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第 14 章 整式的乘法与因式分解能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．8m2n+2mn=mn(8m+2) B．am2−an2=a(m−n) 2
C．ma2−2am+m=m(a+1) 2 D．a2+2a−3=(a−1)(a+3)
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键．
根据因式分解的方法逐项判断即可．
【详解】解：A、8m2n+2mn=2mn(4m+1)，不符合题意；
B、am2−an2=a(m2−n2)=a(m+n)(m−n)，不符合题意；
C、ma2−2am+m=m(a−1) 2，不符合题意；
D、a2+2a−3=(a−1)(a+3)，符合题意．
故选：D．
2．计算(−2m) 3×(−m2)的结果是（ ）
A．8m6 B．−8m6 C．8m5 D．−8m5
【答案】C
【分析】此题考查了单项式乘以单项式，先由积的乘方进行计算，再进行单项式乘以单项式即可.
【详解】解：(−2m) 3×(−m2)=(−8m3)×(−m2)=8m5
故选：C
3．已知a+b=5，ab=3，则a2+b2的值是（ ）
A．9 B．16 C．17 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：(a±b) 2=a2±2ab+b2．
利用完全平方公式得到a2+b2=(a+b) 2−2ab，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵a+b=5,ab=3，
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=52−2×3=19，
故选：D．
4．若4x2−bx+9是一个完全平方式，则b的值是（ ）
A．2 B．6 C．12 D．12或−12
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的特征判断即可确定出b的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【详解】解：∵4x2−bx+9=(2x) 2−bx+32是一个完全平方式，
∴b=±12，
故选：D．
5．观察下列等式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；…
根据以上规律，则210+29+28+⋯+23+22+2+1的结果可以表示为（ ）
A．211 B．211−1 C．210 D．210−1
【答案】B
【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键．利用归纳总结的规律求解即可．
【详解】解：由原题中的等式可得：(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)=xn+1−1，
当x=2，n=10时，210+29+28+⋯+23+22+2+1=(2−1)(210+29+28+⋯+23+22+2+1)=211−1．
故选：B．( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
6． 1− × 1− ×⋅⋅⋅⋅⋅⋅× 1− =（ ）
22 32 102
1 11 1 11
A． B． C． D．
4 2 2 20
【答案】D
【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．运用平方差公式进行计算即可．
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
【详解】解： 1− × 1− ×⋅⋅⋅⋅⋅⋅× 1−
22 32 102
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 )
= 1+ × 1− × 1+ × 1− ×⋅⋅⋅× 1+ × 1−
2 2 3 3 10 10
1 3 2 4 9 11
= × × × ×⋅⋅⋅× ×
2 2 3 3 10 10
1 11
= ×
2 10
11
=
20
故答案为：D．
7．已知(x+m)(x−n)=x2−3x−4，则m−n的值为（ ）
A．1 B．3 C．−1 D．−3
【答案】D
【分析】题考查了多项式乘多项式，多项式相等的条件，利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，
再把结果和等式右边对照即可求解，掌握多项式相等即相同项的系数相等是解题的关键．
【详解】解：(x+m)(x−n)=x2−nx+mx−mn=x2+(m−n)x−mn，
∵(x+m)(x−n)=x2−3x−4，
∴x2+(m−n)x−mn=x2−3x−4，
∴m−n=−3，
故选：D．
8．数学活动课上，小明用一张边长为4cm的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计
成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（ ）A．8cm2 B．7cm2 C．6cm2 D．5cm2
【答案】C
【分析】本题主要考查七巧板的知识，根据七巧板各图形边长之间的关系解题即可．
【详解】设小正方形的边长为acm，则大直角三角形的边长为2acm，
1
∴大正方形的面积为4× ⋅2a⋅2a=42 ，
2
解得a2=2，
1
∴阴影部分的面积为a2+ ⋅2a⋅2a=3a2=6 cm2，
2
故选：C．
9．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 （n为非负整数）展开式的项数及各
(a+b) n
项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
(a+b) 0=1 (a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 ¿ ¿ ¿1 ¿1 ¿ ¿ ¿1¿¿¿1¿¿4¿¿6¿¿4¿¿4¿¿1¿¿5¿¿10¿¿10¿¿5¿¿1¿
1 ¿2 ¿1 ¿ ¿1 ¿3 ¿
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
……
(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
按照上述规律，则 展开式中所有项的系数和是（ ）
(a+b) 10
A．29 B．29+2 C．210 D．210+2
【答案】C
【分析】本题考查完全多项式乘多项式规律探究问题，根据已有等式，推出 的展开式的系数之
(a+b) n
和为2n，即可得出结果．
【详解】解： ，系数之和为 ；
(a+b) 1=a+b 1+1=2=21，系数之和为 ；
(a+b) 2=a2+2ab+b2 1+2+1=4=22
，系数之和为 ；
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 1+3+3+1=8=23
⋯，
∴ 的展开式的系数之和为 ，
(a+b) n 2n
∴ 展开式中所有项的系数和是 ；
(a+b) 10 210
故选C．
10．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①(2a+b)(m+n)；②
m(2a+b)+n(2a+b)；③2a(m+n)+b(m+n)；④2am+2an+bm+bn．你认为正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列
出算式是解题的关键．
【详解】解：根据长方形面积：①(2a+b)(m+n)，该选项正确，符合题意；
②由①将(2a+b)看作整体，去括号得：(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)，该选项正确，符合题
意；
③由①将(m+n)看作整体，去括号得：(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)，该选项正确，符合题意；
④由①去括号得：(2a+b)(m+n)=2am+2an+bm+bn，该选项正确，符合题意；
∴正确的有①②③④，
故选：D．
11．下列等式，成立的是（ ）
A．
(x+ y) 2=x2+ y2
B．
(−2m2) 3 =−8m6
C． D．
(4m+n)(n−4m)=16m2−n2 x2−x−2=(x−1)(x+2)
【答案】B【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算法则，准确进行计算；
根据完全平方公式、平方差公式、幂的运算，因式分解判断即可．
【详解】解：A. ，原选项不符合题意；
(x+ y) 2=x2+ y2+2xy
B. (−2m2) 3 =−8m6 ，原选项符合题意；
C. ，原选项不符合题意；
(4m+n)(n−4m)=−16m2+n2
D. ，原选项不符合题意；
x2−x−2=(x+1)(x−2)
故选：B．
12．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数(1,2,1)，恰
好对应 展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应
(a+b) 2=a2+2ab+b2
的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(1) 4 (1) 3 (1) 2 1 （ ）
+4× +6× +4× +1=
3 3 3 3
1 16 256 125
A． B． C． D．
81 81 81 81
【答案】C
【分析】根据题意可得第四行的数字分别为1、4、6、4、1，再根据
1
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的展开式求得a= 、b=1，再代入
3求值即可．
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
【详解】解：∵ ，
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
由题意可得，(1) 4 (1) 3 (1) 2 1 (1 ) 4 256，
+4× +6× +4× +1= +1 =
3 3 3 3 3 81
故选：C．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若mn=5，m−n=8，则m2n−mn2的值是 ．
【答案】40
【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键在于用因式分解表示式子的形式．
由题意知mn=5，m−n=8，将已知条件代入求解即可．
【详解】解：m2n−mn2
=mn(m−n)，
mn=5，m−n=8，
mn(m−n)=5×8=40
故答案为：40
14．如果(2x−1)(x+a)的结果中不含x的一次项，那么实数a的值为 ．
1
【答案】
2
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令x的一次项系数为0即可求解．
【详解】解：(2x−1)(x+a)
=2x2+2ax−x−a
，
=2x2+(2a−1)x−a
∵结果中不含x的一次项，
∴2a−1=0
1
解得：a= ．
2
1
故答案为： ．
215．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是 ．
【答案】±3
【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计
算即可．
【详解】解：∵ x2+6x+m2是一个完全平方式，
，
∴ x2+6x+m2=(x±m) 2
解得m=±3，
故答案为：±3．
16．先阅读下列材料，再解答问题．材料：因式分解： ．
(x+ y) 2+2(x+ y)+1
解：将“ ”看成整体，设 ，则原式 ．
x+ y x+ y=m =m2+2m+1=(m+1) 2
再将 代入，得原式 ．
x+ y=m =(x+ y+1) 2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你写出下
列因式分解的结果：
（1） ；
1−2(x−y)+(x−y) 2=
（2） ；
25(a−1) 2−10(a−1)+1=
（3） .
(y2−4 y)(y2−4 y+8)+16=
【答案】
(1−x+ y) 2 (5a−6) 2 (y−2) 4
【分析】本题考查了利用公式法因式分解的综合运用，以及整式乘法，理解整体思想，熟练掌握因式
分解的方法是解本题的关键．
（1）把x−y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（2）把a−1看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（3）把y2−4 y看作一个整体，先去括号，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）设 ，则原式 ；
x−y=a =1−2a+a2=(1−a) 2
将 代入，得原式 ，
x−y=a =(1−x+ y) 2故答案为： ；
(1−x+ y) 2
（2）设 ，则原式 ；
a−1=m =25m2−10m+1=(5m−1) 2
将 代入，得原式 ，
a−1=m =(5a−6) 2
故答案为： ；
(5a−6) 2
（3）设 ，则原式 ；
y2−4 y=a =a(a+8)+16=a2+8a+16=(a+4) 2
将 代入，得原式 ，
y2−4 y=a =(y2−4 y+4) 2 =(y−2) 4
故答案为： ．
(y−2) 4
17．如图，分别以长方形ABCD的BC，CD为边向外做正方形BEFC和正方形DCGH，长EF，HG交于
点I．若正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13，长方形ABCD面积为6，则正方形AEIH的周
长为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的综合，设AB=a，AD=b，则ab=6，a2+b2=13，
由 ，结合正方形的周长公式可得结论
(a+b) 2=25
【详解】解：设AB=a，AD=b，则AE=AH=a+b，ab=6，
正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为a2+b2=13，
∴ ，即 ，
a2+b2+2ab=13+6×2=15 (a+b) 2=25
∴a+b=5，
则正方形AEIH的周长为4×5=20，
故答案为：20．
18．多项式a2−2ab+2b2−6b+27的最小值为 ．【答案】18．
【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．
【详解】解：a2−2ab+2b2−6b+27，
= ，
(a2−2ab+b2 )+(b2−6b+9)+18
= ，
(a−b) 2+(b−3) 2+18
∵ ，
(a−b) 2≥0，(b−3) 2≥0
∴ 的最小值为18；
(a−b) 2+(b−3) 2+18
故答案为：18．
【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非
负数的性质确定最值．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：
(1) a2·a4+(−2a2) 3 +a8÷a2 ；
(2)y(3−4 y)−(x+2y)(x−2y)．
【答案】(1)−6a6；
(2)3 y−x2．
【分析】（1）利用积的乘方、同底数幂的乘除法法则计算，然后合并同类项即可；
（2）利用单项式乘多项式法则，平方差公式计算，然后合并同类项即可；
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式=a6−8a6+a6
=−6a6；
（2）解：原式
=3 y−4 y2−(x2−4 y2)
=3 y−4 y2−x2+4 y2
=3 y−x2．
20．（6分）因式分解：
(1)4x2−16x+16；(2) ．
a2(x−y)+9b2(y−x)
【答案】(1)
4(x−2) 2
(2)(a+3b)(a−3b)(x−y)
【分析】本题考查因式分解，涉及公式法因式分解、提公因式法因式分解等知识，熟练掌握因式分解
的方法是解决问题的关键
（1）先提公因式，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案．
【详解】（1）解：4x2−16x+16
=4(x2−4x+4)
；
=4(x−2) 2
（2）解：
a2(x−y)+9b2(y−x)
=a2(x−y)−9b2(x−y)
=(a2−9b2)(x−y)
=(a+3b)(a−3b)(x−y)．
1
21．（6分）先化简，再求值：[(x−2y) 2−(x+ y)(3x−y)−5 y2)÷(2x)，其中x=−2，y= ．
2
1
【答案】−x−3 y；
2
【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，涉及知识有：完全平方公式、多项式乘以多项式、
多项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键．
将中括号中的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多项式的法则计算，去括号合并
后，再利用多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果，将x和y的值代入化简后的式子，即可得
到原式的值．
【详解】解：
[(x−2y) 2−(x+ y)(3x−y)−5 y2)÷(2x)
=(x2−4xy+4 y2−3x2+xy−3xy+ y2−5 y2)÷(2x)=(−2x2−6xy)÷(2x)
=−x−3 y，
1 1 1
当x=−2，y= 时，原式=−(−2)−3× = ．
2 2 2
22．（6分）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项
式乘法的形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②(2m+n−p)(2m−n+p)
【答案】(1)a2−b2
(2)a−b，a+b，(a+b)(a−b)
(3)
(a+b)(a−b)=a2−b2
(4)①99.91；②4m2−n2+2np−p2
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，代数式表示式，有理数的混合运算，整式的混合运算，
利用数形结合求解是解题关键．
（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2−b2；
故答案为：a2−b2；
（2）由图可知矩形的宽是a−b，长是a+b，所以面积是(a+b)(a−b)；
故答案为：a−b，a+b，(a+b)(a−b)；
（3） （等式两边交换位置也可）；
(a+b)(a−b)=a2−b2
故答案为： ；
(a+b)(a−b)=a2−b2
（4）①10.3×9.7
=(10+0.3)×(10−0.3)
=102−0.32
=100−0.09
=99.91；
②(2m+n−p)(2m−n+p)
=[2m+(n−p))[2m−(n−p))
=(2m) 2−(n−p) 2
=4m2−n2+2np−p2．
23．（6分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，
如 x²−4 y²−2x+4 y．观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，
前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程
为： x²−4 y²−2x+4 y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x− 2y)(x+2y−2)，这种分解因式的
方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：x²−9 y²−2x+6 y；
(2)分解因式：x²−8xy+16 y²−1；
(3)已知 △ABC的三边长分别为a、b、c，且满足 a²−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状．
【答案】(1)(x−3 y)(x+3 y−2)
(2)(x−4 y+1)(x−4 y−1)
(3)△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形
【分析】本题主要考查了分组分解法分解因式，以及因式分解的作用，等腰三角形以及等边三角形的
定义等知识．（1）按照分组分解法分解因式即可．
（2）按照分组分解法分解因式即可
（3）按照分组分解法分解因式可得出(a−b)(a−c)=0，然后分 当a−b=0， 当a−c=0，
当a−b=0三种情况讨论即可． ① ② ③
【详解】（1）解：原式=(x+3 y)(x−3 y)−2(x−3 y)=(x−3 y)(x+3 y−2)
（2）原式 =(x−4 y)²−1=(x−4 y+1)(x−4 y−1)．
（3）由 a²−ab−ac+bc=0，
可得a(a−b)−c(a−b)=0，
所以(a−b)(a−c)=0．
当a−b=0，即a=b时，△ABC是等腰三角形；
①当a−c=0，即a=c时，△ABC是等腰三角形；
②当a−b=0，且a−c=0，即a=b=c时，△ABC是等边三角形．
③综上所述，△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
24．（6分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图①，可得等式： ．
(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形
式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来，
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c=10,a2+b2+c2=38，求ab+bc+ac的值．
(3)如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和
BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20，请求出阴影部分的面积．
【答案】(1)
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
(2)31(3)20
【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式熟练
掌握因式分解是解题的关键；
（1）图②大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答：
（3）根据题意可得阴影部分的面积=△BCD的面积+正方形ECGF的面积- △BGF的面积，进行计算
即可解答．
【详解】（1）解：图②大正方形的面积
=(a+b+c) 2
图②大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
1
（2）解：由（1）可得：ab+bc+ac= [(a+b+c) 2−(a2+b2+c2 )]
2
∵a+b+c=10,a2+b2+c2=38
1
∴ab+bc+ac= ×(102−38)=31
2
（3）解：∵a+b=10,ab=20，
1 1
∴阴影部分的面积= a2+b2− b(a+b)
2 2
1 1 1
= a2+b2− ab− b2
2 2 2
1 1 1
= a2+ b2− ab
2 2 2
1 1
= (a2+b2 )− ab
2 2
1 1
= [(a+b) 2−2ab)− ab
2 2
1 1
= ×(102−2×20)− ×20
2 2
=20
25．（6分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 变形为 的形式，然后由
x2+bx+c (x+m) 2+n就可求出多项式 的最小值．例题：求多项式 的最小值．
(x+m) 2≥0 x2+bx+c x2−6x+11
解： ，
x2−6x+11=(x−3) 2+2
，
∵(x−3) 2≥0
，
∴(x−3) 2+2≥2
当时， ．
∴ x=3 (x−3) 2+2=2
有最小值，最小值为2，即 的最小值为2．
∴(x−3) 2+2 x2−6x+11
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】
填空：①代数式A=x2−10x+30，则A的最小值为____________；
②代数式B=−y2+8 y−10，则B的最大值为____________；
(2)【类比应用】
我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是(3a+2)米、(2a+5)米，
乙种植园的两边长分别是5a米、(a+5)米，试比较这两块种植园的面积S 和S 的大小，并说明理由；
甲 乙
(3)【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点
M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中
一点到达终点时，两点同时停止．设时间为t，则当t为何值时，S 的值最大，最大值为多少？
△MCN
【答案】(1)①5；②6
(2)S >S ，理由见解析
甲 乙
5 25
(3)当t= 时，S 有最大值，最大值为 cm2．
2 △MCN 4
【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键．
（1）直接利用完全平方公式可得答案；
（2）先求出
S −S =(a−3) 2+1
，再利用完全平方公式即可求解；
甲 乙
（3）根据题意表示出 1 ( 5) 2 25，再利用完全平方公式即可求解．
S = ⋅2t(5−t)=− t− +
△MCN 2 2 4
【详解】（1）解：①A=x2−10x+30
=(x2−10x+25)+5
，
=(x−5) 2+5
，
∵(x−5) 2≥0
，
∴(x−5) 2+5≥5
当时， ．
∴ x=5 (x−5) 2+5=5
∴ 有最小值，最小值为5，即 的最小值为5；
(x−5) 2+5 A=x2−10x+30
②B=−y2+8 y−10
=−(y2−8 y+16)+6
=−(y−4) 2+6
∵ ，
(y−4) 2≥0
∴ ，
−(y−4) 2≤0
∴ ，
−(y−4) 2+6≤6
∴当 时， ，
y=4 −(y−4) 2+6=6
∴ 有最大值，最大值为6，即 的最大值为6；
−(y−4) 2+6 B=−y2+8 y−10
（2）解：S >S ，理由如下：
甲 乙，
S =(3a+2)(2a+5)=6a2+19a+10,S =5a(a+5)=5a2+25a
甲 乙
∴ ，
S −S =(6a2+19a+10)−(5a2+25a)=a2−6a+10=(a−3) 2+1
甲 乙
∵ ，
(a−3) 2≥0
∴ ，
S −S =(a−3) 2+1≥1
甲 乙
∴S >S ；
甲 乙
（3）解：由题意得：CM=(5−t)cm,CN=2t，
∴ S = 1 ⋅2t(5−t)=−t2+5t=− ( t− 5) 2 + 25，
△MCN 2 2 4
∵( 5) 2 ，
t− ≥0
2
∴ ( 5) 2 ，
− t− ≤0
2
∴ ( 5) 2 25 25，
S =− t− + ≤
△MCN 2 4 4
5 25
∴当t= 时，S 有最大值，最大值为 cm2．
2 △MCN 4
26．（6分）阅读材料：
若x满足 ，求 的值．
(30−x)(x−10)=60 (30−x) 2+(x−10) 2
解：设30−x=a，x−10=b，则(30−x)(x−10)=ab=60，a+b=(30−x)+(x−10)=20，
．
(30−x) 2+(x−10) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=202−2×60=280
解决问题：(1)若x满足 ，则 __________；
(100−x)(x−95)=5 (100−x) 2+(x−95) 2=
(2)若x满足 ，求 的值；
(2023−x) 2+(x−2020) 2=2021 (2023−x)(x−2020)
(3)如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=6，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE=DF=x，
分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40，
求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)15
(2)−1006；
(3)96
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式 、
(a+b) 2
、 、 之间的关系．
(a2+b2) (a−b) 2 2ab
（1）根据完全平方公式进行变形求解即可；
（2）将2023−x和x−2020看作一个整体，然后利用完全平方公式变形求解即可；
（3）根据AB=10，BC=6，BE=DF=x，得出CF=10−x，CE=6−x，得出
[(10−x)−(6−x)) 2 =(10−x−6+x) 2=16 ，根据 S =S +S ，将 10−x ， 6−x 看
阴影 正方形CFGH 正方形CEMN
作整体，利用完全平方公式的变形公式进行计算即可．
【详解】（1）解：设100−x=a，x−95=b，则(100−x)(x−95)=ab=5，
， ；
a+b=(100−x)+(x−95)=5 (100−x) 2+(x−95) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=52−2×5=15
故答案为：15；
（2）解：∵
[(2023−x)+(x−2020)) 2 =(2023−x+x−2020) 2=9
，
，
(2023−x) 2+(x−2020) 2=2021
∴(2023−x)(x−2020)
[(2023−x)+(x−2020)) 2 −[(2023−x) 2+(x−2020) 2)
=
29−2021
=
2
=−1006；
（3）解：∵AB=10，BC=6，BE=DF=x，
∴CF=10−x，CE=6−x，
∴ [(10−x)−(6−x)) 2 =(10−x−6+x) 2=16 ，
∵长方形CEPF的面积为40，
∴(10−x)(6−x)=40，
∴S =S +S
阴影 正方形CFGH 正方形CEMN
=(10−x) 2+(6−x) 2
2
=[(10−x)−(6−x)) +2(10−x)(6−x)
=16+2×40
=96．
