文档内容
专题19.3 二次根式的加法与减法
（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）
【解析版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：同类二次根式......................................................................................................................................1
知识点梳理02：二次根式的加减.................................................................................................................................2
知识点梳理03：二次根式的混合运算........................................................................................................................2
题型讲练....................................................................................................................................................2
题型1：同类二次根式......................................................................................................................................................2
题型2：二次根式的加减运算........................................................................................................................................3
题型3：二次根式的混合运算........................................................................................................................................4
题型4：分母有理化...........................................................................................................................................................5
题型5：已知字母的值，化简求值...............................................................................................................................7
题型6：已知条件式，化简求值...................................................................................................................................8
题型7：比较二次根式的大小........................................................................................................................................9
题型8：二次根式的应用...............................................................................................................................................11
题型9：复合二次根式的化简......................................................................................................................................12
中考真题..................................................................................................................................................13
分层训练..................................................................................................................................................17
基础夯实...............................................................................................................................................................................17
培优拔高...............................................................................................................................................................................21
知识点梳理01：同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
分配律，如
知识点梳理02：二次根式的加减
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不
变。
知识点梳理03：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算
括号里面的（或先去掉括号）
题型1：同类二次根式
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若❑√2与最简二次根式❑√2m−6可以合并，则m的值为
（ ）
A．m=4 B．m=3 C．m=5 D．m=6
【答案】A
【思路点拨】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类二次根式的定
义解题即可．
【规范解答】解：∵ ❑√2 与 ❑√2m−6 可以合并，
∴2=2m−6，
解得：m=4．
故选：A．
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式❑√3x−4与❑√5是同类二次根式，
则x的值是
【答案】3
【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同
类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得3x−4=5，解方程即可求出x的值．
【规范解答】解：∵最简二次根式❑√3x−4与❑√5是同类二次根式，
∴3x−4=5，
解得x=3，
故答案为：3．
【变式训练2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 ❑√2是同类二次根式的是
（ ）
A．❑√24 B．❑√18 C．❑√12 D．❑√9
【答案】B
【思路点拨】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同
的二次根式叫做同类二次根式，即可解答．
【规范解答】解：A、∵ ❑√24=2❑√6，
∴ ❑√24与❑√2不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、∵ ❑√18=3❑√2，
∴ ❑√18与❑√2是同类二次根式，故B符合题意；
C、∵ ❑√12=2❑√3，
∴ ❑√12与❑√2不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、∵ ❑√9=3，
∴ ❑√9与❑√2不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
题型2：二次根式的加减运算
【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期中）若a+❑√12=❑√27，则表示实数a的点会落在数轴的
（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上
【答案】B
【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估
算出a范围，再结合数轴即可得出结果．
【规范解答】解：∵a+❑√12=❑√27，即a=❑√27−❑√12，∴a=❑√27−❑√12=3❑√3−2❑√3=❑√3，
∵❑√1<❑√3<❑√4，
∴1<❑√3<2，即1”、“<”或“
❑√5+1 2
=”）．
【答案】>
2 ❑√5−1
【思路点拨】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，
❑√5+1 2
1
再比较与 的大小．
2
2 2(❑√5−1)
【规范解答】解： =
❑√5+1 (❑√5+1)(❑√5−1)
2(❑√5−1)
=
5−1
2(❑√5−1)
=
4
❑√5−1
= ．
2
由于 ❑√5>2，故 ❑√5−1>1，
❑√5−1 1
因此 > ．
2 2
故答案为 ：>．(2m+1
)
m2−1
【变式训练2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简，再求值： −1 ÷ ，其中
m m
m=❑√3+2．
1 ❑√3−1
【答案】 ，
m−1 2
【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把
m的值代入计算即可求出值．
(2m+1
)
m2−1
【规范解答】解： −1 ÷
m m
2m+1−m (m+1)(m−1)
= ÷
m m
m+1 m
= ⋅
m (m+1)(m−1)
1
= ，
m−1
1 1 ❑√3−1
当m=❑√3+2时，原式= = = ．
❑√3+2−1 ❑√3+1 2
题型5：已知字母的值，化简求值
【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知m=2+❑√3，n=2−❑√3，求下列各式的值．
(1)m2n+mn2．
1 1
(2) − ．
m n
【答案】(1)4
(2)−2❑√3
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据m2n+mn2=mn(m+n)，将m,n的值代入计算即可得；
1 1 n−m
（2）根据 − = ，将m,n的值代入计算即可得．
m n mn
【规范解答】（1）解：∵m=2+❑√3，n=2−❑√3，
∴m2n+mn2=mn(m+n)=(2+❑√3)(2−❑√3)(2+❑√3+2−❑√3)
=(4−3)×4
=1×4
=4．
（2）解：∵m=2+❑√3，n=2−❑√3，
1 1 n−m
∴ − =
m n mn
2−❑√3−(2+❑√3)
=
(2+❑√3)(2−❑√3)
2−❑√3−2−❑√3
=
4−3
−2❑√3
=
1
=−2❑√3．
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若a=❑√2+1，b=❑√2−1，求代数式a2+b2+7ab的
值．
【答案】13
【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值．先求得a+b和ab的值，再化简a2+b2+7ab得到
(a+b) 2+5ab，然后整体代入求解即可．
【规范解答】解：∵a=❑√2+1，b=❑√2−1，
∴a+b=❑√2+1+❑√2−1=2❑√2，ab=(❑√2+1)(❑√2−1)=1，
∴a2+b2+7ab=(a+b) 2+5ab=(2❑√2) 2+5×1=8+5=13．
【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若x=❑√5+2，则代数式x2−4x+7的值为
．
【答案】8
【思路点拨】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关
键．先利用配方法可得x2−4x+7=(x−2) 2+3，再代入计算即可得．
【规范解答】解：∵x=❑√5+2，∴x2−4x+7=x2−4x+4+3
=(x−2) 2+3
=(❑√5+2−2) 2+3
=(❑√5) 2+3
=5+3
=8，
故答案为：8．
题型6：已知条件式，化简求值
√ y √ x
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知xy=3，求x❑ + y❑ 的值．
x y
【答案】±2❑√3
【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解
答此题的关键．先化简，再分x、y同正或同负两种情况作答．
【规范解答】解：∵xy=3，
∴x、y同号，
√xy √xy x y
∴原式=x❑ + y❑ = ❑√xy+ ❑√xy，
x2 y2 |x) |y)
当x>0，y>0时，原式=❑√xy+❑√xy=2❑√3；
当x<0，y<0时，原式=−❑√xy−❑√xy=−2❑√3；
故原式=±2❑√3．
1 1
【变式训练1】（24-25八年级下·山东日照·月考）已知a= ，b= ，求
3−❑√5 ❑√5−2
a2−b2 (a2+b2
)
÷ +1 的值．
ab(a−b) 2ab
【答案】10❑√5−22
3+❑√5 4❑√5+8 11+5❑√5
【思路点拨】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得a+b= + = ，
4 4 4
再计算分式的混合运算，最后代入计算即可．1 3+❑√5 3+❑√5
【规范解答】解：∵a= = =
，
3−❑√5 (3+❑√5)(3−❑√5) 4
1 ❑√5+2
b= = =❑√5+2，
❑√5−2 (❑√5−2)(❑√5+2)
3+❑√5 4❑√5+8 11+5❑√5
∴a+b= + = ，
4 4 4
a2−b2 (a2+b2
)
∴ ÷ +1
ab(a−b) 2ab
(a+b)(a−b) a2+2ab+b2
= ÷
ab(a−b) 2ab
(a+b)(a−b) 2ab
= ⋅
ab(a−b) (a+b) 2
2
= ；
a+b
2×4
=
11+5❑√5
8(11−5❑√5)
=
121−125
=−2(11−5❑√5)
=10❑√5−22.
1 1
【变式训练2】（24-25八年级下·广西·期中）已知a−
=❑√7，则a2+
的值为 ．
a a2
【答案】9
【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完
1
全平方公式将a− =❑√7两边平方，然后求解即可．
a
1
【规范解答】解：∵a− =❑√7，
a
∴ ( a− 1) 2 =(❑√7) 2 ，
a1 1 1
∴a2+ −2a⋅ =7，即a2+ −2=7，
a2 a a2
1
∴a2+ =9，
a2
故答案为：9．
题型7：比较二次根式的大小
【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小：4❑√2 2❑√7．
【答案】>
【思路点拨】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即
可．
【规范解答】解：∵4❑√2=❑√32，2❑√7=❑√28，32>28，
∴❑√32>❑√28，
即4❑√2>2❑√7，
故答案为：>．
❑√5−1 3
【变式训练1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 a= ，b= ，那么a， b的大小关
2 4
系是 a b（填“>”或者“<”）．
【答案】<
【思路点拨】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法
进行计算比较即可．
❑√5−1 3 2❑√5−5
【规范解答】解：a−b= − = ，
2 4 4
∵(2❑√5) 2<52，
∴2❑√5<5，
∴2❑√5−5<0，
2❑√5−5
∴ <0，
4
∴a−b<0，
∴a，<，=）
2【答案】<
❑√5+1
【思路点拨】本题考查了实数大小比较，首先比较出 和❑√3的平方的大小关系，然后根据：哪个数
2
的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可．
【规范解答】解：
(❑√5+1) 2
=
6+2❑√5
=
3+❑√5
，(❑√3) 2=3，
2 4 2
∵2<❑√5<3，
∴5<❑√5+3<6，
5 ❑√5+3
∴ < <3，
2 2
❑√5+1
∴ <❑√3，
2
故答案为：<．
题型8：二次根式的应用
【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知三角形的三边的长分别为❑√27cm，❑√48cm，
❑√75cm，求三角形的周长．（结果化为最简）
【答案】12❑√3cm
【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，直接把三角形的三边长相加，再进行二次根式混合运算即可．
【规范解答】解：三角形的周长为❑√27+❑√48+❑√75=3❑√3+4❑√3+5❑√3=12❑√3(cm)．
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为50❑√2，长为2❑√10，宽
为❑√10．
(1)求这个长方体的高；
(2)求这个长方体的表面积．
5❑√2
【答案】(1)
2
(2)40+30❑√5
【思路点拨】本题主要考查了长方体的体积以及表面积公式，二次根式混合运算的应用．
（1）根据长方体的体积公式，即可求出高；（2）根据长方体的表面积公式求解即可．
【规范解答】（1）解：这个长方体的高=50❑√2÷2❑√10÷❑√10
50❑√2 50❑√2 5❑√2
= = = ；
2❑√10×❑√10 20 2
( 5❑√2 5❑√2)
（2）解：表面积为2 2❑√10×❑√10+2❑√10× +❑√10× =40+30❑√5．
2 2
【变式训练2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在长方形ABCD中，无重叠放入面积分别为
18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ．
【答案】4
【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为18和8，则两张正方形
纸片边长分别为3❑√2和2❑√2，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
【规范解答】解：∵两张正方形纸片面积分别为18和8，
∴两张正方形纸片边长分别为❑√18=3❑√2和❑√8=2❑√2，
∴剩余部分的面积=(3❑√2−2❑√2)×2❑√2=❑√2×2❑√2=4，
故答案为：4．
题型9：复合二次根式的化简
【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简2❑√4+2❑√3−❑√21−12❑√3的结果为 ．
【答案】5
【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案．
【规范解答】解：2❑√4+2❑√3−❑√21−12❑√3
=2❑√ (❑√3+1) 2 −❑√ (2❑√3−3) 2
=2(❑√3+1)−(2❑√3−3)
=5
故答案为：5．
【变式训练1】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算：❑√5−2❑√6−❑√5+2❑√6【答案】−2❑√2
【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据完全平方公式把式子化简，再进行计算．
【规范解答】解：❑√5−2❑√6−❑√5+2❑√6
=❑√2−2❑√6+3−❑√2+2❑√6+3
=❑√(❑√2) 2 −2❑√6+(❑√3) 2 −❑√(❑√2) 2+2❑√6+(❑√3) 2
=❑√(❑√2−❑√3) 2 −❑√(❑√2+❑√3) 2
=❑√3−❑√2−(❑√3+❑√2)
=−2❑√2．
【变式训练2】（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知❑√a+4+❑√a−1=5，则❑√6−2❑√a=
（ ）
A．❑√3−1 B．❑√3+1 C．❑√5−1 D．2a
【答案】C
【思路点拨】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令t=❑√a−1(t≥0)，得出a=t2+1，代入原
式得❑√t2+5+t=5，解得t=2，得出❑√6−2❑√5=❑√(❑√5−1) 2，进而可得出答案
【规范解答】解：令t=❑√a−1(t≥0)，
∴a=t2+1，
∴❑√a+4=❑√t2+5，
∴❑√t2+5+t=5，
移项，两边平方得t2+5=25−10t+t2，
解得：t=2，
∴a=22+1=5，
∴❑√6−2❑√a=❑√6−2❑√5=❑√(❑√5) 2 −2❑√5+12=❑√(❑√5−1) 2=❑√5−1，
故选：C.1．（2024·河南郑州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．|❑√3−2)=❑√3−2 B．❑√2+❑√3=❑√5
C．❑√6÷❑√3=❑√3 D．❑√2×❑√5=❑√10
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算判断即可．
【规范解答】A、|❑√3−2)=−(❑√3−2)=−❑√3+2，计算错误，不符合题意；
B、❑√2+❑√3≠❑√5，计算错误，不符合题意；
1 √6
C、❑√6÷❑√3=❑√6× =❑ =❑√2，计算错误，不符合题意；
❑√3 3
D、❑√2×❑√5=❑√2×5=❑√10，计算正确，符合题意．
故选：D．
2．（2024·贵州贵阳·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．3❑√2−❑√2=3
C．2❑√3×3❑√3=6❑√3 D．6❑√2÷3❑√2=2
【答案】D
【思路点拨】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键．
利用二次根式的运算法则逐项判断即可．
【规范解答】解：A． ❑√2与❑√3不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B． 3❑√2−❑√2=2❑√2，故该选项错误，不符合题意；
C． 2❑√3×3❑√3=18，故该选项错误，不符合题意；
D． 6❑√2÷3❑√2=2，故该选项正确，符合题意．
故选D．
3．（2024·四川南充·中考真题）如图，菱形ABCD与菱形AECF中，E，F在BD上，
❑√6+❑√2
∠ABD=∠EAF=30°，下列结论：①BD=❑√3CD；②BE=❑√2AE；③AB= AF；④
2
AB⋅EF=AE2，正确的有 个．【答案】4
【思路点拨】此题主要考查了菱形的性质，二次根式的混合运算以及勾股定理等知识．
利用菱形的对角线平分对角，结合30°，45°，利用勾股定理，表示出AB，AE的长，进而即可解决问题．
【规范解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，∠ABD=∠EAF=30°，
1
∴∠ABC=2∠ABD=60°，∠CAE= ∠EAF=15°，
2
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
设菱形ABCD的边长为2a，
1
∴AB=BC=CD=AC=2a，AO=CO= AC=a，BO=DO，
2
∴BO=DO=❑√(2a) 2−a2=❑√3a，
∴BD=2❑√3a，
∴BD=❑√3CD，故①正确；
则在Rt△AME中，∠MAE=∠BAC−∠CAE=45°，则AM=EM，
那么AE2=AM2+EM2，
❑√2
∴AM=EM= AE，
2
在Rt△BME中，∠ABD=30°，则BE=2EM，
∴BE=❑√2AE，故②正确；
❑√2 ❑√6
那么BE2=EM2+BM2，则BM=❑√3EM，BM=❑√3× AE= AE，
2 2❑√2+❑√6 ❑√2+❑√6
∴AB=AM+BM= AE= AF，
2 2
故③正确；
设AM=EM=x，则AE=AF=❑√2x，
∵∠ABF=∠EAF=30°，∠MAE=45°，
∴BE=2x，BM=❑√BE2−EM2=❑√3x，
∵AM+BM=AB=2a，
∴x+❑√3x=2a，
2a
解得x= =(❑√3−1)a，
❑√3+1
∵OE=BO−BE=❑√3a−2x，
∴EF=2OE=2❑√3a−4x=2❑√3a−4(❑√3−1)a=(4−2❑√3)a，
∴AB⋅EF=2a⋅(4−2❑√3)a=(8−4❑√3)a2，
AE2=(❑√2x) 2=2[(❑√3−1)a) 2 =(8−4❑√3)a2，
∴AB⋅EF=AE2，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个，
故答案为：4．
4．（2024·全国·中考真题）如图，四边形ABCD中，
∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,AB=1,AD=2，在BC、 CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最
小，则最小值为 ．
【答案】2❑√7
【思路点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的
性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M、N的位置是解题关键．根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的
对称点A′,A″,即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．
【规范解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′,A″，连接A' A''，交BC于M，交CD于N，则A' A''即为
△AMN的周长最小值，作A′H⊥DA交DA的延长线于H，
∴A A′=2AB=2,A A″ =2AD=4，
∵∠DAB=120°，
∴∠HA A′=60°，
在Rt△A′HA中，∵A′H⊥HA，
∴∠A A′H=30°，
1
∴AH= A A′=1，
2
∴A′H=❑√22−12=❑√3，A″H=AH+A A″=1+4=5，
在Rt△H A′ A″中，A' A''=❑√A'H2+A''H2=❑√(❑√3) 2+52=2❑√7，
∴△AMN周长的最小值=AM+AN+MN=A′M+A″N+MN=A′ A″=2❑√7．
故答案为：2❑√7．
5．（2024·云南丽江·中考真题）计算： ❑√(−2) 2+❑√2×❑√8+
(1) −1
−(1−❑√3) 0+❑√18．
2
【答案】7+3❑√2
【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利
用零指数幂、负整数指数幂法则、绝对值的性质、二次根式的乘法与化简计算即可得到结果．
【规范解答】解： ❑√(−2) 2+❑√2×❑√8+
(1) −1
−(1−❑√3) 0+❑√18
2
=2+❑√16+2−1+3❑√2
=2+4+2−1+3❑√2=7+3❑√2．
基础夯实
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：❑√3，❑√8，❑√15，❑√24，…，
则第6个二次根式为（ ）
A．❑√30 B．❑√35 C．❑√42 D．❑√48
【答案】D
【思路点拨】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式
子可得规律：第n个数是❑√(n+1) 2−1 ，进而求解．
【规范解答】解：∵第n个二次根式为❑√(n+1) 2−1，
∴当n=6时，❑√(6+1) 2−1=❑√48，
∴第6个二次根式为❑√48；
故选：D．
2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数：❑√2，2，❑√6，❑√8，❑√10，…，第200
个数是（ ）
A．10 B．❑√200 C．20 D．❑√800
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，
据此规律求解即可．
【规范解答】解：第一个数为❑√2，
第二个数为2=❑√4，
第三个数为❑√6，
第四个数为❑√8，
……，
以此类推可知，
第n个数为❑√2n，
∴第200个数是❑√2×200=❑√400=20，故选：C．
3．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①❑√a11，②❑√a5，③a4，④a，
且告知a>1．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列
排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④
【答案】B
【思路点拨】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即
可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【规范解答】解：(❑√a11) 2 =a11，(❑√a5) 2 =a5，(a4) 2 =a8，
∵ a>1，
∴a11>a8>a5>a2，
即(❑√a11) 2 >(a4) 2 >(❑√a5) 2 >a2，
∴❑√a11>a4>❑√a5>a，
∴代数式从小到大顺序为④②③①，
故选：B．
4．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算3❑√2+❑√2−5❑√2=
【答案】−❑√2
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解．
【规范解答】解：3❑√2+❑√2−5❑√2=(3+1−5)❑√2=−❑√2．
故答案为：−❑√2．
5．（24-25八年级下·云南红河·期末）化简❑√12−❑√3的结果是 ．
【答案】❑√3
【思路点拨】此题考查了二次根式的减法运算．先化简❑√12，再进行二次根式的减法即可．
【规范解答】解：❑√12−❑√3
=❑√4×3−❑√3
=2❑√3−❑√3
=(2−1)❑√3
=❑√3
故答案为：❑√36．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式❑√3m−1与❑√2是同类二次根式，则m的值为
．
【答案】1
【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义．
根据同类二次根式的定义，被开方数相同，列方程求解即可．
【规范解答】解：由题意得：3m−1=2，
解得 m=1．
故答案为：1．
7．（24-25八年级下·四川泸州·期中）❑√3−1的倒数是 ．
❑√3+1
【答案】
2
【思路点拨】本题考查了倒数的定义和分母有理化，要将❑√a+❑√b中的根号去掉，要用
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=a−b．
先写出倒数，再直接分母有理化即可．
1 ❑√3+1
【规范解答】解：❑√3−1的倒数是 = ．
❑√3−1 2
❑√3+1
故答案为： ．
2
8．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，
在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长
a+b+c
直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p= ，那么这个三角形
2
的面积S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
如图，在△ABC中，a=8，b=4，c=6．求△ABC的面积．
【答案】3❑√15
【思路点拨】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．将a=8，b=4，c=6代入公式计算得出p，然后再代入S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)计算即可得出答案．
【规范解答】解：∵a=8，b=4，c=6，
a+b+c
∴p= =9，
2
∴S =❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
△ABC
=❑√9×(9−8)×(9−4)×(9−6)
=3❑√15．
9．（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：
(−1) 2025+|−❑√2)+
(1) −1
−(2024−π) 0+(❑√2+1)(❑√2−1)
3
【答案】2+❑√2
【思路点拨】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关
运算法则是解题的关键．先进行乘方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂，平方差公式的计算，再进行
加减运算即可．
【规范解答】解：原式=−1+❑√2+3−1+(2−1)
=−1+❑√2+3−1+1
=2+❑√2．
10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空
中的宇宙飞船内的时间经过❑
√
1−
(v) 2
秒（c=3×105千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一
c
艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是2.4×105千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的
时间经过了几分钟？
【答案】6分钟
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键．
先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该
宇宙飞船内经过的时间．v 2.4×105
【规范解答】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时， = =0.8，
c 3×105
√ (v) 2 √ (4) 2 3
❑1− =❑1− =
c 5 5
3
飞船内经过的时间为600× =360秒，即6分钟
5
答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟．
培优拔高
11．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）若6−❑√13的整数部分为x，小数部分为y，则(2x+❑√13)y的
值是（ ）
A．4−❑√13 B．4+❑√13 C．29 D．3
【答案】D
【思路点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−❑√13的整数部分x与小数部分y的值是关键．
首先根据❑√13的整数部分，确定6−❑√13的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求代数式计算即可
求解．
【规范解答】解：∵3<❑√13<4
∴2<6−❑√13<3
∴6−❑√13的整数部分x=2
则小数部分是：6−❑√13−2=4−❑√13，则y=4−❑√13
则(2x+❑√13)y=(4+❑√13)(4−❑√13) =16−13=3
故选：D．
12．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．2+❑√5=2❑√5 B．❑√5−❑√3=❑√2 C．(❑√5) 2=5 D．❑√(−6) 2=−6
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和性质分别计算各选项后再
进行判断即可．
【规范解答】解：A、2与❑√5不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；
B、❑√5与❑√3不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；C、(❑√5) 2=5，计算正确，符合题意；
D、❑√(−6) 2=6，原选项计算错误，故不符合题意，
故选：C．
13．（24-25八年级下·重庆·期末）已知x+2y+6=4❑√x+1+2❑√2y，则xy的值为（ ）
1 3
A．0 B． C．1 D．
2 2
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通
过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出x和y的值，进而计算xy．
【规范解答】解：∵ x+2y+6=4❑√x+1+2❑√2y，
∴ x+1−4❑√x+1+4+2y−2❑√2y+1=0，
∴ (❑√x+1−2) 2+(❑√2y−1) 2=0，
∴ ❑√x+1−2=0，❑√2y−1=0，
1
解得x=3，y= ，
2
1 3
∴ xy=3× = ，
2 2
故选：D．
1 2
14．（23-24八年级下·上海·期末）计算： + = ．
1−❑√2 ❑√2
【答案】−1
【思路点拨】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结
合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉
及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式
消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的
2
变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简 时计算失误．
❑√2
1 2
【规范解答】解： +
1−❑√2 ❑√21×(1+❑√2) 2×❑√2
= +
(1−❑√2)(1+❑√2) ❑√2×❑√2
1+❑√2
= +❑√2
−1
=−1−❑√2+❑√2
=−1．
故答案为： −1．
15．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝
{❑√m−❑√n(m≥n))
，计算(8※3)×(18※27)的结果为 ．
❑√m+❑√n(m0、b>0，
∴a，<或者=）
(2)猜想m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)<
(2)m>n，证明见解析
【思路点拨】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键．
利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数．【规范解答】（1）∵ c=2❑√3，d=3❑√2，
∴c2=(2❑√3) 2=12，d2=(3❑√2) 2=18，
∵12<18，
∴cn，理由如下：
∵ m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5，
∴m2=(2❑√5+❑√13) 2=4×5+2×2❑√5×❑√13+13=20+4❑√65+13=33+4❑√65，
n2=(2❑√7+❑√5) 2=4×7+2×2❑√7×❑√5+5=28+4❑√35+5=33+4❑√35，
∵❑√65>❑√35，
∴4❑√65>4❑√35，
∴33+4❑√65>33+4❑√35，即m2>n2，
∵m>0，n>0，
∴m>n．
❑√2−1 ❑√2+1
19．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知x= ，y= ，求x2y+x y2的值．
2 2
❑√2
【答案】
4
【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出x+ y
和xy的值，然后利用因式分解进行计算即可解答．
❑√2−1 ❑√2+1
【规范解答】解：∵x= ，y= ，
2 2
1
∴x+ y=❑√2，xy= ，
4
❑√2
∴x2y+x y2=xy(x+ y)= ．
4
20．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算：
(1)|1−❑√2|+√38−❑√2−❑√4；
√1
(2)❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24．
2
【答案】(1)−1；(2)4+❑√6．
【思路点拨】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是
解题关键．
（1）先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得；
（2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得．
【规范解答】（1）原式=❑√2−1+2−❑√2−2
=−1．
（2）原式=❑√16−❑√6+2❑√6
=4+❑√6．
