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考点巩固卷 03 函数及其性质（十大考点）考点01：已知函数解析式求定义域问题
若函数f(x)的解析式为已知函数的形式⇒采用直接法.
解题模板如下：
第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3) 的底数不为零；
(4) 的底数不为零；
(5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
(6)正切函数y=tanx的定义域为 .
(7)指数式中底数大于零且不等于1.
(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R.
(9)对于幂函数 ：
m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R，
m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R.
注： 的定义域为[0,+∞)，而 的定义域为R.
第二步：列出不等式（组）
第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.
1．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可.
【详解】根据题意得 ，解得
即 .
故选：D．
2．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】整体代入法求函数 的定义域，再由 有意义的条件，求 定义域.
【详解】因为函数 的定义域是 ，由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
要使 有意义，则 ，解得 ，
所以 的定义域是 .
故选： .
3．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式 和 可得．
【详解】由题意得： ，解得： ，由 ，解得： ，
故函数的定义域是 ，
故选：C.
4．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数和根式函数的定义域列出不等式组解出即可.
【详解】要使得函数有意义，则 ，即 ，解得
所以函数的定义域为 .
故选：B
5．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求出 中 的取值范围，它即为 中 的范围，再结合分母不等于0，二
次根式中被开方数非负得出结论．
【详解】 中， ，则 ，
所以函数 中 ，解得 ，
故选：A．
6．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得 ，解得 且 ．
故选：C
7．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】使函数有意义，即得关于 的不等式组，解之即得函数定义域.
【详解】函数 有意义，等价于 ，
解得， ，故函数的定义域为 .
故选：A.
8．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.
【详解】由 有意义，等价于 ，解得 ，
即函数的定义域为 .
故选：D.
9．函数 的定义域为（ ）A．{ 且 } B．{ 且 }
C． D．{ 且 }
【答案】D
【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【详解】由题意得 ，解得 且 ，
即定义域为 .
故选：D.
10．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得.
【详解】由 有意义，可得 ，解得 且 .
故选：D.
考点02：抽象函数定义域的妙解
使用前提：涉及到抽象函数求定义域，函数的解析式是未知的.
解题模板如下：
解题模板1
已知f (x)的定义域，求f [g(x)]的定义域.
求解思路：若f (x)的定义域为m≤x≤n，则在f [g(x)]中，m≤g(x)≤n，解得x的取值范围构成的集
合，即为f [g(x)]的定义域.解题模板2
已知f [g(x)]的定义域，求f (x)的定义域.
求解思路：若f [g(x)]的定义域为a≤x≤b，则由a≤x≤b确定的g(x)的范围（值域）构成的集合，即
为f (x)的定义域.
解题模板3
已知f [g(x)]的定义域，求f [h(x)]的定义域.
求解思路：可先由f [g(x)]定义域求得f (x)的定义域，再由f (x)的定义域求得f [h(x)]的定义域.
11．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 求解即可
【详解】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
则函数 的定义域为
故选：C
12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，要使 有意义，
只需要 ，解得 ，
所以 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
13．已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解.
【分析】因为 的定义域为 ，即 ，则 ，
所以 ，所以 的定义域为 .
故选：C.
14．函数 与 有相同的定义域，且对定义域中任何 都有 ，
，若 的解集是 ，则函数 是（ ）.
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B【分析】先分析 的定义域，再根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性.
【详解】因为 的定义域为 ，即 ，所以 的定义域关于原点对称.
，
所以 为偶函数.
故选：B
15．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件列出不等式组，解出即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 ，
故选：A.
16．已知幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】先利用幂函数的定义求得 的解析式，再利用其定义即可得解.
【详解】依题意，设幂函数为 ，则 ，故 ，则 ，
所以 的定义域为 ，故 满足 ，解得 .
故选：B.
17．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】函数 的定义域为 ，所以 ，
，
所以 的定义域为 ，
对于函数 ，由 ，
得 ，所以函数 的定义域为 .
故选：C
18．若幂函数 的图象过点 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据幂函数 的图象过点 求出 的值，即可求出 的定义域，再根据抽
象函数的定义域计算规则得到 ，解得即可.【详解】设 ，依题意可得 ，解得 ，所以 ，
所以 的定义域为 ，值域为 ，且 ，
对于函数 ，则 ，解得 ，
即函数 的定义域是 .
故选：B
19．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】整体代入法求函数 的定义域，再由 有意义的条件，求 定义域.
【详解】因为函数 的定义域是 ，由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
要使 有意义，则 ，解得 ，
所以 的定义域是 .
故选： .
20．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据条件先求解出 的定义域，然后结合分式分母不 、对数的真数大于 列出关于 的不等
式组，由此求解出 的定义域.
【详解】依题意，函数 的定义域为 ，
所以 ，即函数 的定义域为 ，
所以在函数 中有 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，
故选：A.
考点03：求函数解析式的六大思路
模型一：待定系数法求函数解析式
适用条件：已知函数解析式的类型
步骤如下：
第一步：先设出
第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式
第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数.
模型二：换元法求函数解析式
f [g(x)] g(x)=t
x t
适用条件：已知函数 且 能够很轻松的将 用 表示出来.
步骤如下：
第一步：令 ，解出 且注意新元的取值范围
第二步：然后代入 中即可求得
第三步：从而求得 .模型三：配凑法求函数解析式
f [g(x)] g(x)=t
x t
适用条件：已知函数 且 不能够很轻松的将 用 表示出来.
步骤如下：
g(x)
第一步：将等号右边先出现
g(x)
第二步：将题干等号右边形式变形成 的形式.
第三步：从而求得 的解析式.
模型四：方程组法求函数解析式
适用条件：已知 与 、 与 （ 为常数）等之间的关系式
步骤如下：
f (m)±f (n)=A
第一步：将原式抄写一遍，如
m,n f (n)±f (m)=B
第二步：将 交换，再写一遍 .
第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得 的解析式.
模型五：抽象函数求函数解析式
x y
适用条件：已知 ：括号中既有 又有 时
步骤如下：
x=0 y=0 0
第一步：令 或 （令字母出现次数少的为 ）
f (x) f (y) f (0)=m
第二步：代入出现 或 形式且求出
第三步：从而求得 的解析式.
模型六：分段函数求函数解析式
x≤0 x>0
适用条件：已知 的解析式求 的解析式.
步骤如下：
第一步：明确函数的奇偶性x>0,−x<0 f (−x)=
第二步： ， 代入已知函数解析式
第三步：利用奇偶性从而求得 的解析式.
21．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
【答案】C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即
可判断.
【详解】对于A，因为函数 的定义域为 ，且满足 ，
取 ，得 ，则 ，
取 ，得 ，则 ，故 错误；
对于B，取 ，得 ，则 ，
所以 ，
以上各式相加得 ，
所以 ，
令 ，得 ，此方程无解，故B错误.
对于CD，由 知 ，
所以 是偶函数，不是偶函数，故C正确， 错误.
故选：C.
22．下列函数满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，则 ，结合各选项代入验证，即可判断答案．
【详解】令 ， ，则 ，由 可得 ，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，不满足 ，B错误；
对于C， ，即 ，即 ，C正确；
对于D， ，即 不成立，D错误．
故选：C．
23．定义在 上的函数 满足 ， 是函数 的导函数，以下选项
错误的是（ ）
A．
B．曲线 在点 处的切线方程为
C． 在 上恒成立，则D．
【答案】C
【分析】由 ，可得 ，即可得 的解析式，结合
导数计算、导数的几何意义及利用导数求函数的极值与最值即可判断各选项.
【详解】由 ，有 ，
则 ，
即 ，
则 ，
整理得 ，有 ，
则 ， ，即 ，故A正确；
， ，
故切线方程： ，化简得 ，故B正确；
在 上恒成立，由 ，
故 ，故C错误；
不等式 等价于 ，
令 ，
则 ，
故当 时， ， 在 、 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，故 有极小值 ，
当 时，有 ，
故 ，即 ，故D正确.
故选：C.
24．已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设 ，用 求 的值，进而可得 的解析式，从而可得 .
【详解】设 ，则 ，
所以 ，即 ，
设 ，易知 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，所以 ．
故选：B．
25．已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
【答案】C【分析】首先利用赋值法求得 的值，再赋值 ，求得 的解析式，即可判断C，再根
据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
对于C，令 ，则有 ，
则 ，故函数 是奇函数，故C错误；
对于D，有 ，即 ，
则函数 是减函数，故D正确；
对于B，由 ，令 ，有 ，故B正确.
故选：C
26．已知函数 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令 ，代入运算求解即可.
【详解】令 ，则 ，由于 ，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：B.
27．已知函数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 换成 ，得到即 ，联立方程组求得 的解析式，进而求得
的值.
【详解】由 ，将 换成 ，可得 ，
即 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以 .
故选：B.28．已知 ，且 ，则 =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由题意可求出 的表达式，结合 ，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，且 ，
用 代换x，则 ，
即得 ，
故选：B
29．已知函数 满足： ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过化简即可得出函数的解析式.
【详解】因为 ，∴ ，
故选：A.
30．若函数 ， 满足 ，且 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据方程组法求解函数 的解析式，代入求出 ， ，再利用 求出 ，从而得
解.
【详解】因为 ，所以 ，联立可得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
故选：C.
考点04：各种函数值域问题
dx2 +ex+f
f (x)=
形如①：f (x)=Ax+B√ax2 +bx+c或 ax2 +bx+c 采用判别式法.
dx2 +ex+f
f (x)= ⇒dx2 +ex+f=y(ax2 +bx+c)
形式1： ax2 +bx+c
⇒(d−ay)x2 +(e−by)x+(f−cy)=0⇒(e−by) 2 −4(d−ay)(f−cy)≥0
形式2：f (x)=Ax+B√ax2 +bx+c⇒ y−Ax=B√ax2 +bx+c
⇒(y−Ax) 2 =B2(ax2 +bx+c)移项继续利用形式1进行处理.
形如②：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值.
简称直接法
解题步骤：
第一步：观察函数中的特殊函数；
第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
31．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】对 分 两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范
围即可.
【详解】① 时， ，值域为 ，满足题意；
② 时，若 的值域为 ，
则 ，解得 ，
综上， .
故选：C.
32．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ， ，运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.
【详解】令 ， ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
33．函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D【分析】令 ，则 ，设 ，再结合三角函数的性质
即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，
设 ，可得 ，
当 时， 有最大值为2，
所以函数 的最大值为2.
故选：D.
34．已知函数 的定义域为R，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】利用题设结合赋值法可得出 ，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即
可得答案.
【详解】由于函数 的定义域为R，且 ，
令 ，则 ，得 ，
时， 恒成立，无法确定 ，A不一定成立；
由于 不一定成立，故 不一定为偶函数，B不确定；
由于 的对称轴为 与 的位置关系不确定，故 在 上不一定单调递增，D也不确定，
由于 表示开口向上的抛物线，故函数 必有最小值，C正确，
故选：C
35．已知函数 在 上的值域为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【分析】首先利用二次函数最值求出 ，则得到其单调性，则 ，代入计算即可.
【详解】 的对称轴为 ，则 ，解得 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ， 为方程 的两个根，
即 为方程 的两个根，所以 .
故选：D.
36．设函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分 和 两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当 时， 恒成立，即 恒成立，
当 时，上式成立；
当 ， ，明显函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ；
当 时， 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
又 开口向下，对称轴为 ，
所以 的最大值为 ，
所以 ，
综上：实数a的取值范围是 .
故选：D.
37．已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由基本不等式和 可得 ，化简可得 ，令 ，
利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．因为 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
由对勾函数 在 上单调递增，则当 时函数取到最小值，
所以当 时， ，
所以 .
故选：B．
38．已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.
【详解】集合 ，而 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
考点05：函数单调性的处理技巧
①：定义法
使用前提：一般函数类型
解题步骤：第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
{ x >x { x >x
第三步：定符号，得出结论.⇒ 1 2 ⇑， 1 2 ⇓
f (x )>f (x ) f (x )<f (x )
1 2 1 2
注意：同向递增，异向递减
②导数法
使用前提：较复杂的函数类型
解题步骤：
第一步：求函数f (x)的定义域和导函数的解析式f' (x)；
第二步：在定义域范围内解不等式k=f' (x)>0或k=f' (x)<0；
第三步：得出函数f (x)的增减区间.斜率⇒ (k>0,上坡路，k<0,下坡路)
39、已知函数 利用函数单调性的定义证明： 是其定义域上的增函数.
解：第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
，
任取 ，设
第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
第三步：定符号，得出结论.
又是其定义域R上的增函数.
40、已知函数 ．
f (x) (0，+∞)
（1）求证： 在 上是单调递增函数；
（2）若f（x）在 上的值域是 ，求a的值．
（1）第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
x >x >0 x −x >0 x x >0
证明：设 2 1 ，则 2 1 ， 1 2 ，
第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
∵ ，
第三步：定符号，得出结论.
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在 上单调递增，
∴ ，即 ， ，∴ ．
41、已知函数 是定义在 上的函数.
（1）用定义法证明函数 在 上是增函数；
（2）解不等式 .
解：（1）第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
任取 ，且 ，第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
，
第三步：定符号，得出结论.
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，
即 ，故函数 在 上是增函数.
（2）∵ ，∴ 是 上的奇函数，
则 ，
又 是 上的增函数，
∴ .，故解集为
42、已知函数 定义在 上的奇函数，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 的单调性，并证明；
（3）解关于 的不等式 ．
解：（1） 函数 是定义在 上的奇函数， ，
又 ． ， ， ．
（2） 在 上为增函数，理由如下.第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
设 ，则 ， ， ， ，
第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
第三步：定符号，得出结论.
在在 上为增函数，
（3） ， ，
又 在在 上为递增的奇函数， ，
不等式 的解集为 ．
43、已知 是定义域为 的偶函数，且当 时， ．
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）求证： 在区间 上是减函数，在 上是增函数，并写出函数 取得最小值时 的
取值．
解：（1）当 时， ，由已知得 ．
函数 是偶函数， ；
⑴第一步：取值定大小：设任意 ，且 ；
设 ，第二步：作差： 并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
．
第三步：定符号，得出结论.
当 时， ， ， ，
，即 ，所以，函数 在 上是减函数；
当 时， ， ， ，即 ，所以，函数
在 上是增函数．
由函数 是偶函数，及单调性知当 时，函数 取得最小值.
44、已知函数 ，试判断函数 的单调性，并证明.
因为 所以 为单调递增函数.
证明:第一步：设任意 ,且 ,
第二步：则 ,
第三步： 且 ,
所以函数 在 上单调递增.
45、 求函数 的单调减区间.
解：第一步：求函数f (x)的定义域和导函数的解析式f' (x)；函数 的定义域为 ， ，
第二步：在定义域范围内解不等式k=f' (x)>0或k=f' (x)<0；
令 ，即： ，解得： ，
第三步：得出函数f (x)的增减区间.
所以函数 的单调递减区间为 .
考点06：函数奇偶性的处理技巧
①：基本方法判定函数的奇偶性
使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.
解题步骤：
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定 与 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步: 得出结论.
②：利用函数的奇偶性求函数的解析式
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.
解题步骤：
第一步：首先设出所求区间的自变量 ；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的 的取值范围；
第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
46、判定下列函数的奇偶性：
(1) (2) .
(3) ； (4) ；
解：(1)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；函数的定义域要求真数大于0，即 ，解得 ，
函数 的定义域 .函数的定义域关于原点对称，
第二步 若是，则确定 与 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
，
第三步 得出结论.
所以函数 为奇函数.
(2)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
由题意可得 ，所以 且 ，
所以，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
第二步 若是，则确定 与 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
又 ，
第三步 得出结论.
所以函数 为偶函数.
(3)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
由 得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
第二步 若是，则确定 与 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，
第三步 得出结论.
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
第二步 若是，则确定 与 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
函数的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
47、下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
解：C. 定义域为 定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；
D. 定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；B. 为奇函数
A. 定义域为 故 为偶函数选A
48、设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
解： 是奇函数， 是偶函数， ， ，
，故函数是奇函数，故 错误，
为偶函数，故 错误，
是奇函数，故 正确．
为偶函数，故 错误，故选： ．
49、已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数解：函数 的定义域为 ，且
即函数 是奇函数，又
在 都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
50、已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，求出函数 的解析式.
解：第一步，首先设出所求区间的自变量x.
设x<0，则－x>0，
第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围：
所以f(－x)=－x(1－x)，
第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以－f(x)=f(－x)=－x(1－x)，即f(x)=x(1－x)，
所以函数的解析式为 .
51、已知函数 在R上为奇函数，且 时， ，则当 时， ________.
解：设 ，则 ，因为 时， ，
所以 ，又因为函数 在R上为奇函数
所以 故答案为：
52、函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则当 时，
________．解：令 ，则 ，∴ ，
又函数 在 上为奇函数，则 ，
即 ，得 ，故当 时， ．
考点07：函数单调性奇偶性综合求不等式范围
f (x) R
结论1：奇函数单调性不改变，若函数 为定义在 上的奇函数时
x≥0 f (x) x<0 f (x) f (m)+f (n)>0⇒m+n>0
①若 时， 为单调递增，则 时， 为也为单调递增，即 .
x≥0 f (x) x<0 f (x) f (m)+f (n)>0⇒m+n<0
②若 时， 为单调递减，则 时， 为也为单调递减，即 .
f (x) R
结论2：偶函数单调性改变，若函数 为定义在 上的偶函数时
x≥0 f (x) x<0 f (x)
①若 时， 为单调递增，则 时， 为单调递减，
f (m)>f (n)⇒|m|>|n| f (x)+f (−x)>2f (m)⇒|x|>m
即 ， .
x≥0 f (x) x<0 f (x)
②若 时， 为单调递减，则 时， 为单调递增，
f (m)>f (n)⇒|m|<|n| f (x)+f (−x)>2f (m)⇒|x|<m
即 ， .
53、定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，若对任意
的 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：判断单调性
当 时， 单调递减， ，
当 时， 单调递减， ，故 在 上单调递减，第二步：确定对称轴
由 ，得 的对称轴为 ，
第三步：利用结论解不等式
若对任意的 ，不等式 恒成立，
即对 ，不等式 恒成立， ，即 ，
即 ，
故实数 的最大值为 .故选：C.
54、已知函数 ， ，如果 成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：判断奇偶性
是奇函数
第二步：判断单调性
， ， 在 上恒成立，
在 上是增函数．
第三步：利用结论解不等式
不等式 可化为 ，
从而可知， 需满足 ，解得 ．故选：A.
55、已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：判断奇偶性
设 ， ，则 为奇函数，且 ，
当 时， ， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
则当 时，不等式 的解集为： ；
第二步：利用结论解不等式
又 都是奇函数，利用奇函数的对称性可得：
当 时，不等式 的解集为： ；
所以 的解集应为 ．故选：C.
56、已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：判断奇偶性
，显然该函数的定义域为全体实数，
因为 ，所以该函数是偶函数，
第二步：判断单调性
设 ，当 时， 单调递增，
因此函数 在 时单调递增，而函数 是偶函数，
第三步：利用结论解不等式
所以由 ，两边同时平方整理得：
，故选：D
57、设 是 上的奇函数，且 在 上是减函数，又 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：判断奇偶性
因为 是 上的奇函数，则 ，
第二步：判断单调性
由于函数 在 上是减函数，则该函数在 上也为减函数，
，则 ，作出函数 的大致图象如下图所示：
第三步：利用结论解不等式
由 ，可得 ，由 ，可得 或 ，此时 ；
由 ，可得 或 ，解得 .
因此，不等式 的解集是 .故选：B.
58、已知函数 则不等式 的解集为（ ）
A．(-3，0) B． C．(0，3) D．
解：第一步：判断奇偶性
因为 ， ，所以 为奇函数，
第二步：判断单调性
是增函数， 是减函数， 为R上的增函数，
第三步：利用结论解不等式
所以 等价于 ，因此 ，即： .故选：B.
考点08：函数周期性的处理技巧
类型一：抽象函数的周期性
使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期
解题步骤：
第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；
第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；
常见的结论包括：
结论1：若对于非零常数m和任意实数x，等式f (x+m)=−f (x)恒成立，则f (x)是周期函数，且2m是
它的一个周期.
证明：f (x+2m)=f (x+m+m)=−f (x+m)=f (x)∴T=2m也可理解为：平移m个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的
距离为2m，∴T=2m
结论2：定义在 上的函数 ，对任意的 ，若有 (其中 为常数， )，
则函数 是周期函数， 是函数的一个周期.
证明：f (x−a+a)=f (x−a+b)⇒f (x)=f
(x+b−a)∴T=|b−a|
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x前的正负.
结论3：定义在 上的函数 ，对任意的 ，若有 (其中 为常数，
)，则函数 是周期函数， 是函数的一个周期.
59．设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当 时，
，下列结论：
① ；
②当 时， 的取值范围为 ；
③ 为奇函数；
④方程 仅有6个不同实数解．
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据所给条件推导出 的周期、对称性，结合周期性判断①，②，根据奇函数的定义判断③，
画出 、 的部分图象，数形结合即可判断④.
【详解】依题意，当 时， ，所以当 时， ，当 时， ，
函数 的定义域为 ，有 ， ，
即 ，因此有 ，即 ，
于是有 ，从而得函数 的周期 ，
对于①， ，故①不正确；
对于②，当 时， ，有 ，则 ，
当 时， ， ，有 ，
，
所以当 时， 的取值范围为 ，故②正确；
对于③，因为 ，
所以函数 为奇函数，故③正确；
对于④，因为 ，所以 的图象关于 对称，
又 ，即 ，所以 的图象关于 对称，
由前述说明可知 的值域为 ，
又当 时 ，当 时 ，
在同一坐标平面内作出函数 、 的部分图象，如下图所示：
方程 的实根，即是函数 与 的图象交点的横坐标，观察图象知，函数 与 的图象有 个交点，
因此方程 仅有 个不同实数解，故④错误.
故选：B
60．对任意的 函数 ，都有 ，且当 时， ，
若关于 的方程 在区间 内恰有6个不等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A．(3,5) B．(3,4) C．[3,4] D．[3,5]
【答案】A
【分析】根据条件得到函数的奇偶性和周期性，并求出 在 上的解析式，分 和 ，
结合函数图象，得到 ，求出答案.
【详解】由 ，知函数 为偶函数，
由 ，知函数 为周期函数，且 ．
又当 时， ，
则当 时， ， ，
由 ，得 ，
所以 ，
若方程 在 上有6个不等实根，
则函数 与 图象在 上有6个不同的交点，
若 ，函数 在 上与函数 图象只有1个交点，不符题意，
故 ，如图，由图可知， ，
解得 ，即实数a的取值范围为 ．
故选：A．
61．已知函数 对 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且对
，当 时，都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数 C． 是周期为4的周期函数 D．
【答案】D
【分析】由图象的平移可得 是偶函数，从而判断B；对 都有 ，取 ，
可求得 ，进而得到 成立，从而判断C；再由已知可得 在 上单调递减，
结合偶函数的性质及周期性，从而判断D，最后判断A.
【详解】对于B，因为函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，且定义域为 ，
故 是偶函数，故B错误；
对于C，因为函数 对 都有 ，
所以取 ，可得 ，
又 是偶函数，所以 ，从而可得 ，
则 ，故 是周期为6的周期函数，故C错误；对于D，因为 是偶函数，且是周期为6的周期函数，
所以 ，
，
又对 ，当 时，都有 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
即 ，故D正确；
对于A，由 在 上单调递减， ，可得 ，故A错误.
故选：D.
62．定义在 上的函数 满足 ， ， 为奇函数，有下列结论：
①直线 为曲线 的对称轴；②点 为曲线 的对称中心；③函数 是周期函数；
④ ；⑤函数 是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据 可得函数对称轴，可判断①；根据 可得函数周期，
可判断③；根据 ，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称
性求出 ，进而可得 判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.
【详解】由 知直线 为曲线 的对称轴，①正确；因为 ，所以
所以 是周期为4的周期函数，③正确；
由 为奇函数有 ，令 得 ，则 的图象关于点
对称，
又直线 为曲线 的对称轴，以 是周期为4的周期函数
则 的对称中心为 ，②错误；
令 ，则 ，所以 ，在 中，令 ，则 .
于是 ， ， ， ，则 ，所以
，④正确；
因为 的图象关于点 对称 ，因为周期为4，
所以 ，所以 为奇函数，⑤错误.
故选：C.
63．已知 是定义在 上的函数，若函数 为偶函数，函数 为奇函数，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】A
【分析】根据条件得到函数 是周期为 的函数，再根据条件得出 ，即可求出
结果.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，函数 的图象关于直线 对称，又函数 为奇函数，所以 ，所以函数 的图象关于 对称，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，则函数 的一个周期为4，
令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，又 ，所以 ，
，
所以 .
故选：A
64．已知 是定义域为 的奇函数且满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意，推得 ，得到 是周期为2的周期函数，结合 ，即可求
解.
【详解】由 是定义域为 的奇函数，则 ，且 ，
又由 满足 ，即 ，
则有 ，可得 ，即函数 是周期为2的周期函数，
故 .
故选：B.
65．定义在R上的函数 ， 满足 ， ， ，
，则下列说法中错误的是（ ）A． 是函数 图象的一条对称轴
B．2是 的一个周期
C．函数 图象的一个对称中心为
D．若 且 ， ，则n的最小值为2
【答案】D
【分析】由已知可推得 关于直线 对称， .又有 .
进而得出 ，即有 ，即可得出B项；根据 的周期可得出 的周
期为4，结合 的对称性，即可得出A项；由 的对称中心，即可得出 关于点 对称，结合
的性质，即可得出C项；根据 的周期性以及对称性可得 ，
，然后分 讨论求解，即可判断D项.
【详解】由 可得 ，所以 关于直线 对称，
所以 关于直线 对称，即 关于直线 对称，
所以 关于直线 对称，所以 关于直线 对称，
所以有 ，所以有 ，所以 .
又由 可得， ，所以 关于点 对称，
所以 .
对于B项，因为 ， ，
所以， ，所以 ，所以， 的周期为 ，故B项正确；
对于A项，由已知 周期为2，所以 的周期为4.
因为 关于直线 对称，所以 是函数 图象的一条对称轴，故A项正确；
对于C项， 关于点 对称，所以 关于点 对称，
所以 关于点 对称，所以 .
又 关于直线 对称，所以 ，
所以 ，所以有 ，
所以函数 图象的一个对称中心为 ，故C项正确；
对于D项，由C知， 关于点 对称， 关于点 对称，
所以， ， ，所以 .
又 的周期为4，所以对 ， .
因为 ，
则当 时，有 .
因为 ，所以 ，不满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意.
故n的最小值为3，D错误.
故选：D
66．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （ ）A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】借助赋值法可得 ，结合题意计算可得函数的周期，即可得解.
【详解】因为 ，取 得 ，即 ，
又 ，取 得 .
由 得 ，
所以函数 的一个周期为 ，故 .
故选：B.
考点09：函数对称性的处理技巧
类型一：函数自身的对称性
使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征
解题步骤：
第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性
常见函数的对称性包括：
定 理 1 ： 函 数 y=f (x)的 图 像 关 于 点 A(a,b)对 称 的 充 要 条 件 是 f (x)+f (2a−x)=2b. 或
f (2a+x)+f (−x)=2b或f (a+x)+f (a−x)=2b
推论1：函数y=f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x)+f (−x)=0.
定理2：函数y=f (x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f (a+x)=f (a−x)，即f (x)=f (2a−x).
推论2：函数y=f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x)=f (−x).
67、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5−x)=f (5+x)，则f (x)一定是( )
A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数
解：第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性f (10+x)为偶函数，则f (10−x)=f (10+x).故函数f (x)有两条对称轴x=5与x=10.
第二步：结合函数的对称性确定结论
因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，故x=0，
即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数.故选A.
68、对于函数 ，给出如下四个结论：其中正确的结论有______个.
（1）这个函数的值域为 ；（2）这个函数在区间 上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心对称性；（4）这个函数至少存在两个零点.
解： ，定义域： 且 且 .
当 ， ，
所以 在 单调递减，故（2）正确.
因为 ， ，
所以 关于点 中心对称，故（3）正确.
，
，
所以函数 在 上有零点，
同理 ， ，函数 在 上有零点，故（4）正确.
当 时， ，当 时， ，且函数又有零点，所以函数的值域为 ，故（1）正确.故答案为：
69、函数 图象的对称中心为_____
解：由题意设对称中心的坐标为 ，则有 对任意 均成立，代入函数
解析式得，
整理得到： ，
整理得到 对任意 均成立，
所以 ，所以 ， .即对称中心 ．故答案为 ．
70、对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，有同学发现“任何
一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数
，计算 __________.
解：由题可知： ，则 ，所以
令 ，则 ，又 ，
故 的对称中心为 ，故 ，
令所以
所以 ，则 ，故答案为： .
71、若函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 、 ，则 的值为
_______．
解：因为 ，所以 ，
所以， .故答案为： .
72、已知函数 , ________.
解： ，故
故答案为: .
考点10：分段函数与零点问题
形如1：已知定义域为 的函数 ，若 是三个互不相同的正数，且
，则 的范围是？破解：作出函数 的图象，
不妨设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ .
形如2：已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且
，则 的取值范围是？
破解：由题意作函数 与 的图象如下，
结合图象可知， ， ，故 ， ，
故 ，
形如3：已知函数 若 ( 互不相等)，则的取值范围是？
破解：作出函数 的图象，如图所示:
设 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
当 时，解得 或 ，所以 .
设 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
73．已知函数 .若 ， ， ， 是方程 的四个互不相等的解，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：作出函数 的图象，如图， 的递减区间是 和 ，递增区间是 和因 ， ， ， 是方程 的四个互不相等的解，则 ，不妨令 ，
则有 ， 是方程 的两个根，必有 ，
， 是方程 的两个不等根，则 ， ，
整理得 ，即 ，由 得： 或 ，因此有 ， ，
则有 ， ，而函数 在 上单调递减，从而得 ，
于是得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D
74． ，若 ，且 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
解：画出函数图像如下：观察图像可得， ，即 ，且 ，
则 ，因为 ，所以 ，
即 的取值范围为 .故选：A.75．已知函数 ，若实数 ， ，c满足 且 ，则 的取
值范为（ ）
A． B． C． D．
解：作出函数 的图象如下图所示：
当 时， ，
由图可知， ，即 ，解得 ，则 ，
由 ，即 ，即 ，可得 ，
因此， .故选：D.
76．已知函数 ，若 ､ ､ 均不相等且 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．解：作出函数 的图象如图，
不妨设 ，则 所以 ，
则 ．故选： ．
77．已知函数 ，若存在互不相等的正实数 ､ ､ ，满足 ，
其中 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C．9 D．36
解：由题意，函数 ，作出函数 的图象，如图所示：
由图可得 ，且有 ，
则 ，其中 ，
令 ，则 ， ，
所以当 ，解得 ，
即当 时， 单调递增， 时， 单调递减，
则 最大4值为 .故选： .78．已知函数 ，若 ， ， 互不相等，且 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
解：画出 的图象如下图所示， ，所以不妨设 ，
所以 .故选：B
