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考点 7-1 平行垂直与动点
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知 分别是正方体所在棱的中点，则下列直线
中与直线 相交的是（ ）．
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线 ．
【答案】A
【分析】
通过空间想象直接可得.
【详解】
如图，易知 ，所以 ，且 ，
所以 为梯形，故 与EF相交，A正确；
因为 ，所以 ，故B错误；
因为平面CDH 平面EFNL， 平面CDH， 平面EFNL，
所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；
因为 平面ADF， 平面 ，故AD与EF异面，D错误.
故选：A
2．（2020·山东·高考真题）已知正方体 （如图所示），则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】
A. ， 与 相交，所以 与 异面，故A错误；
B. 与平面 相交，且 ，所以 与 异面，故B错误；
C.四边形 是矩形，不是菱形，所以对角线 与 不垂直，故C错误；
D.连结 ， ， ， ，所以 平面 ，所以 ，故D正
确.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、
为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 不平行于平面 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，连接 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
、 分别为 、 的中点，则 ，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
对于B选项，连接 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
、 分别为 、 的中点，所以， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
对于C选项，连接 ，如下图所示：因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
、 分别为 、 的中点，所以， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
对于D选项，连接 、 交于点 ，则 为 的中点，设 ，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
若 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则 ，
在平面 内，过该平面内的点 作直线 的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.
假设不成立，故D选项中的直线 与平面 不平行.
故选：D.
4.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点.给出
以下四个结论：
①直线 与直线 相交；②直线 与直线 平行；③直线 与直线 异面；④直线 与直线异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).
【答案】③④
【分析】
利用异面直线的定义进行判断.
【详解】
平面 ， 平面 ，且 ，根据异面直线的定义可得，直线 与直线
异面，故①错；类似的根据定义可说明直线 与直线 异面，直线 与直线 异面，直线
与直线 异面，故②错，③，④正确.
故答案为：③④
5．（2022·全国·高三专题练习）已知平面 、 和直线 、 ，则下列说法：
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ， ， ，则 .
其中正确的说法序号为________．
【答案】④
【分析】
利用面面垂直的性质定理逐项判断可得出结论.
【详解】
对于①，若 ， ， ，则 与 的位置关系不确定，①错；
对于②，若 、 不垂直，则 与 不垂直，②错；
对于③，若 ， ，则 与 不一定垂直，③错；
对于④，由面面垂直的性质定理可知④对.
故答案为：④.
6．（2021·北京·高三开学考试）在正方体 中，点 在正方形 内，且不在棱上，则A．在正方形 内一定存在一点 ，使得
B．在正方形 内一定存在一点 ，使得
C．在正方形 内一定存在一点 ，使得平面 平面
D．在正方形 内一定存在一点 ，使得 平面
【答案】A
【分析】
对于选项A，当 是 的中位线时，可判断A选项；对于选项B，假设存在，则 平面 ，
或者 平面 ，进而与已知矛盾判断B选项；对于选项C，假设存在，则可得到平面 平
面 ，进而由矛盾判断C选项；对于选项D，假设存在，则可得到平面 平面 ，进而已
知矛盾判断D选项.
【详解】
对于选项A，连接 、 交于点P，连接 、 交于点Q，连接 、 ，
因为 是 的中位线，所以 ，故A项正确；对于选项B，在正方形 内如果存在一点Q，使得 ，由于 平面 ，所以 平
面 ，或者 平面 ，而P、Q在平面 的两侧， 与平面 相交，故B项错
误；
对于选项C，在正方形 内如果存在一点Q，使得平面 平面 ，由于平面 平面
，所以平面 平面 ，而平面 与平面 相交于点 ，故C项错误；
对于选项D，在正方形 内如果存在一点Q，使得 平面 ，由于 平面 ，所以平
面 平面 ，而P、Q在平面 的两侧，所以平面 与平面 相交，故D项错误．故选：A
7．（2011·浙江·高考真题（理））下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【答案】D
【分析】
利用面面垂直的性质定理和线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用
面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误.
【详解】
对于 ，设平面 ∩平面 =直线a,设直线 ，且b a,则显然直线 平面 ，
根据线面平行的判定定理可得直线b ，故 正确；
对于B，如果 内存在直线与 平行，则由面面垂直的判定定理可知平面 ⊥平面 ，
与已知矛盾，故 正确；
对于C，设平面α 平面 ，平面β 平面γ ,在 内作直线 ，
由面面垂直的性质定理可得 ，又∵直线 ,∴ ,
又∵α∩β＝l，∴ 为相交直线，又∵ 平面 ，∴l⊥平面γ，故C正确；
平面α⊥平面β，设平面α∩平面β ，在平面α内与 平行的直线都不与平面 垂直，
故 D项错误．故选:D.
8．（2022·全国·高考真题（文））在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【分析】证明 平面 ，即可判断A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，分别求出平
面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】
解：在正方体 中， 且 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ， 则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，从而有： ，
据此可得 ，即 ，据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
9.（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，
，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个
你认为正确的条件即可）【答案】 （或 ， 等都可）
【分析】
先确定所填答案，如 ，再证明平面MBD⊥平面PCD即可，根据线面垂直的性质可得 ，
从而可得 平面 ，再根据线面垂直的性质可得 ，从而可得 平面MBD，再根据面面
垂直的判定定理即可得证.
【详解】
解：可填 ，
由 为菱形，则 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，
又 ， ，
所以 平面MBD，
又因 平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
故答案为： .（或 ， 等都可）
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））如图，在边长为4的正三角形 ，E为边 的中点，
过E作 于D．把 沿 翻折至 的位置，连接 ．翻折过程中，其中正确的结论是
_________① ；
②存在某个位置，使 ；
③若 ，则 的长是定值；
④若 ，则四面体 的体积最大值为
【答案】①③④
【分析】
根据线面垂直的性质判断①，②；取 中点 ，可证明 ，从而可计算出 ，判断③；折叠过
程中， 不动，当 到平面 的距离最大时，四面体 的体积最大，从而计算出最大体积后
判断④．
【详解】
因为 ， 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，①正确；
若存在某个位置，使 ，如图，连接 ，因为 ，
所以 ，
连接 ， 中， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
由选项①的判断有 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，则 ，这是不可能的，事实上
，②错；
设M是 中点，连接 ，则 ，所以 ，
从而 ，D是 中点，所以 ，若 ，即 ，
所以 ，所以 ，且由 得 ，
所以 ， 边长为则4，则
为定值，③正确；
折叠过程中， 不变， 不动，当F到平面 的距离最大时，
四面体 的体积最大，由选项C的判断知当 平面 时，
F到平面 的距离最大且为 ，又 ，
所以此最大值为 ，④正确，
故答案为：①③④．11.（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体 中，点P是线段 上的动点，
给出以下四个命题：
①异面直线 与直线 所成角的大小为定值；
②二面角 的大小为定值；
③若Q是对角线 上一点，则 长度的最小值为 ；
④若R是线段 上一动点，则直线 与直线 不可能平行．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误.
【详解】
解：对于①，由正方体的性质可知， 平面 ，又 平面 ,
故 ，异面直线 与直线 的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面 即为平面 ，平面 与平面 所成的二面角为定值，故二面角
为定值，②正确；
对于③，将平面 沿直线 翻折到平面 内，平面图如下，过 点做 ， ，
,此时， 的值最小.
由题可知， , ,，
则 ， ，
故 ,又 ，
故 的最小值为 ，故③正确.
对于④，在正方体 中易证 平面 ，设 ，则 即为二面角
的平面角，又正方体边长为1，故 ，则 ,由余弦定理得
，故 ，同理 ,
故在 上必然存在一点 ，使得二面角 为 ，即平面 平面 ，平面 与平面
的交线为 ，
则 ，过 点作 的垂线 .此时 平面 ，又 平面 ，故 .故④错
误.
故选：C.12．（2022·全国·高三专题练习）正方体ABCD﹣ABC D 中，E是棱DD 的中点，F在侧面 上运动，
1 1 1 1 1
且满足 平面 .以下命题中，正确的个数为（ ）
①侧面 上存在点 ，使得 ；
②直线 与直线 所成角可能为30°；
③设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
先依据题给条件求得点F在侧面 上的轨迹为线段 ，当点 为 中点时， ，则①判断
正确；求得直线 与直线 所成角最大值否定②；举特例否定③.
【详解】
分别取 的中点 ，连接
由 ，可得四边形 为平行四边形，
则 ，又 ， ,则平面 平面 ，
则当点 落在线段 上时， 平面 ，则 平面
即满足题意的点F在侧面 上的轨迹为线段
①取 中点P，连接 ，
△ 中， , ，则
又 ，则 ,即当F为 中点时，有 .判断正确；
②当点F在线段 上运动变化到端点K或H时，
直线 与直线 所成角取得最大值，
此时直线 与直线 所成角为 （或 ）
又 ，
则 .则直线 与直线 所成角不可能为30°.判断错误；
③设正方体棱长为1，当F为 与HK交点时，
过点E，F，A的平面交 于 的中点M，连接过点E，F，A的平面截正方体所得截面为菱形
又菱形 对角线 ，
则截面 的面积为 .判断错误.
故选：B
13．（2022·辽宁大连·二模）如图所示，在正方体 中，点F是棱 上的一个动点(不包括
顶点)，平面 交棱 于点E，则下列命题中正确的是( )
A．存在点F，使得 为直角
B．对于任意点F，都有直线 ∥平面
C．对于任意点F，都有平面 平面
D．当点F由 向A移动过程中，三棱锥 的体积逐渐变大
【答案】C
【分析】
A：验证 是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明 ⊥平面 即可；D：证明 ∥平面 即可．
【详解】
对于A，易知 ，故 与 不垂直，故A错
误；
对于B，连接 、AC、EF，则平面 平面 =EF，
若 ∥平面 ，则 ∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时 与EF才平行，故B错误；
对于C，连接 、 、 、 、 、 ，
由AB⊥平面 得AB⊥ ，易知 ⊥ ，
∵AB∩ =A，AB、 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∴ ⊥ ，同理可证 ⊥ ，
∵ ∩ = ， 、 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ，故C正确；
对于D，连接 、 、 ，∵ ∥ ， 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 ，则F到平面 的距离为定值，
又△ 面积为定值，故三棱锥F- 体积为定值，故D错误．
故选：C．
14．（2022·江西萍乡·三模（理））如图，在正方形 中，点 是边 的中点，将 沿 翻
折到 ，连接 ，在 翻折到 的过程中，下列说法正确的是_________．（将正
确说法的序号都写上）
①点 的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得 ；
③棱 的中点为 ，则 的长为定值；
【答案】①③
【分析】
依据翻折过程中 ， 均不变，判定点 的轨迹为圆弧，从而判断①正确；利用反证法
否定②；求得翻折过程中 的长恒为 ，从而判断③正确.
【详解】
设正方形 边长为a,
①在正方形 中，过点D作 于H，则在 翻折到 的过程中， ， 均不变，
则点 的轨迹为以H为圆心，以 为半径的圆弧.判断正确；
②假设存在某一翻折位置，使得 .
在△PAM内，过点P作 于N，连接BN，
由 ， ， ，可得 平面PBN
又 平面PBN，则 ，则
又在正方形 中， .
二者互相矛盾，故假设不成立，即不存在某一翻折位置，使得 .判断错误；
③棱 的中点为 .取PA中点K，连接EK，CE，MK， 则则有 ， ，则 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
又 ，则 ，即 的长为定值.判断正确.
故答案为：①③
15．（2022·陕西·西安中学三模（文））在棱长为2的正方体 中，点E、F分别是棱BC，
的中点，P是侧面四边形 内(不含边界)一点，若 平面AEF，则线段 长度的取值范围是
________.
【答案】
【分析】
作出过点 平行于平面 的平面与平面 的交线，确定动点P的位置，再借助三角形计算作答.
【详解】
在正方体 中，取 的中点M，N，连 ，如图，因点E、F分别是棱BC， 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，则有
平面 ，
显然 为矩形，有 ， ，即有 为平行四边形，
则 ，而 平面 ， 平面 ，有 平面 ，
， 平面 ，因此，平面 平面 ，因 平面AEF，
则有 平面 ，又点P在平面 ，平面 平面 ，
从而得点P在线段MN上（不含端点），在 中， ， ，
等腰 底边MN上高 ，于是得 ，
所以线段 长度的取值范围是 .
故答案为：
