文档内容
专题7 实数中的三个重点类型（解析版）
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 无理数的整数部分及小数部分
典例1（2022春•西城区校级期中）已知a，b分别是√5的整数部分和小数部分．
（1）分别写出a，b的值．
（2）求3a﹣b2的值．
思路引领：（1）估算无理数的大小即可得出答案；
（2）把a，b的值代入代数式求值即可．
解：（1）∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴a＝2，b=√5−2；
（2）当a＝2，b=√5−2时，
原式＝3×2﹣（√5−2）2
＝6﹣（5﹣4√5+4）
＝6﹣9+4√5
＝4√5−3．
总结提升：本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•金水区期中）我们知道，√2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即
√2的整数部分是1，小数部分是√2−1，请回答以下问题：
（1）√10的小数部分是 ，5−√13的小数部分是 ．
（2）若a是√90的整数部分，b是√3的小数部分，求a+b−√3+1的平方根．
思路引领：（1）估算无理数的近似数，减去整数部分，即为小数部分．
（2）估算√90，√3的整数部分，得到a，b代入代数式求值．
解：（1）∵3＜√10＜4，
∴整数部分为3，
小数部分为√10−3；
∵3＜√13＜4，
∴5−√13的整数部分为1，小数部分为5−√13−1＝4−√13；
故答案为：√10−3；4−√13．
（2）∵9＜√90＜10，
∴√90的整数部分为9，即a＝9；
∵1＜√3＜2，
∴√3的整数部分为1，
小数部分为√3−1，即b=√3−1；
a+b−√3+1
＝9+（√3−1）−√3+1
＝9+√3−1−√3+1
＝9．
∵±√9=±3．
∴a+b−√3+1的平方根为±3．
总结提升：本题考查的是平方根及无理数大小的估算，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与
小数部分是解题的关键．
类型二 平方根与立方根的综合运用
典例2（2022春•崇义县期中）已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
求：（1）a，b，c的值；
（2）a+4b﹣4c的平方根．
思路引领：（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可；
（2）利用（1）的结论直接求值即可．
解：（1）∵a+1的算术平方根是3，
∴a+1＝9，
∴a＝8；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12＝﹣3，
∴b＝9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3＝4，
∴c＝7；
即a，b，c的值分别为8，9，7；（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，
∴a+4b﹣4c的平方根是±4．
总结提升：本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．
典例3 （2022春•陇县期末）若一个正数的两个平方根分别是2m和n，n的立方根是﹣2，求﹣n+2m的算
术平方根．
思路引领：首先根据立方根的性质求出n，再根据平方根的性质，求出m值，代入﹣n+2m，求出这个值
的算术平方根即可．
解：∵n的立方根是﹣2，
∴n＝﹣8，
∵一个正数的两个平方根分别是2m和n，
可得：2m+n＝0，
解得：m＝4，
把m＝4，n＝﹣8代入﹣n+2m＝8+8＝16，
∴﹣n+2m的算术平方根是4．
总结提升：本题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解题的关键是利用性质求出 m、n值，然
后再求﹣n﹣m的算术平方根．
变式训练
1．（2020秋•秦都区期末）已知某正数的两个平方根是 3a﹣14和a+2，b﹣14的立方根为﹣2．求a+b的
算术平方根．
思路引领：根据平方根的定义，求出a、b的值，再代入求出a+b的值，最后根据算术平方根的定义求
出答案即可．
解：由题意得，3a﹣14+a+2＝0，b﹣14＝﹣8，
解得：a＝3，b＝6，
∴a+b＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
总结提升：本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解
答的前提．
2．（2021春•福州期中）已知2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求8x﹣2y+10的平方根．
思路引领：根据算术平方根、立方根的定义得出2x+7y＝9且5x+y+2＝8，求出x、y的值，再代入求出
8x﹣2y+10的值，最后求8x﹣2y+10的平方根即可．
解：∵2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，∴2x+7y＝9且5x+y+2＝8，
解得，x＝1，y＝1，
当x＝1，y＝1时，8x﹣2y+10＝8﹣2+10＝16，
∴8x﹣2y+10的平方根，就是16的平方根，即±4，
答：8x﹣2y+10的平方根为±4．
总结提升：本题考查算术平方根、平方根，立方根，理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
3．（2020秋•高州市月考）已知2a﹣1的算术平方根√11，a﹣5b+1的立方根﹣2．
（1）求a与b的值；
（2）求2a﹣b的平方根．
思路引领：（1）根据算术平方根、立方根的意义求出a、b的值；
（2）求出2a﹣b的值，再求平方根．
解：（1）∵2a﹣1的算术平方根√11，
∴2a﹣1＝11，
即a＝6，
又∵a﹣5b+1的立方根﹣2，
∴a﹣5b+1＝﹣8，
解得b＝3，
答：a＝6，b＝3；
（2）当a＝6，b＝3时，2a﹣b＝2×6﹣3＝9，
∵9的平方根为±3，
∴2a﹣b的平方根为±3．
总结提升：本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的意义是正确解
答的关键．
4．（2021春•长寿区期末）若实数m的平方根是4a+21和a﹣6，b的立方根是﹣2，求m+3a+b的算术平方
根．
思路引领：由b的立方根是﹣2，可求出b得值，再根据实数m的平方根是4a+21和a﹣6，可求出a的
值，进而求出m的值，最后计算m+3a+b的值，求其算术平方根即可．
解：因为b的立方根是﹣2，
所以b＝﹣8，
又因为实数m的平方根是4a+21和a﹣6，
所以4a+21+a﹣6＝0，解得a＝﹣3，
当a＝﹣3时，4a+21＝9，a﹣6＝﹣9，此时m＝81，
∴m+3a+b＝81﹣9﹣8＝64，
∴m+3a+b的算术平方根是√64=8．
总结提升：本题考查立方根、平方根、算术平方根，理解立方根、平方根、算术平方根的意义是解决问题
的关键
类型三 圆在数轴上的滚动问题
5．（2022春•宁明县期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将
该圆沿数轴向左滚动1圈，点A到达A'的位置，则点A'表示的数是 ．
思路引领：先求出圆的周长为 ，从A滚动向左运动，运动的路程为圆的周长．
解：∵圆的直径为1个单位长度π，
∴此圆的周长＝ ，
∴当圆向左滚动π时点A′表示的数是﹣ +1；
故答案为：﹣ +1． π
总结提升：本π题考查的是实数与数轴的特点，掌握数轴上点平移的关系是解答此题的关键．
2
6．（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为 个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为 1个单位长度，
π
在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示—1的点重合．
（1）圆的周长为多少？
（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？
（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点
与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？
思路引领：（1）利用圆的周长公式计算；
（2）滚动一周点B的对应数为2，以后每滚动一周，B点对应的数加4，由此规律即可求解；（3）此题需要寻找规律：每4个数一组，计算2024÷4，可得表示﹣2024的点是第506个循环组的第4
个数D重合．
2
解：（1）圆的周长＝2 • =4个单位长度；
π
π
（2）滚动一周后点B的对应数为2，滚动2周后点B对应的数是2+4＝6；
（3）由图可知，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是﹣2，C点对应的数是﹣3，D点对应的数是﹣4，
∴每4个数为一个循环组依次循环，
∵2024÷4＝506，
∴表示﹣2024的点是第506个循环组的第4个数D重合．
总结提升：本题考查了实数与数轴，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环，难点在于找出图
形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•富平县期末）已知a﹣1的算术平方根是3，b是√11的整数部分，求a﹣b的值．
思路引领：由已知可得a﹣1＝9，b＝3，进而求出a、b值代入即可．
解：∵a﹣1的算术平方根是3，
∴a﹣1＝9，
∴a＝10，
∵b是√11的整数部分，
∴b＝3，
∴a﹣b＝10﹣3＝7．
总结提升：本题考查无理数的大小估算；能够通过已知确定a与b的值是解题的关键．
2．（2019秋•沙坪坝区期中）已知a﹣1的平方根是±1，3a+b﹣2的立方根是2，x是√13的整数部分，y是
√13的小数部分，求a+b+2x+y−√13的平方根．
思路引领：根据平方根和立方根的定义解答即可．
解：∵a﹣1的平方根是±1，
∴a﹣1＝1，
∴a＝2，
∵3a+b﹣2的立方根是2，
∴3a+b﹣2＝8，
∴b＝4，∵x是√13的整数部分，y是√13的小数部分，
∴x＝3，y=√13−3，
∴a+b+2x+y−√13=9，
∴a+b+2x+y−√13的平方根为±3．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．也考查了平方根．
3．（2021春•永吉县期中）若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n．
27
（1）求b− a的平方根；
8
（2）求5a+b﹣m﹣n的立方根．
27
思路引领：（1）根据题意可得a＝2，b＝9，代入b− a计算，进一步可求平方根；
8
（2）根据题意可得m＝25，n＝﹣5，再将（1）中所求a、b的值代入5a+b﹣m﹣n计算，进一步可求立
方根．
解：（1）由题意可知：a＝2，b＝9．
√ 27 √ 27 √9 3
∴± b− a=± 9− ×2=± =± ；
8 8 4 2
（2）由题意可知：m＝25，n＝﹣5．
∴ ．
√35a+b−m−n=√35×2+9−25−(−5)=√3−1=−1
总结提升：本题考查平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的性质和求
法是解题的关键．
√ab
4．（2022春•定远县期末）已知某正数的两个平方根分别是 a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求 的
2
平方根．
思路引领：根据一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程求出a的值；根据b的立方根是
√ab
﹣2求出b的值；然后求出 的值，再求它的平方根．
2
解：根据题意得：a﹣3+2a+15＝0，
解得：a＝﹣4，
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，∴√ab √(−4)×(−8) 4，
= =√16=
2 2
∴4的平方根为±2．
√ab
答： 的平方根为±2．
2
√ab
总结提升：本题考查了平方根，立方根的定义，解题时，注意先求 的值，再求它的平方根．
2
5．（2022春•铁东区期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来．于是
小明用（√2−1）来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理
的，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵√4＜√7＜√9，即∵2＜√7＜3，
∴√7的整数部分是2，小数部分为（√7−2）．
（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）√5的小数部分为a，√13的整数部分为b，则a+b−√5的值；
（3）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
思路引领：（1）根据算术平方根的定义估算无理数√17的大小即可；
（2）估算无理数√5，√13的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）估算10+√3的大小，结合题意得出x、y的值，代入计算即可．
解：（1）∵√16＜√17＜√25，即4＜√17＜5，
∴√17的整数部分为4，小数部分为√17−4，
故答案为：4，√17−4；
（2）∵2＜√5＜3，3＜√13＜4，
∴√5的小数部分a=√5−2，√13的整数部分b＝3，
∴a+b−√5=√5−2+3−√5=1，
答：a+b−√5的值为1；
（3）∵1＜√3＜2，
∴11＜10+√3＜12，
又∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+√3−11=√3−1，
∴x﹣y＝11−√3+1＝12−√3．总结提升：本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提，理解不等式的性质
是得出答案的关键．
6．（2022春•长垣市期中）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达
O′点，点O′对应的数是 ．
π
思路引领：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长＝
，由此即可确定O′点对应的数．
π解：因为圆的周长为 •d＝ ×1＝ ，
所以圆从原点沿数轴向π右滚π动一周πOO'＝ ．
故答案为： ． π
总结提升：π本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点O′的符号后，点O′所
表示的数是距离原点的距离．
7．（2022春•郧阳区期中）如图所示，直径为单位1的圆从表示﹣1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一周
到达A点，则A点表示的数是 ．
思路引领：根据直径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，可
得圆的周长，根据两点间的距离是大数减小数，可得答案．
解：由直径为单位1的圆从数轴上表示﹣1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一周到达A点，
得：A点与﹣1之间的距离是 ．
由两点间的距离是大数减小数π，
得：A点表示的数是 ﹣1，
故答案为： ﹣1． π
总结提升：π本题考查了数轴和圆的周长，利用了数轴上两点间的距离是大数减小数．
1
8．（2022秋•邢台期中）如图，有一个半径为 个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴
2
逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数 ；若点B表示的数是−√10，则点
B在点A'的 （填“左边”、“右边”）．思路引领：因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知OA′＝ ，再根据数轴的特点及 的值即可解答；
比较﹣ 与−√10的大小即可求解． π π
π 1
解：∵圆的周长为 ×2× = ，
2
π π
∴OA′＝ ，
故A′点表π示的数是﹣ ，
∵（﹣ ）2≈9.8282，（π−√10）2＝10，
∴﹣ ＞π−√10，
∴点πB在点A′的左边．
故答案为：﹣ ；左边．
总结提升：本π题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
1
9．（2022秋•青县校级月考）如图，点A表示的数是﹣1，以点A为圆心、 个单位长度为半径的圆交数
2
轴于B，C两点，那么B，C两点表示的数分别是 ．
1
思路引领：到点A距离为 的点有两个，分别在原点的左边和右边，左边用减法，右边用加法计算即可．
2
1
解：∵ A的半径r= ，点A表示的数是﹣1，
2
⊙
1 3 1 1
∴B、C两点表示的数分别是﹣1− =− ，﹣1+ =− ；
2 2 2 2
3 1
故答案是：− ，−
2 2
总结提升：本题主要考查数轴上两点间距离的问题，直接运用概念就可以求解．
