，将不等式恒成立问题转化为最值问题即
可求解.
(1)设等差数列 的首项为 ，公差为 则
由 ，得 即
由①得 ，由②得 ，由③得 ，
所以数列 的通项公式为 ，所以数列 的通项公式为 .
(2)由（1）知， ， 所以 ，
①
②
②-①得：
化简得： ，
又因为 ，即
即 ，
（i）当 时， ，所以 ；
（ii）当 时， ，
令 ，则
当 时， ，所以 单调递减；
当 时， ，所以 单调递增；
当 时， 取得最小值为
，即 ,所以 的取值范围是 .
