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专题19 多个等腰三角形求角度
1．如图，在第1个 中， ，在 上取一点C，延长 到 ，使得
；在 上取一点D，延长 到 ，使得 ；……，按此做法进行下去，
第2013个三角形中以 为顶点的内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BAA的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别
1
求出∠CAA，∠DA A 及∠EAA 的度数，找出规律即可得出∠A 的度数，从而求出结果．
2 1 3 2 4 3 n
【详解】
解： 在 中， ， ，
，
1
， 是△ 2 的外角，
；
同理可得，
， ，
．∴第2013个三角形中以 为顶点的内角的度数为 ，
故选A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CAA，∠DA A 及
2 1 3 2
∠EAA 的度数，找出规律是解答此题的关键．
4 3
2．如图，在 中， ，点 为 边上一点，且 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C．32° D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先设 ，根据 ， ，得出 ， ，
，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
设 ，
，
， ，
，
，
，
，即 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰
三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等
分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，
C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数是（ ）
A．72° B．75° C．80° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角
形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可求得x值，
再由∠CDE=180°-4x即可求得答案．
【详解】
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE＝81°，∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
∴ ，
解得： ，
，故A正确．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形性质，熟练进行逻辑推理是
解题关键．
4．如图， 为等边三角形，在 的延长线上取点 ，使 ，得等腰 ；在的延长线上取点 ，使 ，得等腰 ，按此做法继续下去，则等腰
的顶角的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
∵△PAA 是等边三角形，
1 2
∴∠PAA=60°，
2 1
∵AP=AA，
2 2 3
∴∠PAA=∠APA，
3 2 2 3
∵∠PAA=∠PAA+∠APA，
2 1 3 2 2 3
∴∠PAA=30°= ×60°，
3 2
同法可得，∠PAA= ∠PAA=（ ）2×60°，∠PAnAn =（ ）n-2×60°，
4 3 3 2 -1
∴∠PAn An=180°-2×（ ）n-2×60°=180°-（ ）n-3×60°，
-1
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考
常考题型．5．如图，在第1个 中， ， ；在边 上任取一点D，延长 到 ，使
，得到第2个 ；在边 上任取一点 ，延长 到 ，使 ，得到
第3个 ，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以 为顶点的底角度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，AB=CB，得∠BAC=75°．由AA=AD，得
1 1 1 2 1
∠DAA=∠ADA．根据三角形外角的性质，得∠BAC=∠DAA+∠ADA=2∠DAA，得∠DAA=
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
∠BAC= ×75°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题即可．
1
【详解】
∵∠B=30°，AB=CB，
1
∴∠BAC= ×150°=75°．
1
∵AA=AD，
1 2 1
∴∠DAA=∠ADA．
2 1 1 2
∴∠BAC=∠DAA+∠ADA=2∠DAA．
1 2 1 2 1 2 1
∴∠DAA= ∠BAC= ×75°．
2 1 1
同理可得：∠EAA=12∠DAA= × ×75°．
3 2 2 1…
以此类推，以An为顶点的内角度数是 ．
∴以A 为顶点的内角度数是 ．
2021
故选 A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角
的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
6．如图，已知AB＝AB，AB＝AA，AB＝AA，AB＝AA，若∠A＝50°，则∠An AnBn 的
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 ﹣1 ﹣1
度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意易得 ， ，…..；
然后根据三角形外角的性质可得 …..，由此可得规律．
【详解】
解：∵AB＝AB，AB＝AA，AB＝AA，AB＝AA，∠A＝50°，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4
∴ ， ，…..；
∵ ，
∴ ，同理可得 ，……；
∴ ；
故选B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角
的性质是解题的关键．
7．在△ABC中，AB=AC， 若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则
∠BAC的度数为（ ）
A．90°或108°或36°或 B．90°或108°或36°
C．90°或54°或36°或 D．90°或54°或36°
【答案】A
【解析】
【分析】
分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形，由于AB=AC，故以点B和
以点C为顶点作的等腰三角形结果是一样的，所以讨论点A、点B为顶点的情况，根据等腰三角
形的性质找出角的关系，由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图1，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ，
设 ，
，
，
，
， ，，
在 中， ，
，
解得： ，
；
如图2，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ， ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
；如图3，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
；
如图4，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使 ， ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，，
解得： ，
，
综上， 可为90°或108°或36°或 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理，画出符合条件的图形，根据等腰三角形的判定
以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．
8．如图在第一个△ABC中，∠B＝40°，AB＝BC，在边AB上任取一点D，延长CA 到A，使
1 1 1 1 2
AA＝AD，得到第二个△AAD，再在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使AA＝AE，得到
1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 2
第3个△AAE．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点
2 3
的内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别
1
求出∠DAA，∠EAA 及∠FAA 的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度
2 1 3 2 4 3
数．
【详解】
解：在△CBA 中，∠B＝40°，AB＝CB，
1 1
∴∠BAC＝ ＝70°，
1
∵AA＝AD，∠BAC是△AAD的外角，
1 2 1 1 1 2∴∠DAA＝ ∠BAC＝ ×70°，
2 1 1
同理可得∠EAA＝（ ）2×70°，∠FAA＝（ ）3×70°，
3 2 4 3
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DAA，∠EAA 及∠FAA
2 1 3 2 4 3
的度数，找出规律是解答此题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
9．如图在第二个△ABC中，∠B=40°，AB=BC，在边AB上任取一点D，延长CA 到A，使
1 1 1 1 2
AA=AD，得到第二个△AAD，再在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使AA=AE，得到第
1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 2
3个△AAE…如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角
2 3
的度数为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别
1
求出∠DAA，∠EAA 及∠FAA 的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度
2 1 3 2 4 3
数．
【详解】
解：在△CBA 中，∠B=40°，AB=CB，
1 1
∴∠BAC= （180°-∠B）=70°，
1∵AA=AD，∠BAC是 AAD的外角，
1 2 1 1 1 2
△
∴∠DAA= ∠BAC= ×70°，
2 1 1
同理可得∠EAA=（ ）2×70°，
3 2
∠FAA=（ ）3×70°，
4 3
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）n-1×70°．
故答案为：70°× ．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DAA，∠EAA 及∠FAA
2 1 3 2 4 3
的度数，找出规律是解答此题的关键．
10．如图，在第1个△ABC中，∠B=30°，AB=CB，在边AB上任取一点D，延长CA 到A，使
1 1 1 1 2
AA=AD，得到第2个△AAD；在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使AA=AE，得到第3
1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 2
个△AAE 按此做法继续下去，则第2022个三角形中，以A 为顶点的底角的度数是
2 3 2022
_________⋯__⋯_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，AB=CB，得∠BAC=∠C，30°+∠BAC+∠C=180°，那么
1 1 1
∠BAC= ×150°=75°．由AA=AD，得∠DAA=∠ADA．根据三角形外角的性质，由
1 1 2 1 2 1 1 2
∠BAC=∠DAA+∠ADA=2∠DAA，得∠DAA= ∠BAC= × ×150°．以此类推，运用特殊到
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
一般的思想解决此题．【详解】
解：∵∠B=30°，AB=CB，
1
∴∠BAC=∠C，30°+∠BAC+∠C=180°．
1 1
∴2∠BAC=150°．
1
∴∠BAC= ×150°=75°．
1
∵AA=AD，
1 2 1
∴∠DAA=∠ADA．
2 1 1 2
∴∠BAC=∠DAA+∠ADA=2∠DAA．
1 2 1 2 1 2 1
∴∠DAA= ∠BAC= × ×150°．
2 1 1
同理可得：∠EAA= ∠DAA= × ×150°．
3 2 2 1
…，
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An=（ ）n×150°=（ ）n-1×75°．
∴以A 为顶点的内角度数是（ ）2021×75°= ．
2022
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外
角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
11．如图，在△ABA 中，∠B＝20°，AB＝AB，在AB上取一点C，延长AA 到A，使得AA＝
1 1 1 1 2 1 2
AC；在AC上取一点D，延长AA 到A，使得AA＝AD；…，依此进行下去，∠AAC的度数
1 2 1 2 3 2 3 2 1 2
为______；以An为顶点的锐角的度数为______．
【答案】 40°
【解析】【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BAA的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别
1
求出∠AAC，∠DAA 及∠EAA 的度数，找出规律即可得出以An为顶点的锐角的度数．
1 2 3 2 4 3
【详解】
解：在△ABA 中，∠B=20°，AB=AB，
1 1
∴
∵AA=AC，∠BAA是△AAC的外角，
1 2 1 1 1 2
∴ ；
同理可得， ∠DAA= ，∠EAA= ，
3 2 4 3
∴以An为顶点的锐角的度数为 ．
故答案为：40°， ．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠AAC，∠DAA 及∠EAA
1 2 3 2 4 3
的度数，找出规律是解答此题的关键．
12．如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑
木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添
加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为_________．
【答案】0°＜α＜
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质和外角性质可得，∠GEF=2α，∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可列不等式，
即可求解．
【详解】解：∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，
∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，
∵最多能添加这样的钢管6根，
∴7α＜90°，
∴0°＜α＜ ，
故答案为：0°＜α＜ ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关
键．
13．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝20°，在BC 上取一点C ，延长AB 到点B，使得
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
BB＝BC ，在BC 上取一点C ，延长AB 到点B，使得BB＝BC ，在BC 上取一点C ，延长
1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 4
AB 到点B，使得BB＝BC ，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠ABC ＝
3 4 3 4 3 4 2 2
________°；第n个三角形的内角∠ABnCn＝________°．
【答案】 40
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠C BA的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别
1 1
求出∠BBC ，∠C BB 及∠C BB 的度数，找出规律即可得出∠ABnCn的度数．
1 2 2 3 3 2 4 3 2
【详解】
解：△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝20°，
1 1 1 1 1 1∴∠C BA＝ ，
1 1
∵BB＝BC ，，∠C BA是△BBC 的外角，
1 2 1 2 1 1 1 2 2
∴∠BBC ＝ ；
1 2 2
同理可得，
∠C BB＝20°，∠C BB＝10°，
3 3 2 4 3 2
∴∠ABnCn＝ ．
故答案为：40， ．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠BBC ，∠C BB 及
1 2 2 3 3 2
∠C BB 的度数，找出规律是解答此题的关键．
4 3 2
14．如图，在 中， ， ， ，则 ________（度）．
【答案】45
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理用∠A表示 和 ，再根据
即可得解．
【详解】
解：∵ 中， ，
∴∠B=90°-∠A，
∵AC=AD，
∴ ，∵ ，
∴ ,
∴ ．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理．能利用相关性质正确
表示角是解题关键．
15．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠B＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C
落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D
重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，则∠DEB＝___∠A，∠ABC的大小为___°．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，折叠的性质解答即可．
【详解】
解：∵纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，
∴ ， ，
则 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，熟知等腰三角形等腰对等角，折叠后的图形对应角
相等是解本题的关键．
16．如图，若 、 、 在 上， 、 在 上，且 ， ，
则 ______．
【答案】70°
【解析】
【分析】
据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得△DCE是等边三角形，结合∠FEB＝∠CED＋
∠DEF−∠CEB，即可求解．
【详解】
解：∵AB＝BC＝CD＝ED＝EF，∠A＝20°，
∴∠BCA＝20°，
∴∠CBD＝∠BDC＝40°，
∴∠DCE＝∠CED＝60°，
∴∠EDF＝∠DFE＝80°，
∴∠DEF＝180°-80°-80°=20°，
∵△DCE中，∠DCE＝∠CED＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴DC＝CE，
∴BC＝CE，
则∠CBE＝∠CEB，
又∠BCA＝20°，
∴∠CEB＝10°，
∴∠FEB＝∠CED＋∠DEF−∠CEB＝60°＋20°−10°＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的
性质，是基础题．三、解答题
17．如图，已知 ，求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
由∠B=20°，根据三角形内角和公式可求得∠BAA的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外
1
角的性质找∠BAA与∠A 的关系即可解答．
1 4
【详解】
解：∵AB=AB，∠B=20°，
1
∴∠A=∠BAA= （180°-∠B）= （180°-20°）=80°，
1
∵AC=AA，AD=AA，AE=AA，
1 1 2 2 2 3 3 3 4
∴∠ACD=∠AAC，
1 1 2
∵∠BAA是△AAC的外角，
1 1 2
∴∠BAA=2∠CA A=4∠DAA=8∠A，
1 2 1 3 2 4
∴∠A=10°．
4
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分
利用外角的性质确定∠BAA与∠A 的关系是解答本题的关键．
1 4
18．如图，已知等边三角形ABC，在边AC上任取一点D，延长BA 到A，使AA＝AD，得到第
1 1 1 2 1 2 1
2个 AAD，在边AD上任取一点E，延长AA 到A，使AA＝AE，得到第3个 AAE，…按此
1 2 2 1 2 3 2 3 2 2 3
做法△继续下去． △（1）第4个三角形中的底角度数；
（2）第n（n≥1）个三角形中的底角度数；
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等腰边角形的性质，得 ；根据等腰三角形和三角形外角的性质，依次得：
、 、 ，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，根据数字规律、乘方的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵等边三角形ABC，
1
∴
∵AA＝AD，
1 2 1
∴第2个三角形中的底角
∵AA＝AE，
2 3 2
∴第3个三角形中的底角
∵AA＝AF，
3 4 3
∴第4个三角形中的底角 ；
（2）根据（1）的结论，得：第n个三角形中的底角度数为 ．
【点睛】
本题考查了三角形、数字规律、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、等边三角形、等腰三角形、数字规律的性质，从而完成求解．
